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1、高考专题突破五高考中的圆锥曲线问题 考点自测 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 考点自测 1 2015 课标全国 改编 已知A B为双曲线E的左 右顶点 点M在E上 ABM为等腰三角形 且顶角为120 则E的离心率为 答案 解析 则AB 2a 由双曲线的对称性 可设点M x1 y1 在第一象限内 过M作MN x轴于点N x1 0 ABM为等腰三角形 且 ABM 120 BM AB 2a MBN 60 答案 解析 2 如图 已知椭圆C的中心为原点O F 0 为C的左焦点 P为C上一点 满足OP OF 且PF 4 则椭圆C的方程为 右焦点为F 连结PF 如图所示 由OP OF OF 知 FPF
2、 90 即FP PF 在Rt PFF 中 由勾股定理 由椭圆定义 得PF PF 2a 4 8 12 3 2017 山西质量监测 已知A B分别为椭圆 1 a b 0 的右顶点和上顶点 直线y kx k 0 与椭圆交于C D两点 若四边形ACBD的面积的最大值为2c2 则椭圆的离心率为 答案 解析 设C x1 y1 x1 0 D x2 y2 将y kx代入椭圆方程可解得 即2c4 a2b2 a2 a2 c2 a4 a2c2 2c4 a2c2 a4 0 2e4 e2 1 0 4 2016 北京 双曲线 1 a 0 b 0 的渐近线为正方形OABC的边OA OC所在的直线 点B为该双曲线的焦点 若正
3、方形OABC的边长为2 则a 答案 解析 2 设B为双曲线的右焦点 如图所示 四边形OABC为正方形且边长为2 又a2 b2 c2 8 a 2 答案 解析 5 已知双曲线 1 a 0 b 0 和椭圆 1有相同的焦点 且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍 则双曲线的方程为 题型分类深度剖析 例1已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上 点P到两焦点的距离分别为 过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点 则椭圆的方程为 题型一求圆锥曲线的标准方程 答案 解析 由PF1 PF2知 PF2垂直于长轴 求圆锥曲线的标准方程是高考的必考题型 主要利用圆锥曲线的定义 几何性质 解得标准方程中的参数 从而求得方程 思维升
4、华 跟踪训练1 2015 天津改编 已知双曲线 1 a 0 b 0 的一个焦点为F 2 0 且双曲线的渐近线与圆 x 2 2 y2 3相切 则双曲线的方程为 答案 解析 则a2 b2 4 例2 1 2015 湖南改编 若双曲线 1的一条渐近线经过点 3 4 则此双曲线的离心率为 题型二圆锥曲线的几何性质 答案 解析 即3b 4a 9b2 16a2 9c2 9a2 16a2 答案 解析 圆锥曲线的几何性质是高考考查的重点 求离心率 准线 双曲线渐近线 是常考题型 解决这类问题的关键是熟练掌握各性质的定义 及相关参数间的联系 掌握一些常用的结论及变形技巧 有助于提高运算能力 思维升华 跟踪训练2已
5、知椭圆 1 a b 0 与抛物线y2 2px p 0 有相同的焦点F P Q是椭圆与抛物线的交点 若PQ经过焦点F 则椭圆 1 a b 0 的离心率为 答案 解析 PF p EF p 题型三最值 范围问题 例3设椭圆M 1 a b 0 的离心率与双曲线x2 y2 1的离心率互为倒数 且椭圆的长轴长为4 1 求椭圆M的方程 解答 几何画板展示 2 若直线y x m交椭圆M于A B两点 P 1 为椭圆M上一点 求 PAB面积的最大值 解答 圆锥曲线中的最值 范围问题解决方法一般分两种 一是代数法 从代数的角度考虑 通过建立函数 不等式等模型 利用二次函数法和基本不等式法 换元法 导数法等方法求最值
