《2018届高三数学一轮复习 第三章 导数及其应用 第四节 导数的综合应用课件 理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018届高三数学一轮复习 第三章 导数及其应用 第四节 导数的综合应用课件 理（25页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、理数课标版 第四节导数的综合应用 1 利用导数证明不等式的基本步骤 1 作差或变形 2 构造新的函数h x 3 对h x 求导 4 利用h x 判断h x 的单调性或最值 教材研读 5 下结论 2 一元三次方程根的个数问题令f x ax3 bx2 cx d a 0 则f x 3ax2 2bx c 方程f x 0的判别式 2b 2 12ac 1 当 0 即b2 3ac时 f x 0恒成立 f x 在R上为增函数 又易知存在x x R 使f x f x 0 即b2 3ac时 方程f x 0有两个实根 设为x1 x2 x1m a 当m 0时 方程f x 0有 一个实根 b 当m 0时 方程f x 0
2、有 两个实根 c 当m0时 方程f x 0有 三个实根 d 当M 0时 方程f x 0有 两个实根 e 当M 0时 方程f x 0有 一个实根 考点一利用导数研究函数的零点或方程的根典例1 2016北京 20 13分 设函数f x x3 ax2 bx c 1 求曲线y f x 在点 0 f 0 处的切线方程 2 设a b 4 若函数f x 有三个不同零点 求c的取值范围 考点突破 3 求证 a2 3b 0是f x 有三个不同零点的必要而不充分条件 解析 1 由f x x3 ax2 bx c 得f x 3x2 2ax b 因为f 0 c f 0 b 所以曲线y f x 在点 0 f 0 处的切线
3、方程为y bx c 3分 2 当a b 4时 f x x3 4x2 4x c 所以f x 3x2 8x 4 令f x 0 得3x2 8x 4 0 解得x 2或x 4分 f x 与f x 在区间 上的情况如下表 6分 所以 当c 0且c 0时 存在x1 4 2 x2 x3 使得f x1 f x2 f x3 0 由f x 的单调性知 当且仅当c 时 函数f x x3 4x2 4x c有三个不同零点 8分 3 证明 当 4a2 12b0 x 此时函数f x 在区间 上单调递增 所以f x 不可能有三个不同零点 9分 当 4a2 12b 0时 f x 3x2 2ax b只有一个零点 记作x0 当x x
4、0 时 f x 0 f x 在区间 x0 上单调递增 当x x0 时 f x 0 f x 在区间 x0 上单调递增 所以f x 不可能有三个不同零点 综上所述 若函数f x 有三个不同零点 则必有 4a2 12b 0 故a2 3b 0是f x 有三个不同零点的必要条件 11分 当a b 4 c 0时 a2 3b 0 f x x3 4x2 4x x x 2 2只有两个不同零点 所以a2 3b 0不是f x 有三个不同零点的充分条件 12分 因此a2 3b 0是f x 有三个不同零点的必要而不充分条件 13分 方法技巧利用导数研究方程根的方法 1 研究方程根的情况 可以通过导数研究函数的单调性 最
5、大值 最小值 变化趋势等 2 根据题目要求 画出函数图象的走势规律 标明函数极 最 值的位置 3 可以通过数形结合的思想去分析问题 使问题的求解有一个清晰 直观的整体展现 1 1 2015课标 21 12分 已知函数f x x3 ax g x lnx 1 当a为何值时 x轴为曲线y f x 的切线 2 用min m n 表示m n中的最小值 设函数h x min f x g x x 0 讨论h x 零点的个数 解析 1 设曲线y f x 与x轴相切于点 x0 0 则f x0 0 f x0 0 即解得x0 a 因此 当a 时 x轴为曲线y f x 的切线 2 当x 1 时 g x lnx 0 从
6、而h x min f x g x g x 0 故h x 在 1 内无零点 当x 1时 若a 则f 1 a 0 h 1 min f 1 g 1 g 1 0 故x 1是h x 的零点 若a 则f 1 0 h 1 min f 1 g 1 f 1 0 故x 1不是h x 的零点 当x 0 1 时 g x lnx 0 所以只需考虑f x 在 0 1 内的零点个数 i 若a 3或a 0 则f x 3x2 a在 0 1 内无零点 故f x 在 0 1 内单调 而f 0 f 1 a 所以当a 3时 f x 在 0 1 内有一个零点 当a 0时 f x 在 0 1 内没有零点 ii 若 30 即 a 0 则f
7、x 在 0 1 内无零点 若f 0 即a 则f x 在 0 1 内有唯一零点 若f 或a 时 h x 有一个零点 当a 或a 时 h x 有两个零点 当 a 时 h x 有三个零点 考点二利用导数研究不等式的有关问题命题角度一证明不等式典例2 2016课标全国 21 12分 设函数f x lnx x 1 1 讨论f x 的单调性 2 证明当x 1 时 11 证明当x 0 1 时 1 c 1 x cx 解析 1 由题设知 f x 的定义域为 0 f x 1 令f x 0 解得x 1 当00 f x 单调递增 当x 1时 f x 0 f x 单调递减 4分 2 证明 由 1 知f x 在x 1处取
