《2019年高考一轮热点难点名师精讲与专题16：恒成立问题你会多少》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019年高考一轮热点难点名师精讲与专题16：恒成立问题你会多少（29页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 考纲要求:1.理解不等式恒成立的基本概念，会根据不等式恒成立处理求参数范围的简单问题.2.通过自主学习与合作探究的教学过程，进一步提升学生自主学习的数学能力.3.通过本内容的教学，使学生掌握不等式恒成立与最值的关系，进一步了解数学各内容之间一种完美结合与渗透之美.基础知识回顾:恒成立：关于x的不等式f(x)0对于x在某个范围内的每个值不等式都成立，就叫不等式在这个范围内恒成立。若函数在区间上存在最小值和最大值，则:不等式在区间上恒成立；不等式在区间上恒成立；不等式在区间上恒成立；不等式在区间上恒成立；若函数在区间上不存在最大（小）值，且值域为，则：不等式（或）在区间上恒成立；不等式（或）在区
2、间上恒成立；应用举例【例1】【河南省2018年高考一模】已知定义在R上的函数和分别满足，则下列不等式恒成立的是A g(2016)f(2)g(2018) B f(2)g(2016)f(2)g(2018) D f(2)g(2016)g(2018)【答案】C【详解】 令，则f(0)=f(1)2e2，令，则f1=f1+2-2 f(0)，解得f1=2e2，则，令，g(x)+2g(x)e20162g(2018)，可得g(2016)e4g(2018) 故选【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、构造法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题。【例2】【河北省唐山一中2018届高
3、三下学期强化提升考试（一）】设，当x0时，不等式12x2+1-ax-alnx2a-32a2恒成立，则的取值范围是（ ）A B C 1,+ D 【答案】A a22+a-a2-alna2a-32a2，令ga=a2-a-alna0，a0则ha=1-1a令，可得当a0，1时，ha递减；当时，ha递增；则当时，故的解集为：且则的取值范围是故选A【点睛】本题运用导数解答了恒成立问题，先通过导数求出不等式左边的最小值，然后代入不等式，构造新函数，再次运用导数求出最值，从而计算出结果，本题导数的运用性较强、综合性强，需要掌握其解答方法。【例3】【河南省中原名校2018届高三高考预测金卷】定义在上的函数的导函数
4、为，且f(x)=f(1)eex+f(0)2x2-x，若存在实数使不等式对于恒成立，则实数的取值范围为（ ）A B C D 【答案】D【点睛】本题主要考查利用导数求函数的最值以及不等式恒成立问题，属于难题不等式恒成立问题常见方法： 分离参数恒成立(即可)或恒成立（afxmin即可）； 数形结合( 图象在 上方即可)； 讨论最值或恒成立； 讨论参数. 【例4】【河南省信阳高级中学2019届高三第一次大考】已知函数，.（1）讨论的单调区间；（2）若恒成立，求的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）（2）由题意，lnxm(x2-1)，恒成立， 0m1),x=12mx(1,12m),g(x)0,g(x)
5、递增，gxg1=0舍去综上，点睛：（1）本题主要考查导数求函数的单调性、最值，考查导数证明不等式，意在考查学生对这些知识的掌握能力和分析推理能力转化能力. (2)解答本题的难点在于第2问中要构造新函数然后求函数的最大值，体现的主要是转化的思想方法、规律归纳:上述例子剖析了数学高考中恒成立问题的常见题型及解法，解决这类题目要看清式子的特征，选择合适的方法，以便事半功倍.(1)对于含二次项恒成立的问题，注意讨论二次项系数是否为0，这是容易漏掉的地方.（2）恒成立问题一般需转化为最值，利用单调性证明在闭区间的单调性.(3)一元二次不等式在上恒成立，看开口方向和判别式.(4)含参数的一元二次不等式在某
6、区间内恒成立的问题通常有两种处理方法：一是利用二次函数在区间上的最值来处理；二是分离参数，再去求函数的最值来处理，一般后者比较简单.（5）值得一提的是，各种类型各种方法并不是完全孤立的，虽然方法表现的形式不尽相同，但其实质却往往与求函数的最值息息相关，从而在解数学函数与不等式恒成立的过程中，欣赏一下数学中的“统一美”，在努力攀登知识的高峰中，不要忘了多看身边的美景，度过有意义的时光.实战演练:1【北京东城北京二中2018届高三上学期期中考试】已知函数，（）求函数的单调区间及最值（）若对，恒成立，求的取值范围（）求证：13+15+17+12n+10得-1x0，恒成立，即对x0，a(x+2)1-l