6、 二是几何法 从圆锥曲线的几何性质的角度考虑 根据圆锥曲线几何意义求最值与范围 思维升华 跟踪训练3 2016 盐城一模 如图 曲线 由两个椭圆T1 1 a b 0 和椭圆T2 1 b c 0 组成 当a b c成等比数列时 称曲线 为 猫眼 1 若 猫眼曲线 过点M 0 且a b c的公比为 求 猫眼曲线 的方程 解答 a 2 c 1 几何画板展示 2 对于 1 中的 猫眼曲线 任作斜率为k k 0 且不过原点的直线与该曲线相交 交椭圆T1所得弦的中点为M 交椭圆T2所得弦的中点为N 求证 为与k无关的定值 证明 设斜率为k的直线交椭圆T1于点C x1 y1 D x2 y2 线段CD的中点为
7、M x0 y0 k存在且k 0 x1 x2且x0 0 3 若斜率为的直线l为椭圆T2的切线 且交椭圆T1于点A B N为椭圆T1上的任意一点 点N与点A B不重合 求 ABN面积的最大值 解答 由 0 化简得m2 b2 2c2 由 0 得m2 b2 2a2 题型四定值 定点问题 例4 2016 全国乙卷 设圆x2 y2 2x 15 0的圆心为A 直线l过点B 1 0 且与x轴不重合 l交圆A于C D两点 过B作AC的平行线交AD于点E 1 证明EA EB为定值 并写出点E的轨迹方程 解答 几何画板展示 因为AD AC EB AC 故 EBD ACD ADC 所以EB ED 故EA EB EA
8、ED AD 又圆A的标准方程为 x 1 2 y2 16 从而AD 4 所以EA EB 4 由题设得A 1 0 B 1 0 AB 2 2 设点E的轨迹为曲线C1 直线l交C1于M N两点 过B且与l垂直的直线与圆A交于P Q两点 求四边形MPNQ面积的取值范围 解答 当l与x轴不垂直时 设l的方程为y k x 1 k 0 M x1 y1 N x2 y2 故四边形MPNQ的面积 当l与x轴垂直时 其方程为x 1 MN 3 PQ 8 四边形MPNQ的面积为12 求定点及定值问题常见的方法有两种 1 从特殊入手 求出定值 再证明这个值与变量无关 2 直接推理 计算 并在计算推理的过程中消去变量 从而得
9、到定值 思维升华 跟踪训练4 2016 北京 已知椭圆C 1 a b 0 的离心率为 A a 0 B 0 b O 0 0 OAB的面积为1 1 求椭圆C的方程 解答 几何画板展示 2 设P是椭圆C上一点 直线PA与y轴交于点M 直线PB与x轴交于点N 求证 AN BM为定值 证明 由 1 知 A 2 0 B 0 1 当x0 0时 y0 1 BM 2 AN 2 AN BM 4 故AN BM为定值 题型五探索性问题 例5 2015 广东 已知过原点的动直线l与圆C1 x2 y2 6x 5 0相交于不同的两点A B 1 求圆C1的圆心坐标 解答 圆C1 x2 y2 6x 5 0可化为 x 3 2 y
10、2 4 圆C1的圆心坐标为 3 0 几何画板展示 2 求线段AB的中点M的轨迹C的方程 解答 设M x y A B为过原点的直线l与圆C1的交点 且M为AB的中点 由圆的性质知MC1 MO 由向量的数量积公式得x2 3x y2 0 易知直线l的斜率存在 设直线l的方程为y mx 把相切时直线l的方程代入圆C1的方程 当直线l经过圆C1的圆心时 M的坐标为 3 0 又 直线l与圆C1交于A B两点 M为AB的中点 3 是否存在实数k 使得直线L y k x 4 与曲线C只有一个交点 若存在 求出k的取值范围 若不存在 说明理由 解答 由题意知直线L表示过定点 4 0 斜率为k的直线 若直线L与曲
11、线C只有一个交点 令f x 0 当 0时 若x 3是方程的解 1 探索性问题通常采用 肯定顺推法 将不确定性问题明朗化 其步骤为假设满足条件的元素 点 直线 曲线或参数 存在 用待定系数法设出 列出关于待定系数的方程组 若方程组有实数解 则元素 点 直线 曲线或参数 存在 否则 元素 点 直线 曲线或参数 不存在 2 反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法 思维升华 跟踪训练5 2016 苏州 无锡 常州 镇江二模 如图 在平面直角坐标系xOy中 已知椭圆C a b 0 的离心率为 且过点 1 过椭圆的左顶点A作直线l x轴 点M为直线l上的动点 点M与点A不重合 点B为椭圆的右顶点 直线