8、得最大值 最大值为f 1 0 所以当x 1时 lnx x 1 故当x 1 时 lnx1 设g x 1 c 1 x cx 则g x c 1 cxlnc 令g x 0 解得x0 当x0 g x 单调递增 当x x0时 g x 0 所以当x 0 1 时 1 c 1 x cx 12分 命题角度二不等式恒成立问题典例3 2016四川 21 14分 设函数f x ax2 a lnx 其中a R 1 讨论f x 的单调性 2 确定a的所有可能取值 使得f x e1 x在区间 1 内恒成立 e 2 718 为自然对数的底数 解析 1 f x 2ax x 0 当a 0时 f x 0时 由f x 0 有x 此时
9、当x 时 f x 0 f x 单调递增 2 令g x s x ex 1 x 则s x ex 1 1 而当x 1时 s x 0 所以s x 在区间 1 内单调递增 又由s 1 0 有s x 0 从而当x 1时 g x 0 当a 0 x 1时 f x a x2 1 lnxg x 在区间 1 内恒成立时 必有a 0 当01 由 1 有f0 所以此时f x g x 在区间 1 内不恒成立 当a 时 令h x f x g x x 1 当x 1时 h x 2ax e1 x x 0 因此 h x 在区间 1 内单调递增 又因为h 1 0 所以当x 1时 h x f x g x 0 即f x g x 恒成立
10、综上 a 方法技巧1 利用导数证明不等式的方法证明f x g x x a b 可以构造函数F x f x g x 如果F x 0 则F x 在 a b 上是减函数 同时若F a 0 由减函数的定义可知 x a b 时 有F x 0 即证明了f x g x 2 利用导数解决不等式的恒成立问题的策略 1 首先要构造函数 利用导数研究函数的单调性 求出最值 进而得出相应的含参不等式 从而求出参数的取值范围 2 也可分离变量 构造函数 直接把问题转化为函数的最值问题 2 1已知f x 1 x ex 1 1 求函数f x 的最大值 2 设g x x 1 且x 0 证明 g x 0 f x 单调递增 当x
11、 0 时 f x 0时 f x x 设h x f x x 则h x xex 1 当x 1 0 时 0 x 1 0 ex 1 则0 xex 1 从而当x 1 0 时 h x h 0 0 即g x 1 综上 总有g x 1 2 2设函数f x 2lnx 1 讨论函数f x 的单调性 2 如果对所有的x 1 都有f x ax 求a的取值范围 解析 1 f x 的定义域为 0 f x 所以当0时 f x 0 故函数f x 在上单调递减 在上单调递增 2 当x 1时 f x ax a 令h x x 1 则h x 令m x x xlnx 1 x 1 则m x lnx 显然 当x 1时 m x 0 所以m
12、x 在 1 上为减函数 所以m x m 1 0 因此h x 0 于是h x 在 1 上为减函数 所以当x 1时 h x 有最大值h 1 1 故a 1 即a的取值范围是 1 考点三用导数解决实际生活中的优化问题典例4 2016云南玉溪一中月考 时下网校教学越来越受广大学生的喜爱 它已经成为学生们课外学习的一种趋势 假设某网校的套题每日的销售量y 单位 千套 与销售价格x 单位 元 套 满足的关系式为y 4 x 6 2 其中2 x 6 m为常数 已知销售价格为4元 套时 每日可售出套题21千套 1 求m的值 2 假设网校的员工工资 办公费用等所有开销折合为每套题2元 只考虑销售出的套数 试确定销售
13、价格x的值 使网校每日销售套题所获得的利润最大 精确到0 1 解析 1 因为x 4时 y 21 所以 16 21 解得m 10 2 由 1 可知 套题每日的销售量为y 4 x 6 2 所以每日销售套题所获得的利润 单位 千元 为f x x 2 10 4 x 6 2 x 2 4x3 56x2 240 x 278 2 x 6 从而f x 12x2 112x 240 4 3x 10 x 6 20 函数f x 单调递增 在上 f x 0 函数f x 单调递减 所以x 是函数f x 在 2 6 内的极大值点 也是最大值点 所以当x 3 3时 函数f x 取得最大值 故当销售价格为3 3元 套时 网校每日
14、销售套题所获得的利润最大 规律总结利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤 1 分析实际问题中变量之间的关系 建立实际问题的数学模型 写出实际问题中变量之间的函数关系式y f x 2 求函数的导数f x 解方程f x 0 3 比较函数在区间端点和使f x 0的点处的函数值的大小 最大 小 者为最大 小 值 4 写出答案 3 1某食品厂进行蘑菇的深加工 每千克蘑菇的采购成本为20元 并且每千克蘑菇的加工费为t元 t为常数 且2 t 5 设该食品厂每千克蘑菇的出厂价为x元 25 x 40 根据市场调查 日销售量q千克与ex成反比 当每千克蘑菇的出厂价为30元时 日销售量为100千克 1 求该工厂的日利润y元与每千克蘑菇的出厂价x元的函数关系式 2 若t 5 则当每千克蘑菇的出厂价x为多少时 该工厂的每日利润y最大 并求出最大值 解析 1 设q k 0 则 100 所以k 100e30 所以q 所以y 25 x 40 2 当t 5时 y 则y 由y 0得x 26 由y 0得x 26 所以y 在区间 25 26 上单调递增 在区间 26 40 上单调递减 所以当x 26时 ymax 100e4 即当每千克蘑菇的出厂价为26元时 该工厂的日利润最大 最大值为100e4元
