《2018版高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 3.1 导数的概念及运算课件 理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018版高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 3.1 导数的概念及运算课件 理（54页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 3 1导数的概念及运算 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 1 导数与导函数的概念 知识梳理 1 一般地 函数y f x 在x x0处的瞬时变化率是我们称它为函数y f x 在x x0处的导数 记作 即f x0 2 如果函数y f x 在开区间 a b 内的每一点处都有导数 其导数值在 a b 内构成一个新函数 这个函数称为函数y f x 在开区间内的导函数 记作f x 或y 函数y f x 在点x0处的导数的几何意义 就是曲线y f x 在点P x0 f x0 处的切线的斜率k 即k 2 导数的几何意义 3 基本初等函数的导数公式 f x0 0 x 1
2、 cosx sinx ex axlna 若f x g x 存在 则有 1 f x g x 2 f x g x 4 导数的运算法则 5 复合函数的导数复合函数y f g x 的导数和函数y f u u g x 的导数间的关系为yx 即y对x的导数等于的导数与的导数的乘积 f x g x f x g x f x g x yu ux y对u u对x 1 奇函数的导数是偶函数 偶函数的导数是奇函数 周期函数的导数还是周期函数 3 af x bg x af x bg x 4 函数y f x 的导数f x 反映了函数f x 的瞬时变化趋势 其正负号反映了变化的方向 其大小 f x 反映了变化的快慢 f x
3、 越大 曲线在这点处的切线越 陡 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 f x0 是函数y f x 在x x0附近的平均变化率 2 f x0 与 f x0 表示的意义相同 3 曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点 4 与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线 5 函数f x sin x 的导数是f x cosx 1 教材改编 若f x x ex 则f 1 等于A 0B eC 2eD e2 考点自测 答案 解析 f x ex x ex f 1 2e 2 如图所示为函数y f x y g x 的导函数的图象 那么y f x y g x 的图象可能是 答案 解析 由y f x 的图象知y f
4、 x 在 0 上单调递减 说明函数y f x 的切线的斜率在 0 上也单调递减 故可排除A C 又由图象知y f x 与y g x 的图象在x x0处相交 说明y f x 与y g x 的图象在x x0处的切线的斜率相同 故可排除B 故选D 3 某质点的位移函数是s t 2t3 gt2 g 10m s2 则当t 2s时 它的加速度是A 14m s2B 4m s2C 10m s2D 4m s2 答案 解析 由v t s t 6t2 gt a t v t 12t g 当t 2时 a 2 v 2 12 2 10 14 f x cosx sinx 答案 解析 5 曲线y 5ex 3在点 0 2 处的切
5、线方程是 答案 解析 5x y 2 0 因为y x 0 5e0 5 所以曲线在点 0 2 处的切线方程为y 2 5 x 0 即5x y 2 0 题型分类深度剖析 题型一导数的计算 例1求下列函数的导数 1 y x2sinx 解答 y x2 sinx x2 sinx 2xsinx x2cosx 解答 解答 解答 5 y ln 2x 5 解答 令u 2x 5 则y lnu 思维升华 1 求导之前 应利用代数 三角恒等式等变形对函数进行化简 然后求导 这样可以减少运算量 提高运算速度 减少差错 遇到函数的商的形式时 如能化简则化简 这样可避免使用商的求导法则 减少运算量 2 复合函数求导时 先确定复
6、合关系 由外向内逐层求导 必要时可换元 跟踪训练1 1 f x x 2016 lnx 若f x0 2017 则x0等于A e2B 1C ln2D e 答案 解析 f x 2016 lnx x 2017 lnx 故由f x0 2017 得2017 lnx0 2017 则lnx0 0 解得x0 1 2 若函数f x ax4 bx2 c满足f 1 2 则f 1 等于A 1B 2C 2D 0 答案 解析 f x 4ax3 2bx f x 为奇函数且f 1 2 f 1 2 题型二导数的几何意义命题点1求切线方程 例2 1 2016 全国丙卷 已知f x 为偶函数 当x 0时 f x ln x 3x 则曲
7、线y f x 在点 1 3 处的切线方程是 答案 解析 2x y 1 0 设x 0 则 x 0 f x lnx 3x 又f x 为偶函数 f x lnx 3x f x 3 f 1 2 切线方程为y 2x 1 即2x y 1 0 2 已知函数f x xlnx 若直线l过点 0 1 并且与曲线y f x 相切 则直线l的方程为A x y 1 0B x y 1 0C x y 1 0D x y 1 0 答案 解析 点 0 1 不在曲线f x xlnx上 设切点为 x0 y0 解得x0 1 y0 0 切点为 1 0 f 1 1 ln1 1 直线l的方程为y x 1 即x y 1 0 故选B 命题点2求参
8、数的值例3 1 2016 泉州模拟 函数y ex的切线方程为y mx 则m 答案 解析 e 设切点坐标为P x0 y0 由y ex 得 从而切线方程为 又切线过定点 0 0 从而 解得x0 1 则m e 几何画板展示 2 已知f x lnx g x x2 mx m 0 直线l与函数f x g x 的图象都相切 与f x 图象的切点为 1 f 1 则m等于A 1B 3C 4D 2 答案 解析 f x 直线l的斜率k f 1 1 又f 1 0 切线l的方程为y x 1 g x x m 设直线l与g x 的图象的切点为 x0 y0 于是解得m 2 故选D 几何画板展示 命题点3导数与函数图象的关系例
