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1、绝密启用前 2021 届会昌中学宁师中学第 3 次联考 高二数学试卷（理） 2021 届会昌中学宁师中学第 3 次联考 高二数学试卷（理） 命题人：李 滢审题人: 卢 萍 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分。每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的） 分。每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的） 1. 已知直线 12 :220,:410lxylaxy , 若 12 ll, 则a的值为（） A. 2B. 2C. 1 2 D. 8 2对于任意实数a b c d, , ,，给定下列命题正确的是（） A. 若,0a
2、b c，则acbcB. 若,ab，则 22 acbc C. 若 22, acbc则abD. 若,ab则 11 ab 3. 在ABC中，若点D满足3BDDC ，点E为AC的中点，则ED （） A 51 63 ACAB B 11 44 ABAC C 31 44 ACAB D 51 63 ACAB 4. 设等差数列 n a前n项和为 n S，若2 54 Sa，14 7 S，则 10 a（） A8B18C14D-14 5. 在ABC 中，角 A，B，C 所对边分别为a，b，c，若2a，6b， 4 A，则B（） A 6 B 3 C 6 或 6 5 D 3 或 3 2 6. 若 x，y 满足 10 10
3、330 xy xy xy ，则2zxy的最小值为（） A. 1B. 2C. 2D. 1 7. 中国古代数学名著算法统宗中有这样一个问题：“三百七十里关，初行健步不为难，次日脚痛减一 半，六朝才得到其关，要见次日行数里，请公仔细算相还”.其意思为：“有一个人走 378 里路，第一天健步 行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6 天后到达目的地”，则该人最后一天走的路 程为（） A. 24 里B. 12 里C. 6 里D. 3 里 8. 已知 nm, 是两条直线， ,是两个平面，则下列命题中正确的是（） A,/ / /mmnn B/ / ,/ /mnnm C./ / ,/ / ,m
4、mnnD,/ / /mnmn 9已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是 () A. 3 108cmB. 3 100cmC. 3 92cmD. 3 84cm 10已知长方体 ABCDA1B1C1D1的棱 AB 和 A1D1的中点分别为 E，F，若 AB6， AD8，AA17，则 异面直线 EF 与 AA1所成角的正切值为（） A. 5 7 B. 7 5 C. 5 74 74 D. 7 74 74 11. 已知直线043 yx与圆25)2( 22 yx交于 A，B 两点，若 P 为圆上异于 A，B 的动点，则 ABP的面积的最大值为 () A. 8B. 16C. 32D.
5、64 12如图，直角ABC的斜边BC长为 2， 0 30C ,且点CB,分别在x轴y轴正半轴上滑动，点A在 线段的右上方，设 ),(RyxOCyOBxOA ，记 OCOAM ，yxN,则（） A.M有最大值，N有最大值B.M有最小值，N有最小值 C.M有最小值，N有最大值D.M有最大值，N有最小值 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。）分。） 13已知角的终边经过点(3, 4)，则sincos +_. 14. 过点 1 ( ,1) 2 M的直线l与圆C： 22 (1)4xy交于A、B两点，C为圆心，当ACB最小时，直 线l的方程为
6、_ 2 15 . 已知实数0a ，0b ， 11 1 11ab ，则2ab的最小值是_ 16. 正方体 1111 ABCDABC D棱长为3，点E在边BC上，且满足2BEEC，动点M在正方体表面上 运动，并且总保持 1 MEBD，则动点M的轨迹的周长为_ 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，小题，17 题题 10 分，其余各题分，其余各题 12 分）分） 17. 已知a ，b 为两个不共线向量，2a ，1b ，2cab ，dakb . (1) 若/ /cd ，求实数k； (2) 若7k ，且cd ，求a 与b 的夹角. 18.已知数列 n a的前n项和为 n S，且 3 1 2
