《2018届高三数学一轮复习 第七章 不等式 第四节 基本不等式及其应用课件 文》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018届高三数学一轮复习 第七章 不等式 第四节 基本不等式及其应用课件 文（26页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、文数课标版 第四节基本不等式及其应用 1 基本不等式 1 基本不等式 成立的条件 a 0 b 0 2 等号成立的条件 当且仅当 a b时等号成立 3 其中 称为正数a b的算术平均数 称为正数a b 教材研读 的几何平均数 2 几个重要的不等式 1 a2 b2 2ab a b R 当且仅当a b时取等号 2 ab a b R 当且仅当a b时取等号 3 a b R 当且仅当a b时取等号 4 2 a b同号 当且仅当a b时取等号 3 利用基本不等式求最值已知x 0 y 0 则 1 如果积xy是定值p 那么当且仅当 x y时 x y有最 小值 是 2 简记 积定和最小 2 如果和x y是定值s
2、 那么当且仅当 x y时 xy有最 大值 是 简记 和定积最大 判断下列结论的正误 正确的打 错误的打 1 当a 0 b 0时 a b 2 2 两个不等式a2 b2 2ab与 成立的条件是相同的 3 a b 2 4ab a b R 4 两个正数的等差中项不小于它们的等比中项 5 函数y x 的最小值是2 6 x 0且y 0是 2的充要条件 1 下列不等式中正确的是 A 若a R 则a2 9 6aB 若a b R 则 2C 若a b 0 则2lg lga lgbD 若x R 则x2 1答案C a 0 b 0 2lg 2lg lgab lga lgb 2 设x 0 y 0 且x y 18 则xy的
3、最大值为 A 80B 77C 81D 82答案C x 0 y 0 x y 18 18 x y 2 即 9 xy 81 故xy的最大值为81 3 已知x y 0且x 4y 1 则 的最小值为 A 8B 9C 10D 11答案B x 4y 1 x y 0 5 5 2 5 4 9当且仅当x 2y 时 取等号 4 已知f x x 2 x 0 则f x 有 A 最大值0B 最小值0C 最大值 4D 最小值 4 答案C x 0 f x 2 2 2 4 当且仅当 x 即x 1时取等号 f x 有最大值 4 5 已知x0 y 4x 2 3 2 3 1 当且仅当5 4x 即x 1时 等号成立 故当x 1时 ym
4、ax 1 考点一利用基本不等式求最值典例1 1 已知00 b 0 a b 1 则 的最小值为 3 已知正实数x y满足xy 2x y 4 则x y的最小值为 答案 1 B 2 4 3 2 3 考点突破 解析 1 0b b 0 a b 1 2 2 2 4 即 的最小值为4 当且仅当a b 时等号成立 3 因为xy 2x y 4 所以x 由x 0 得 20 所以0 y 4 所以x y y y 2 3 2 3 当且仅当 y 2 0 y 4 即y 2时取等号 方法技巧 1 利用基本不等式解决条件最值问题的关键是构造和为定值或乘积为定值 主要有两种思路 对条件使用基本不等式 建立相应的不等式求解 对条件
5、变形 以进行 1 的代换 从而利用基本不等式求最值 2 有些题目虽然不具备直接用基本不等式求最值的条件 但可以通过添项 分离常数 平方等方法使之能运用基本不等式 常用的方法还有 拆项法 变系数法 凑因子法 换元法 整体代换法等 1 1已知函数y x 4 x 1 当x a时 y取得最小值b 则a b等于 A 3B 2C 3D 8答案Cy x 4 x 1 5 因为x 1 所以x 1 0 0 所以由基本不等式 得y x 1 5 2 5 1 当且仅当x 1 即x 2时取等号 所以a 2 b 1 则a b 3 1 2实数x y满足x 2y 2 则3x 9y的最小值是 答案6解析利用基本不等式可得3x 9
