《高中数学第四章4.1.1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学第四章4.1.1（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、4.1.1圆的标准方程学习目标1.掌握圆的定义及标准方程.2.能根据圆心、半径写出圆的标准方程，会用待定系数法求圆的标准方程知识点一圆的标准方程思考1确定一个圆的基本要素是什么？答案圆心和半径思考2在平面直角坐标系中，如图所示，以(1,2)为圆心，以2为半径的圆能否用方程(x1)2(y2)24来表示？答案能梳理(1)把方程(xa)2(yb)2r2称为圆心为A(a，b)，半径长为r的圆的方程，把它叫做圆的标准方程(2)以原点为圆心，r为半径的圆的标准方程为x2y2r2.知识点二点与圆的位置关系思考点A(1,1)，B(4,0)，C(，)同圆x2y24的关系如图所示，则|OA|，|OB|，|OC|同
2、圆的半径r2是什么关系？答案|OA|2，|OC|2.梳理点M(x0，y0)与圆C：(xa)2(yb)2r2的位置关系及判断方法位置关系利用距离判断利用方程判断点M在圆上|CM|r(x0a)2(y0b)2r2点M在圆外|CM|r(x0a)2(y0b)2r2点M在圆内|CM|r(x0a)2(y0b)224，得点P在圆外(2)由题意知即解得0a4，2a220，即a1.类型三与圆有关的最值问题例4已知实数x，y满足方程(x2)2y23，求的最大值和最小值解原方程表示以点(2,0)为圆心，以为半径的圆，设k，即ykx.当直线ykx与圆相切时，斜率k取最大值和最小值，此时，解得k.故的最大值为，最小值为.
3、引申探究1若本例条件不变，求yx的最大值和最小值解设yxb，即yxb.当yxb与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值，此时，即b2.故yx的最大值为2，最小值为2.2若本例条件不变，求x2y2的最大值和最小值解x2y2表示圆上的点与原点距离的平方由平面几何知识知，它在原点与圆心所在直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，又圆心到原点的距离为2，故(x2y2)max(2)274，(x2y2)min(2)274.反思与感悟与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型(1)形如u形式的最值问题，可转化为过点(x，y)和(a，b)的动直线斜率的最值问题(2)形如laxby形式的最值问题，可转化为动直线yx
4、截距的最值问题(3)形如(xa)2(yb)2形式的最值问题，可转化为动点(x，y)到定点(a，b)的距离的平方的最值问题跟踪训练4已知x和y满足(x1)2y2，试求：(1)x2y2的最值；(2)xy的最值解(1)由题意知，x2y2表示圆上的点到坐标原点的距离的平方，显然当圆上的点与坐标原点的距离取最大值和最小值时，其平方也相应地取得最大值和最小值原点(0,0)到圆心(1,0)的距离为d1，故圆上的点到坐标原点的最大距离为1，最小距离为1，因此x2y2的最大值和最小值分别为和.(2)令xyz并将其变形为yxz，问题转化为斜率为1的直线在经过圆上的点时，在y轴上的截距的最值当直线和圆相切时，在y轴
5、上的截距取得最大值和最小值，此时有，解得z1，因此xy的最大值为1，最小值为1.1若某圆的标准方程为(x1)2(y5)23，则此圆的圆心和半径长分别为()A(1,5)， B(1，5)，C(1,5)，3 D(1，5)，3答案B2圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程是()Ax2(y2)21Bx2(y2)21C(x1)2(y3)21Dx2(y3)21答案A解析方法一(直接法)设圆的圆心为C(0，b)，则1，b2，圆的标准方程是x2(y2)21.方法二(数形结合法)作图(如图)，根据点(1,2)到圆心的距离为1易知，圆心为(0,2)，故圆的标准方程是x2(y2)21.3已知点A(1，1)
6、，B(1,1)，则以线段AB为直径的圆的方程为 ()Ax2y22Bx2y2Cx2y21Dx2y24答案A解析AB的中点坐标为(0,0)，|AB|2，圆的方程为x2y22.4若实数x，y满足(x5)2(y12)2142，则x2y2的最小值是_答案1解析x2y2表示圆上的点(x，y)与(0,0)的距离的平方，而(0,0)在圆的内部，由几何意义可知，最小值为141.5求下列圆的标准方程(1)圆的内接正方形相对的两个顶点分别为A(5,6)，C(3，4)；(2)过两点C(1,1)和D(1,3)，圆心在x轴上的圆解(1)由题意知，AC为直径，则AC的中点为圆心，圆心坐标为(4,1)，半径为r，圆的标准方程
7、为(x4)2(y1)226.(2)由几何知识知，CD的垂直平分线经过圆心，由kCD1，CD的中点坐标为(0,2)，CD的垂直平分线为yx2.则圆心坐标为(2,0)，r，圆的标准方程为(x2)2y210.1判断点与圆位置关系的两种方法(1)几何法：主要利用点到圆心的距离与半径比较大小(2)代数法：主要是把点的坐标代入圆的标准方程来判断：点P(x0，y0)在圆C上(x0a)2(y0b)2r2；点P(x0，y0)在圆C内(x0a)2(y0b)2r2.2求圆的标准方程时常用的几何性质求圆的标准方程，关键是确定圆心坐标和半径，为此常用到圆的以下几何性质：(1)弦的垂直平分线必过圆心(2)圆内的任意两条弦
8、的垂直平分线的交点一定是圆心(3)圆心与切点的连线长是半径长(4)圆心与切点的连线必与切线垂直3求圆的标准方程常用方法(1)待定系数法(2)直接法课时作业一、选择题1圆(x1)2(y2)24的圆心与半径分别为()A(1,2)，2 B(1，2)，2C(1,2)，4 D(1，2)，4答案A2已知一圆的圆心为点A(2，3)，一条直径的端点分别在x轴和y轴上，则圆的标准方程为()A(x2)2(y3)213B(x2)2(y3)213C(x2)2(y3)252D(x2)2(y3)252答案B解析如图，结合圆的性质可知，原点在圆上，圆的半径为r.故所求圆的标准方程为(x2)2(y3)213.3过点A(1，1)，B(1,1)，且圆心在直线xy20上的圆的标准方程是()A(x3)2(y1)24B(x3)2(y1)24C(x1)2(y1)24D(x1)2(y1)24答案C解析根据圆在直线xy20上可排除B、D，再把点B的坐标代入A，C选项中，可得C正确4点(5a1,12a)在圆(x1)2y21的内部，则实数a的取值范围是()