7、n(1+x)恒成立，令h(x)=(x+2)1-ln(1-x)，则h(x)=1-ln(1+x)-x+2x+1=-ln(1-x)-1x+1，当x0时，显然，在(0,+)上是减函数，当x0时，即的取值范围是 2【江苏省南通市2018届高三最后一卷】已知函数，其中aR.（1）当时，求函数f(x)在处的切线方程；（2）若函数存在两个极值点，求的取值范围；（3）若不等式对任意的实数恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1) .(2) .(3) 0,1.（2）由，x0可得因为函数存在两个极值点，所以x1,x2是方程f(x)=0的两个正根，即的两个正根为所以=a2-4a0x1+x2=1x1x2=1a0，即所以=
8、12ax1+x22-2x1x2-a(x1+x2)+lnx1x2+52a=2a-lna-1令，故，在(4,+)上单调递增，所以g(a)g(4)=7-ln4故得取值范围是（ii）若4a2-4a0，即a1，令，得（舍去），x2=1+a2-aa1，当时，h(x)0，在上单调递增，所以存在，使得，与题意矛盾，所以不符题意.若，令，得当时，h(x)0，h(x)在上单调增；当时，h(x)1-a2-aa，只要证：因为a0，所以，故所以其次证明，当a0时，对任意的x(1,+)都成立令，则，故t(x)在(1,+)上单调递增，所以，则所以当a0时，对任意的x(1,+)都成立所以当时，即，与题意矛盾，故不符题意，综上
9、所述，实数的取值范围是.点睛：本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.3【陕西省咸阳市2018年高考5月信息专递】已知函数（）当时，求函数在点处的切线方程；（）当时，
10、求证：对任意的恒成立.【答案】（1）（2）见解析 4函数.（1）当时，求fx在区间上的最值；（2）讨论fx的单调性；（3）当时，有恒成立，求的取值范围.【答案】（1）（2）当a0时，在(0,+)递增；当-1a0，f(x)在上单调递增；当-1a0时，由得，或（舍去）在上单调递增，在上单调递减；综上，当时，在单调递增；当时，f(x)在单调递增，在上单调递减.当a-1时，f(x)在单调递减； 5【山东省肥城市2018届高三适应性训练】已知函数f(x)=xlnx+ax+1，.（1）当时，若关于的不等式恒成立，求的取值范围；（2）当时，证明： .【答案】（1）-1,+)；（2）见解析（2）由（1），当a
11、=-1时，有，即.要证，可证e(x-1)ex1，即证，x1.构造函数.则.当时，.G(x)在1,+)上单调递增.G(x)G(1)=0在(1,+)上成立，即，证得.当x(1,+)时，e(x-1)exlnx成立.构造函数H(x)=lnx-x2+x(x1).则H(x)=1x-2x+1 =-(2x2-x-1)x .当时，H(x)0，在上单调递减.H(x)H(1)=0，即.当x(1,+)时，成立.综上，当x(1,+)时，有.【点睛】解题时要学会用第一问己得到的结果或结论，如本题证明左边可由（1），当a=-1时，有，即.要证e(x-1)exlnx，只需证e(x-1)ex1，即证eex1.同时证明不等式恒成
12、立时，要适当的为不等式变形。6【四川省南充高级中学2018届高三考前模拟考试】已知函数，.（1）当x0时，fxgx恒成立，试求实数a的取值范围；（2）若数列满足：，证明：.【答案】（1）；（2）见解析则Fx=x2-ax-cosx+cosx+a-xsinx=x-ax-sinx，令hx=x-sinxx0，则hx=1-cosx0，hx在R上单调递增，在0,+上也单调递增，当x0时，hx=x-sinxh0=0，在0,+上单调递增，FxF0=-a0恒成立，当时，Fx在0,a上单调递减，在上单调递增，而F0=-ae+m(x-1)对任意x(1,+)恒成立，求实数m的取值范围.【答案】（1）(e-a)x-y+a=0；（2）me+1（2）由f(x)=ex-alnx，原不等式即为ex+lnx-e-m(x-1)0记F(x)=ex+lnx-e-m(x-1),F(1)=0依题意有F(x)0岁任意x1,+)恒成立，求导得，当x1时，F(x)0，则在(1,+)上单调递增，有F(x)
