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1、专题02 运用正余弦定理解决三角形问题一、题型选讲题型一 正余弦定理在三角形中的运用正余弦定理主要就是研究三角形综合的边与角的问题，在三角形中要恰当的选择正余弦定理，但是许多题目中往往给出多边形，因此，要咋爱多边形中恰当的选择三角形，就要根据题目所给的条件，标出边和角，合理的选择三角形，尽量选择边和角都比较多的条件的三角形，然后运用正余弦定理解决。例1、(2017徐州、连云港、宿迁三检）如图，在中，已知点在边上，（1）求的值；（2）求的长ABCD第15题)解析：（1）在中，所以同理可得， 所以（2）在中，由正弦定理得，又，所以在中，由余弦定理得，例2、（2017年苏北四市模拟）如图，在四边形A
2、BCD中，已知AB13，AC10，AD5，CD，50.(1) 求cosBAC的值；(2) 求sinCAD的值；(3) 求BAD的面积 解析： (1) 因为cosBAC，所以cosBAC.(2) 在ADC中，AC10，AD5，CD.由余弦定理，得cosCAD.因为CAD(0，)，所以sinCAD.(3) 由(1)知，cosBAC.因为BAC(0，)，所以sinBAC.从而sinBADsin(BACCAD) sinBACcosCADcosBACsinCAD .所以SBADABADsinBAD135 28.题型二 运用正余弦定理解决边角问题正余弦定理主要是解决三角形的边角问题，在解三角形时要分析三角
3、形中的边角关系，要合理的使用正、余弦定理，要有意识的考虑是运用正弦定理还是余弦定理，就要抓住这两个定理的使用条件。例3、（2019年江苏卷）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c（1）若a=3c，b=，cosB=，求c的值；（2）若，求的值【解析】(1)由题意结合余弦定理得到关于c的方程，解方程可得边长c的值；(2)由题意结合正弦定理和同角三角函数基本关系首先求得的值，然后由诱导公式可得的值.（1）因为，由余弦定理，得，即.所以.（2）因为，由正弦定理，得，所以.从而，即，故.因为，所以，从而.因此.题型三、运用正余弦定理研究三角形中有关的范围无论是在利用正弦定理或余弦定理进行边角互化
4、，还是利用三角恒等式消元的过程中都需要有较强的目标意识本题通过不同角度的消元将问题转化为利用基本不等式求最值的问题进行解决由目标式的结构则容易联想利用斜三角形中的恒等式tanAtanBtanCtanAtanBtanC将问题作进一步处理例4、(2019无锡期末）在锐角三角形 ABC 中，已知2sin2 A sin2B 2sin2C，则的最小值为_【答案】 解法1：因为 2sin2Asin2B2sin2C，所以由正弦定理可得2a2b22c2由余弦定理及正弦定理可得cosC又因为sinBsinsin(AC)sinAcosCcosAsinC所以cosC 可得tanC3tanA，代入tanAtanBta
5、nCtanAtanBtanC得tanB 所以因为A，所以tanA0，所以2当且仅当，即tanA时取“”所以的最小值为.解法2：过点B作BDAC于D，设ADx，DCy，BDh，则tanA，tanC.同解法1可得tanC3tanA，tanB 则即x3y，tanB所以当且仅当即yy时取“”所以的最小值为.题型四、正余弦定理与向量的结合三角函数和平面向量是高中数学的两个重要分支，内容繁杂，且平面向量与三角函数交汇点较多，向量的平行、垂直、夹角、数量积等知识都可以与三角函数进行交汇不论是哪类向量知识与三角函数的交汇试题，都会出现交汇问题中的难点，对于此类问题的解决方法就是利用向量的知识将条件转化为三角函
6、数中的“数量关系”，再利用三角函数的相关知识进行求例5、(2019无锡期末）在 ABC 中，设 a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，已知向量 m (a，sinCsinB)，n(bc，sinAsinB)，且mn.(1)求角 C 的大小；(2)若 c 3, 求 ABC 的周长的取值范围 (1)由mn及m(a，sinA sinB)，n(bc，sinAsinB)得a(sinAsinB)(bc)(sinCsinB)0，(2分)由正弦定理，得：a(bc)0，所以a2ab(c2b2)0，得c2a2b2ab，由余弦定理，得c2a2b22abcoC，所以a2b2aba2b22abcosC，所以ab2abc
