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1、专题24 以几何体为载体的应用题在江苏高考的试题中，应用题是每年必考的题型，应用题主要体现了学生运用数学知识解决实际问题的能力。近几年来应用题以几何背景呈现的居多，特别是一些几何体如直棱柱、圆锥、圆柱、球等简单的几何体的面积或体积有关。因此，在复习中要特别重视以几何题为背景的函数应用题。解决此类问题的关键明确各个量之间的关系，运用立体几何的知识点求出各种量，然后表示出面积、体积建立目标函数。1、 例题选讲题型一、多面体有关的应用题例1、(2019苏州三市、苏北四市二调）一栋新农村别墅，它由上部屋顶和下部主体两部分组成如图，屋顶由四坡屋面构成，其中前后两坡屋面ABFE和CDEF是全等的等腰梯形，
2、左右两坡屋面EAD和FBC是全等的三角形点F在平面ABCD和BC上的射影分别为H，M.已知HM5 m，BC10 m，梯形ABFE的面积是FBC面积的2.2倍设FMH.(1) 求屋顶面积S关于的函数关系式；(2) 已知上部屋顶造价与屋顶面积成正比，比例系数为k(k为正的常数)，下部主体造价与其高度成正比，比例系数为16k.现欲造一栋上、下总高度为6 m的别墅，试问：当为何值时，总造价最低？ (1)先通过线面垂直得到FHHM，放在RtFHM中，求出FM，根据三角形的面积公式求出FBC的面积，根据已知条件就可以得到所求S关于的函数关系式(2)先求出主体高度，进而建立出别墅总造价y关于的函数关系式，再
3、通过导数法求函数的最小值(1)规范解答 由题意FH平面ABCD，FMBC，又因为HM平面ABCD，得FHHM.(2分)在RtFHM中，HM5，FMH，所以FM.(4分)因此FBC的面积为10.从而屋顶面积S2SFBC2S梯形ABFE222.2.所以S关于的函数关系式为S.(6分)(2)在RtFHM中，FH5tan，所以主体高度为h65tan.(8分)所以别墅总造价为ySkh16kkk96k80k96k.(10分)记f()，0，所以f()，令f()0，得sin，又0，所以.(12分)列表：f()0f()所以当时，f()有最小值答：当为时，该别墅总造价最低(14分) 理解题意，建立出函数的关系式，
4、是处理最优解类型应用问题的关键，第(1)问，抓住条件”梯形ABFE的面积是FBC面积的2.2倍”，只要用表示出FBC面积，即可得到屋顶面积第(2)问，需要先设出总造价为y元，抓住已知条件，求出主体高度并结合第(1)问中求得的屋顶面积，就可以建立函数关系式题型二、与球、圆有关的应用题例2、(2018苏北四市期末）某艺术品公司欲生产一款迎新春工艺礼品，该礼品由玻璃球面和该球的内接圆锥组成，圆锥的侧面用于艺术装饰，如图1，为了便于设计，可将该礼品看成是由圆O及其内接等腰三角形ABC绕底边BC上的高所在直线AO旋转180而成，如图2，已知圆O的半径为10 cm，设BAO，0，圆锥的侧面积为S cm2.
5、(1) 求S关于的函数关系式；(2) 为了达到最佳观赏效果，要求圆锥的侧面积S最大，求S取得最大值时腰AB的长度（图1）（图2） (1) 母线长l是OA在AB上的射影的两倍，可用表示底面半径r是l在底面上的射影，可用l和表示从而Srl可用表示；(2) 求导数，找导函数的零点，列表确定极大值，唯一的极大值也是最大值规范解答 (1) 设AO交BC于点D，过O作OEAB，垂足为E.在AOE中，AE10cos，AB2AE20cos.(2分)在ABD中，BDABsin20cossin，(4分)所以S220sincos20cos400sincos2.(6分)(2) 由(1)得S400sincos2400(
6、sinsin3)(8分)令xsin(0x1)，设f(x)xx3，则f(x)13x2，由f(x)13x20得x.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：xf(x)0f(x)极大值所以f(x)在x时取得极大值，也是最大值所以当sin时，侧面积S取得最大值，(11分)此时等腰三角形的腰长AB20cos2020(cm)答：侧面积S取得最大值时，等腰三角形的腰AB的长度为cm.(14分)例3、（2019秋闵行区校级月考）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧MPN（P为圆弧的中点）和线段MN构成，已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米，现规范在此农田修建两个温室大棚，大棚
7、内的地块形状为梯形MNBA，其中ABMN，且ABMN，大棚内的地块形状为ABP，要求A、B均在圆弧上，设OB与MN所成的角为（1）用表示多边形MAPBN的面积，并确定sin的取值范围；（2）若分别在两个大棚内种植两种不同的蔬菜，且这两种蔬菜单位面积的年产值相等，求当为何值时，能使种植蔬菜的收益最大【解析】解：（1）等腰梯形MNBA的高为OBsin+1040sin+10，AB2OBcos80cos，MN2402-102=2015，等腰梯形MNBA的面积为12（80cos+2015）（40sin+10）1600sincos+400cos+40015sin+10015，等腰三角形PAB中，P到AB的