7、 nn Sa()nN (1) 求数列 n a的通项公式； (2) 设 3 2log1 2 n n a b ，求 1 22 31 111 nn bbb bbb . 19. 如图，在四棱锥PABCD中，90ADB ，CBCD，点E为棱PB的中点 (1) 若PBPD，求证：PCBD； (2) 求证：CE/平面PAD 20. 在ABC 中，A，B，C 所对的边分别为 a，b，c 且cos4cA ，sin5aC （1）求边长c； （2）若ABC 的面积20S 求ABC 的周长 21.已知圆C经过点) 1, 3(),1 , 1 (BA，圆心C在直线052 yx上，p是直线01043 yx上的任 意一点 （
8、1）求圆C的方程； （2）过点p向圆C引两条切线，切点分别为M，N，求四边形PMCN的面积的最小值 22. 已知四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，且2,1ADAB，若PA平面ABCD，,E F 分别是线段,AB BC的中点. （1）证明：PFDF； （2）在线段PA上是否存在点G，使得EG平面PFD？若存在，确定点G的位置；若不存在，说 明理由. （3）若PB与平面ABCD所成的角为 0 45,求二面角APDF的余弦值. 理科数学 一选择题 ACBCD BCDBA CD 二填空题 1 5 2430 xy 2 2 6 2 三计算题 17. （1）cd ru r ，cd ru r . 2ab
9、akb rrrr . 因为, a b r r 不共线， 2 1 12 k k 5 （2）7k ，7dab u rrr . 又cd ru r ， 270abab rrrr . 22 21570aa bb rr rr . 又2,1ab rr ,1a b r r 10 18 (1)当 n1 时，a13 2a11，a12. 1 . Sn3 2an1， Sn13 2an11(n2)， 得 an(3 2an1)( 3 2an11)，即 an3an1，4 数列an是首项为 2，公比为 3 的等比数列， an2 3n1.6 (2)由(1)得 bn2log3an 2 12n1，.7 1 b1b2 1 b2b3
10、1 bn1bn 1 13 1 35 1 2n32n1 1 2(1 1 3)( 1 3 1 5)( 1 2n3 1 2n1) n1 2n1.12 19证明： （1）取BD的中点O，连结COPO， 因为CDCB，所以CBD为等腰三角形，所以BDCO 因为PBPD，所以PBD为等腰三角形，所以BDPO 又POCOOI，所以BD 平面PCO 因为PC 平面PCO，所以PCBD6 （2）由E为PB中点，连EO，则EOPD， 又EO平面PAD，所以EO平面PAD 由90ADB，以及BDCO，所以COAD， 又CO平面PAD，所以CO平面PAD 又=COEO OI，所以平面CEO平面PAD， 而CE 平面C
11、EO，所以CE平面PAD .12 20. （1）由正弦定理可得：2 sinsinsin abc R ABC ，可得：asinCcsinA， asinC5，可得：csinA5，可得：sinA 5 c ，又ccosA4，可得：cosA 4 c ， 可得：sin2A+cos2A 22 2516 cc 1，解得 c 41.6 （2）ABC 的面积 S 1 2 absinC20，asinC5，解得：b8，.8 由余弦定理可得：a2b2+c22bccosA64+412 4 41 8 41 41， 解得：a 41，或41（舍去） ，.11 ABC 的周长a+b+c 41+8+418+241.12 21解：
12、（1）设圆心坐标为（a，2a5） ，则 圆C过两点A（1，1） ，B（3，1） ， a3，圆心坐标为（3，1）圆的半径为 2. 圆C的方程为（x3） 2+（y1）24；6 （2）由题意过点P作圆C的两条切线，切点分别为M，N， 可知四边形PMCN的面积是两个三角形的面积的和，因为CMPM，CM1， 显然PM最小时，四边形面积最小，此时PC最小 P是直线 3x4y+100 上的动点， PC最小值PM最小值 四边形PMCN面积的最小值为 2212 22. （1）连接AF，则2AF ，2DF . 又2AD ， 222 DFAFAD，DFAF 又PA平面ABCD，DFPA.又PAAFAI. DF 平面
13、PAF. PF 平面PAF，DFPF3 （2）过点E作EHFD交AD于点H，则EH平面PFD，且有 1 4 AHAD. 再过点H作HGDP交PA于点G，连接EG，则HG平面PFD且 1 4 AGAP. 平面EHG平面PFD.EG平面PFD. 当G为PA的一个四等分点（靠近点A）时，EG平面PFD.7 （3）PA平面ABCD，PBA是PB与平面ABCD所成的角，且45PBA， 1PAAB. 取AD的中点M，连接FM，则FMAD，FM 平面PAD，FMPD. 在平面PAD中，过点M作MNPD于点N，连接FN则PD 平面FMN，则MNF为二 面角APDF的平面角. RtMNDRtPAD， MNMD PAPD 1PA，1MD ，5PD ，且90FMN， 5 5 MN ， 30 5 FN ， 6 cos 6 MN MNF FN 故二面角APDF的余弦值为 6 6 .12