7、osC，(5分)因为ab0，所以cosC，又因为C(0，)，所以C.(7分)(2)在ABC中，由余弦定理，得c2a2b22abcosC.所以a2b22abcos9，即(ab)2ab9.(9分)所以ab(ab)29，所以9，即(ab)212，所以ab2，(12分)又因为abc，所以6abc23，即周长l满足6l32，所以ABC周长的取值范围是(6，32(14分)二、达标训练1、(2019苏州三市、苏北四市二调）在ABC中，已知C120，sinB2sinA，且ABC的面积为2，则AB的长为_【答案】 2【解析】设角A，B，C的对边分别为a，b，c.因为sinB 2 sinA，由正弦定理得b2a，因
8、为ABC的面积为2，所以Sabsin120a22，解得a2，所以b4，则ABc2.2、(2019南京学情调研）已知ABC的面积为3，且ACAB2，cosA，则BC的长为_【答案】 8【解析】在ABC中，cosA，所以sinA，由SABCbcsinAbc3得bc24，由余弦定理得a2b2c22bccosA(bc)22bc2bccosA22481264，即a8.3、(2017南京、盐城一模） 在ABC中，已知AB，C，则的最大值为_【答案】【解析】因为AB，C，设角A，B，C所对的边为a，b，c，所以由余弦定理得3a2b22abcosa2b2abab，当且仅当ab时等号成立，又abcosCab，所
9、以当ab时，()max.4、(2016盐城三模） 在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若ABC为锐角三角形，且满足b2a2ac，则的取值范围是_【答案】【解析】 思路一，根据题意可知，本题可以从“解三角形和三角恒等变换”角度切入，又因已知锐角和边的关系，而所求为正切值，故把条件化为角的正弦和余弦来处理即可；思路二，本题所求为正切值，故可以构造直角三角形，用边的关系处理解法1 原式可化为.由b2a2ac得，b2a2aca2c22accosB，即ac2acosB，也就是sinAsinC2sinAcosB，即sinAsin(AB)2sinAcosBsin(BA)，由于ABC为锐角三角形
10、，所以有ABA，即B2A，故，在锐角三角形ABC中易知，B，sinBa，即1，在锐角三角形ABC中有b2a2c2，则a2a2acc2，即220，解得12，因此，10，(6分)则cosB.(7分)(2) 因为B(0，)，则sinB0，sinB.(9分)因为|2，(10分)所以SacsinBa22，得a3.(12分)由余弦定理b2a2c22accosB942329，则b3.(14分)7、(2018常州期末）已知ABC中，a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且bsinCccosBc.(1) 求角B的大小；(2) 若b2ac，求的值 规范解答 (1) 由已知及正弦定理得sinBsinCcosBs
11、inCsinC.在ABC中，sinC0，所以sinBcosB1，所以sin.又B(0，)，故B0)的周期为.(1) 当x时，求函数f(x)的值域；(2) 已知ABC的内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若f（），且a4，bc5，求ABC的面积 规范解答 (1) f(x)(1cos2x)sin2xsin2x.(2分)因为f(x)的周期为，且0，所以，解得1.所以f(x)sin2x.(4分)又0x，得2x，sin2x1,0sin2x1，即函数yf(x)在x0，上的值域为0，1.(7分)(2) 因为f，所以sinA.由A(0，)，知A，解得A，所以A.(9分)由余弦定理知a2b2c22bccosA，即16b2c2bc.所以16(bc)23bc，因为bc5，所