8、距离为OPOBsin40（1sin），故等腰三角形PAB的面积为1280cos40（1sin）1600cos1600sincos，多边形MAPBN的面积为SMAPBN40015sin+2000cos+10015ABMN，080cos2015，即0cos154，14sin1（2）令f（）40015sin+2000cos+10015=400（15sin+5cos）+10015，400210sin（+）+10015其中sin=5210，cos=15210，即tan=153当+=2即=2-arctan153时，f（）取得最大值，此时种植蔬菜的收益最大【点睛】本题考查了解析式求解，三角函数恒等变换，函数
9、最值的计算，属于中档题题型三、与柱和锥有关的应用题例4、如图，某工厂根据生产需要制作一种下部是圆柱、上部是圆锥的封闭型组合体存储设备，该组合体总高度为8米，圆柱的底面半径为4米，圆柱的高不小于圆柱的底面半径已知制作圆柱侧面和底面的造价均为每平米2百元，制作圆锥侧面的造价为每平米4百元，设制作该存储设备的总费用为y百元（1）设SDO1(rad)，将y表示成的函数关系式；（2）求制作该存储设备总费用的最小值解析 （1）因为，. 所以y2S底面+ 2S圆柱侧4 S圆锥侧=32p+ 32p+=160p+64p(). （2）由（1）知y=160p+64p()，设， 因为，所以，所以，在(，上单调递减，
10、所以，当时，y取到最小值题型四、复杂几何体有关的应用题例5、(2017苏州预测卷）如图1所示为一种魔豆吊灯，图2为该吊灯的框架结构图，由正六棱锥和构成，两个棱锥的侧棱长均相等，且棱锥底面外接圆的直径为，底面中心为，通过连接线及吸盘固定在天花板上，使棱锥的底面呈水平状态，下顶点与天花板的距离为，所有的连接线都用特殊的金属条制成，设金属条的总长为y（1）设O1AO =(rad)，将y表示成的函数关系式，并写出的范围；（2）请你设计，当角正弦值的大小是多少时，金属条总长y最小解析（1）在直角OAO1中，由，所以，所以的范围是，其中，从而有，所以（，）（2）令，所以，令，则，则当时，；当时，函数的单调
11、性与关系列表如下：-0+极小值所以，其中取得最小值答：当角满足（）时，金属条总长y最小2、 达标训练1、(2017南京、盐城二模）在一张足够大的纸板上截取一个面积为3 600平方厘米的矩形纸板ABCD，然后在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒(如图)设小正方形边长为x厘米，矩形纸板的两边AB，BC的长分别为a厘米和b厘米，其中ab.(1) 当a90时，求纸盒侧面积的最大值；(2) 试确定a，b，x的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值思路分析 (1) 纸盒侧面积S(x)是关于x的函数，即求S(x)max.(2) 先猜想并证明ab时，底面积取
12、最大，这样问题变为求体积关于x的函数的最大值规范解答 (1) 当a90时，b40，纸盒的底面矩形的长为902x，宽为402x，周长为2608x.所以纸盒的侧面积S(x)(2608x)x8x2260x，其中x(0,20)，(3分)故S(x)maxS.答：当a90时，纸盒侧面积的最大值为平方厘米(6分)(2) 纸盒的体积V(a2x)(b2x)x，其中x，ab0，且ab3 600.(8分)因为(a2x)(b2x)ab2(ab)x4x2ab4x4x24(x260x900)，当且仅当ab60时取等号，所以V4(x360x2900x)，x(0,30)(10分)记f(x)4(x360x2900x)，x(0,
13、30)，则f(x)12(x10)(x30)，令f(x)0，得x10，列表如下：x(0,10)10(10,30)f(x)0f(x)极大值由上表可知，f(x)的极大值是f(10)16 000，也是最大值(12分)答：当ab60，且x10时，纸盒的体积最大，最大值为16 000 立方厘米(14分)解后反思 因为a，所以第(2)题实际上是体积V关于两个变量b，x的最值问题先固定x，处理变量b，再处理x.另外，对于求f(x)的最大值，学习过不等式选讲的学生也可用下面的解法因为x(0,30)，所以f(x)4x(30x)222x(30x)(30x)2316 000，当且仅当x10时取等号2、(2017徐州、连云港、宿迁三检）某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图所示圆的圆心与矩形对角线的交点重合，且圆与矩形上下两边相切(为上切点)，与左右两边相交(，为其中两个交点)，图中阴影部分为不透光区域，其余部分为透光区域已知圆的半径为1m，且设，透光区域的面积为（1）求关于的函数关系式，并求出定义域；（2）根据设计要求，透光区域与矩形窗面的面积比值越大越好当该比值最大时，求边的长度规范解答 （1）过点作于点，则，所以，2分所以，6分因为，所以，所以定义域为8分（2）矩形窗面的面积为则透光区域与矩形窗面的面积比值为10分设，则