9、4如图 点A 2 1 B 3 0 E x 0 x 0 过点E作OB的垂线l 记 AOB在直线l左侧部分的面积为S 则函数S f x 的图象为下图中的 答案 解析 函数的定义域为 0 当x 0 2 时 在单位长度变化量 x内面积变化量 S大于0且越来越大 即斜率f x 在 0 2 内大于0且越来越大 因此 函数S f x 的图象是上升的且图象是下凸的 当x 2 3 时 在单位长度变化量 x内面积变化量 S大于0且越来越小 即斜率f x 在 2 3 内大于0且越来越小 因此 函数S f x 的图象是上升的且图象是上凸的 当x 3 时 在单位长度变化量 x内面积变化量 S为0 即斜率f x 在 3
10、内为常数0 此时 函数图象为平行于x轴的射线 思维升华 导数的几何意义是切点处切线的斜率 应用时主要体现在以下几个方面 1 已知切点A x0 f x0 求斜率k 即求该点处的导数值 k f x0 2 已知斜率k 求切点A x1 f x1 即解方程f x1 k 3 若求过点P x0 y0 的切线方程 可设切点为 x1 y1 由求解即可 4 函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况 由切线的倾斜程度可以判断出函数图象升降的快慢 答案 解析 设切点的横坐标为x0 解得x0 3或x0 2 舍去 不符合题意 即切点的横坐标为3 答案 解析 典例若存在过点O 0 0 的直线l
11、与曲线y x3 3x2 2x和y x2 a都相切 求a的值 求曲线的切线方程 现场纠错系列3 错解展示 现场纠错 纠错心得 求曲线过一点的切线方程 要考虑已知点是切点和已知点不是切点两种情况 几何画板展示 解易知点O 0 0 在曲线y x3 3x2 2x上 1 当O 0 0 是切点时 由y 3x2 6x 2 得y x 0 2 即直线l的斜率为2 故直线l的方程为y 2x 依题意 4 4a 0 得a 1 2 当O 0 0 不是切点时 设直线l与曲线y x3 3x2 2x相切于点P x0 y0 返回 课时作业 1 若f x 2xf 1 x2 则f 0 等于A 2B 0C 2D 4 1 2 3 4
12、5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 f x 2f 1 2x 令x 1 则f 1 2f 1 2 得f 1 2 所以f 0 2f 1 0 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 一质点沿直线运动 如果由始点起经过t秒后的位移为s t3 3t2 8t 那么速度为零的时刻是A 1秒末B 1秒末和2秒末C 4秒末D 2秒末和4秒末 答案 解析 s t t2 6t 8 由导数的定义知v s t 令s t 0 得t 2或4 即2秒末和4秒末的速度为零 3 若直线y x是曲线y x3 3x2 px的切线 则实数p的值为 答案 解析 y 3x2 6x p 设切点为
13、P x0 y0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4 2017 郑州质检 已知y f x 是可导函数 如图 直线y kx 2是曲线y f x 在x 3处的切线 令g x xf x g x 是g x 的导函数 则g 3 等于A 1B 0C 2D 4 答案 解析 g x xf x g x f x xf x g 3 f 3 3f 3 又由题图可知f 3 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5 已知曲线y lnx的切线过原点 则此切线的斜率为 答案 解析 设切点为 x0 lnx0 则 因为
14、切线过点 0 0 所以 lnx0 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7 已知函数f x ax3 x 1的图象在点 1 f 1 处的切线过点 2 7 则a 答案 解析 1 f x 3ax2 1 f 1 1 3a f 1 a 2 所以函数在 1 f 1 处的切线方程为y a 2 1 3a x 1 将 2 7 代入切线方程 得7 a 2 1 3a 解得a 1 8 2016 邯郸模拟 曲线y log2x在点 1 0 处的切线与坐标轴所围成三角
15、形的面积等于 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9 若函数f x x2 ax lnx存在垂直于y轴的切线 则实数a的取值范围是 答案 解析 f x 存在垂直于y轴的切线 f x 存在零点 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10 已知曲线f x xn 1 n N 与直线x 1交于点P 设曲线y f x 在点P处的切线与x轴交点的横坐标为xn 则log2016x1 log2016x2 log2016x2015的值为 答案 解析 1 f x n 1 xn k f 1 n 1
16、 点P 1 1 处的切线方程为y 1 n 1 x 1 则log2016x1 log2016x2 log2016x2015 log2016 x1x2 x2015 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 求曲线在点P 2 4 处的切线方程 解答 在点P 2 4 处的切线的斜率为y x 2 4 曲线在点P 2 4 处的切线方程为y 4 4 x 2 即4x y 4 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 求曲线过点P 2 4 的切线方程 解答 则切线的斜率为 x0 1 x0 2 2 0 解得x0 1或x0 2 故所求的切线方程为x y 2 0或4x y 4 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12 已知函数f x x3 2x2 3x x R 的图象为曲线C 1 求过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围 解答 由题意得f x x2 4x 3 则f x x 2 2 1 1 即过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围是 1 2 若在曲线C上存在两条相互垂直的切线
