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1、专题05 正余弦定理的应用1、【2019年高考全国卷文数】的内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知bsinA+acosB=0，则B=_.【答案】【解析】由正弦定理，得，即，2、【2019年高考浙江卷】在中，点在线段上，若，则_，_【答案】，【解析】如图，在中，由正弦定理有：，而，所以.3、【2019年高考江苏卷】在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c（1）若a=3c，b=，cosB=，求c的值；（2）若，求的值【解析】（1）因为，由余弦定理，得，即.所以.（2）因为，由正弦定理，得，所以.从而，即，故.因为，所以，从而.因此.4、【2019年高考江苏卷】如图，一个湖的边界是圆心为O的
2、圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）规划在公路l上选两个点P、Q，并修建两段直线型道路PB、QA规划要求：线段PB、QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径已知点A、B到直线l的距离分别为AC和BD（C、D为垂足），测得AB=10，AC=6，BD=12（单位：百米）（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米）.求当d最小时，P、Q两点间的距离【解析】（1）过A作，垂足为E.由已知条件得，四边形ACDE为矩形，.因为PBAB，所以.所以.因
3、此道路PB的长为15（百米）.（2）若P在D处，由（1）可得E在圆上，则线段BE上的点（除B，E）到点O的距离均小于圆O的半径，所以P选在D处不满足规划要求.若Q在D处，连结AD，由（1）知，从而，所以BAD为锐角.所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.因此，Q选在D处也不满足规划要求.综上，P和Q均不能选在D处.（3）先讨论点P的位置.当OBP90时，在中，.由上可知，d15.再讨论点Q的位置.由（2）知，要使得QA15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求.当QA=15时，.此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.综上，当PBAB，点Q位于点C右侧，且CQ=时，
4、d最小，此时P，Q两点间的距离PQ=PD+CD+CQ=17+.因此，d最小时，P，Q两点间的距离为17+（百米）.5、【2019年高考全国卷文数】的内角A、B、C的对边分别为a、b、c已知（1）求B；（2）若ABC为锐角三角形，且c=1，求ABC面积的取值范围【解析】（1）由题设及正弦定理得因为sinA0，所以由，可得，故因为，故，因此B=60（2）由题设及（1）知ABC的面积由正弦定理得由于ABC为锐角三角形，故0A90，0C90，由（1）知A+C=120，所以30C90，故，从而因此，ABC面积的取值范围是这道题考查了三角函数的基础知识，以及正弦定理的使用（此题也可以用余弦定理求解），最后
5、考查是锐角三角形这个条件的利用，考查的很全面，是一道很好的考题.6、【2019年高考北京卷文数】在ABC中，a=3，cosB=（1）求b，c的值；（2）求sin（B+C）的值【解析】（1）由余弦定理，得因为，所以解得所以（2）由得由正弦定理得在中，所以7、【2019年高考天津卷文数】在中，内角所对的边分别为.已知，.（1）求的值；（2）求的值.【解析】（1）在中，由正弦定理，得，又由，得，即又因为，得到，由余弦定理可得（2）由（1）可得，从而，故本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识考查运算求解能力一、正弦、余弦定理1、
6、在ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容2Ra2b2c22bccos A；b2c2a22cacos B；c2a2b22abcos C 变形(1) a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C；(2)sin A，sin B，sin C；(3)abcsin Asin Bsin C；(4)asin Bbsin A，bsin Ccsin B，asin Ccsin Acos A；cos B；cos C2、 SABCabsin Cbcsin Aacsin B3、正余弦定理的作用：(1)正弦定理的作用：边角互化问题，方法有：利用a2Rsin