12、BM交椭圆C于点P 1 求椭圆C的方程 解答 几何画板展示 所以a2 2c2 所以a2 2b2 2 求证 AP OM 证明 设直线BM的斜率为k 则直线BM的方程为y k x 2 设P x1 y1 化简得 2k2 1 x2 8k2x 8k2 4 0 令x 2 得y 4k 所以AP OM 解答 课时作业 解答 1 求椭圆E的方程 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 2 经过点 1 1 且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P Q 均异于点A 证明 直线AP与AQ的斜率之和为2 证明 1 2 3 4 5 由题设知 直线PQ的方程为y k x 1 1 k 2 代入 y2 1 得 1 2k2 x2
13、 4k k 1 x 2k k 2 0 由已知 0 设P x1 y1 Q x2 y2 x1x2 0 1 2 3 4 5 2 已知双曲线C 1 a 0 b 0 的焦距为3 其中一条渐近线的方程为x y 0 以双曲线C的实轴为长轴 虚轴为短轴的椭圆记为E 过原点O的动直线与椭圆E交于A B两点 1 求椭圆E的方程 解答 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 解答 设A x1 y1 则B x1 y1 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 3 已知椭圆 1的左顶点为A 右焦点为F 过点F的直线交椭圆于B C两点 1 求该椭圆的离心率 解答 1 2 3 4 5 2 设直线AB和AC
14、分别与直线x 4交于点M N 问 x轴上是否存在定点P使得MP NP 若存在 求出点P的坐标 若不存在 说明理由 解答 1 2 3 4 5 依题意 直线BC的斜率不为0 设其方程为x ty 1 B x1 y1 C x2 y2 假设x轴上存在定点P p 0 使得MP NP 1 2 3 4 5 将x1 ty1 1 x2 ty2 1代入上式 整理得 即 p 4 2 9 0 解得p 1或p 7 所以x轴上存在定点P 1 0 或P 7 0 使得MP NP 1 2 3 4 5 4 已知椭圆 1 a b 0 的离心率为 且经过点P 1 过它的左 右焦点F1 F2分别作直线l1与l2 l1交椭圆于A B两点
15、l2交椭圆于C D两点 且l1 l2 解答 1 求椭圆的标准方程 将点P的坐标代入椭圆方程得c2 1 1 2 3 4 5 解答 2 求四边形ACBD的面积S的取值范围 1 2 3 4 5 若l1与l2中有一条直线的斜率不存在 则另一条直线的斜率为0 此时四边形的面积S 6 若l1与l2的斜率都存在 设l1的斜率为k 则直线l1的方程为y k x 1 设A x1 y1 B x2 y2 1 2 3 4 5 消去y并整理得 4k2 3 x2 8k2x 4k2 12 0 注意到方程 的结构特征和图形的对称性 1 2 3 4 5 令k2 t 0 1 2 3 4 5 5 2016 盐城三模 如图 在平面直
16、角坐标系xOy中 椭圆C 1 a b 0 的离心率为 直线l与x轴交于点E 与椭圆C交于A B两点 当直线l垂直于x轴且点E为椭圆C的右焦点时 弦AB的长为 解答 1 求椭圆C的方程 1 2 3 4 5 因为直线l垂直于x轴且点E为椭圆C的右焦点 1 2 3 4 5 解答 2 若点E的坐标为 0 点A在第一象限且横坐标为 连结点A与原点O的直线交椭圆C于另一点P 求 PAB的面积 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 解答 3 是否存在点E 使得为定值 若存在 请指出点E的坐标 并求出该定值 若不存在 请说明理由 1 2 3 4 5 当直线AB与x轴垂直时 1 2 3 4 5 设A x1 y1 B x2 y2 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5