6、y 3x 32y 2 2 x 2y 2 3x 9y 2 6 当且仅当3x 32y 即x 1 y 时取等号 1 3设x 1 则函数y 的最小值为 答案9解析因为x 1 所以x 1 0 所以y x 1 5 2 5 9 当且仅当x 1 即x 1时 等号成立 故函数y 的最小值为9 考点二基本不等式的实际应用典例2 1 某车间分批生产某种产品 每批产品的生产准备费用为800元 若每批生产x件 则平均仓储时间为天 且每件产品每天的仓储费用为1元 为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小 每批应生产产品 A 60件B 80件C 100件D 120件 2 要制作一个容积为4m3 高为1m的无盖长方
7、体容器 已知该容器的底面造价是每平方米20元 侧面造价是每平方米10元 则该容器的最低总造价是 A 80元B 120元C 160元D 240元 答案 1 B 2 C解析 1 设每批生产产品x件 则每件产品的生产准备费用是元 仓储费用是元 总的费用是元 由基本不等式得 2 20 当且仅当 即x 80时取等号 2 设底面相邻两边的长分别为xm ym 总造价为T元 则V xy 1 4 xy 4 T 4 20 2x 2y 1 10 80 20 x y 80 20 2 80 20 4 160 当且仅当x y时取等号 故该容器的最低总造价是160元 易错警示对实际问题 在审题和建模时一定不可忽略变量的范围
8、 一般地 每个表示实际意义的代数式必须为正 由此可得变量的范围 然后利用基本不等式求最值 2 1某工厂去年某产品的年销售量为100万件 每件产品的销售价为10元 每件产品的固定成本为8元 今年 工厂第一次投入100万元 并计划以后每年比上一年多投入100万元 预计销售量从今年开始每年比上一年增加10万件 第n次投入后 每件产品的固定成本为g n k 0 k为常数 n N 若产品销售价保持不变 第n次投入后的年利润为f n 万元 1 求k的值及f n 的表达式 2 若今年是第1年 则第几年的年利润最高 最高年利润为多少万元 解析 1 当n 0时 由题意得k 8 从而f n 100 10n 100
9、n 1000 80 n N 2 由 1 知f n 1000 80 1000 80 2 520 当且仅当 即n 8时取等号 所以第8年的年利润最高 最高年利润为520万元 考点三含参问题典例3 1 已知不等式 x y 9对任意的正实数x y恒成立 则正实数a的最小值为 A 2B 4C 6D 8 2 设x y z 且 n N 恒成立 则n的最大值为 A 2B 3C 4D 5答案 1 B 2 C解析 1 x y 1 a 1 a 2 1 2 x y a 0 当且仅当y x时取等号 所以 x y 的最小值为 1 2 于是 1 2 9恒成立 所以a 4 故选B 2 因为x y z 所以x y 0 y z
10、0 x z 0 不等式 恒成立等价于n x z 恒成立 因为x z x y y z 2 2 所以 x z 2 2 4 当且仅当x y y z时等号成立 则要使n x z 恒成立 只需使n 4 n N 故n的最大值为4 1 在应用基本不等式求最值时 要把握三个条件 即 一正 各项都是正数 二定 和或积为定值 三相等 等号能取得 这三个条件缺一不可 易错警示 2 若无明显 定值 则常用配凑的方法 使和为定值或积为定值 当多次使用基本不等式时 一定要注意每次是否能保证等号成立 并且要注意取等号的条件的一致性 否则就会出错 因此在利用基本不等式处理问题时 列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤 而且也是检验转换是否有误的一种方法 3 1已知a 0 b 0 若不等式 恒成立 则m的最大值为 A 9B 12C 18D 24答案B 且a 0 b 0 m a 3b 6 又 2 6当且仅当 时等号成立 m 12 故m的最大值为12 3 2已知lga lgb 0 则满足不等式 的实数 的最小值是 答案1解析由lga lgb 0得ab 1 a 0且b 0 则 1 当且仅当a b 1时等号成立 所以 1 即实数 的最小值是1