7、A，b2RsinB，c2RsinC将边化为角；利用cosA等将余弦化为边；ccosBbcosCa等化角为边(2)求边长问题，方法有：利用正弦定理求边； 利用余弦定理求边二、在ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式absin Absin Aab解的个数一解两解一解一解3、 实际问题中的常用角1、仰角和俯角：与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图).(2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30，北偏西45等.(3)方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为
8、(如图).(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值.四、注意点：1、解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则考虑两个定理都有可能用到.2.关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角恒等变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”.题型一、运用正余弦定理解三角形的基本量三角形的基本量主要是指变、角、面积等。解题时注意一下两点：(1)根据所给等式的结构特点利用正、余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键.(
9、2)熟练运用正、余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用.例1、(2019通州、海门、启东期末） 在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若acosB3bcosA，BA，则B_【答案】 【解析】因为acosB3bcosA，所以，由正弦定理得sinAcosB3sinBcosA，故tanA3tanB，又BA，故tanB，解得tanB，因为B，所以B.例2、(2019苏州三市、苏北四市二调）在ABC中，已知C120，sinB2sinA，且ABC的面积为2，则AB的长为_【答案】2【解析】设角A，B，C的对边分别为a，b，c.因为sinB 2 sinA，由正弦定理得
10、b2a，因为ABC的面积为2，所以Sabsin120a22，解得a2，所以b4，则ABc2.例3、(2019镇江期末）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且ccosBbcosC3acosB.(1) 求cosB的值；(2)若|2，ABC的面积为2，求边b.规范解答 (1) 由正弦定理，CcosBbcosC3acosB，得sinCcosBsinBcosC3sinAcosB，(3分)则有3sinAcosBsin(BC)sin(A)sinA.(5分)又A(0，)，则sinA0，(6分)则cosB.(7分)(2) 因为B(0，)，则sinB0，sinB.(9分)因为|2，(10分)所以Sa
11、csinBa22，得a3.(12分)由余弦定理b2a2c22accosB942329，则b3.(14分)题型二、运用正余弦定理研究三角形中的范围运用正余弦定理研究三角形中的范围主要涉及两方面的问题：一是：与不等式结合；二是有角的范围，确定三角函数值的范围例4、(2019苏州期初调查）在斜三角形ABC中，已知tanC0，则tanC的最大值等于_【答案】 2【解析】 对已知条件“tanC0”通分变形化简得到tanAtanB，而tanCtan(AB)用两角和正切公式展开，运用基本不等式，即可求出最大值在斜三角形ABC中，tanA，tanB，tanC都存在，因为tanC0，所以tanC0，即tanC0
12、，而tan(AB)tanC，tanC0，所以10，则tanAtanB1tanAtanB，tanAtanB，所以tanCtan(AB)2(tanAtanB)，因为三角形中最多一个钝角，且tanA与tanB同号所以tanA，tanB都大于0，而tanAtanB22，且tanA与tanB同号，所以tanC的最大值为2.例5、(2018苏锡常镇调研（二）在中，三个内角，的对边分别为，设的面积为，且.（1）求的大小；（2）设向量，求的取值范围规范解答 （1）由题意，有， 2 分 则，所以 4 分 因为，所以， 所以 又，所以 6 分 （2）由向量，得8 分由（1）知，所以，所以所以 10 分所以 12
13、分所以即取值范围是 14 分题型三、正余弦定理与向量的综合正余弦定理与向量的综合主要就是借助于向量的知识转化为边角的函数关系式，然后运用正余弦定理解决问题。例6、(2019无锡期末）在 ABC 中，设 a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，已知向量 m (a，sinCsinB)，n(bc，sinAsinB)，且mn.(1)求角 C 的大小；(2)若 c 3, 求 ABC 的周长的取值范围 (1)由mn及m(a，sinA sinB)，n(bc，sinAsinB)得a(sinAsinB)(bc)(sinCsinB)0，(2分)由正弦定理，得：a(bc)0，所以a2ab(c2b2)0，得c2a2b2ab，由余弦定理，得c2a2b22abcoC，所以a2b2aba2b22abcosC，所以ab2abcosC，(5分)因为
