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1、湖南省衡阳市第八中学2019届高三数学上学期第二次月考试题 文（含解析）注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、单选题1已知集合，则A B C D 2已知复数 (是实数)，其中是虚数单位，则复数的共轭复数是A B C D 3已知直线的倾斜角为且过
2、点，其中，则直线的方程为A B C D 4中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难,次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：“有人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”问此人第2天走了A 24里 B 48里 C 96里 D 192里5已知，则，的大小关系为A B C D 6已知向量满足，则的夹角等于A B C D 7已知满足约束条件，若的最大值为4，则A B C D 8设分别为三边的中点，则A B C D 9如图，在棱长为2的正方体中，的中点是，过点作与截面平行的截面
3、，则该截面的面积为A B C D 10在等差数列中，公差为，前n项和为，当且仅当时取得最大值，则的取值范围是A B C D 11已知函数相邻两条对称轴间的距离为，且，则下列说法正确的是A B 函数是偶函数C 函数的图象关于点对称 D 函数在上单调递增12已知函数，若是函数的唯一极值点，则实数的取值范围是A B C D 二、填空题13若，则_.14若过点作圆的切线，则直线的方程为_.15某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的外接球的表面积是_16己知实数满足，则的最小值_.三、解答题17的内角，的对边分别为，已知.（1）求；（2）若，为边上一点，且，求.18已知数列前项和为，且(1)证
4、明：是等比数列；(2) 若数列，求数列的前项和19如图在三棱柱中，.(1)证明：；(2)若，求四棱锥的体积.20已知过点的圆M的圆心在轴的非负半轴上，且圆M截直线所得弦长为.(1)求圆M的标准方程；(2)若过点的直线交圆M于两点，求当的面积最大时直线的方程.21已知函数，其中(1)试讨论函数的单调性；(2)若，且函数有两个零点，求实数的最小值22已知不等式的解集为(1)求的值；(2)若，求证：12019届湖南省衡阳市第八中学高三上学期第二次月考数学（文）试题数学 答 案参考答案1B【解析】，故选2A【解析】【分析】先求出的值，然后再求出复数的共轭复数【详解】，即，的共轭复数是故选【点睛】本题考
5、查了复数的计算及共轭复数，较为基础。3B【解析】【分析】先求出直线的斜率，代入点斜式方程，再转化为一般式，即可得到答案【详解】，则直线方程为：，即故选【点睛】本题考查的知识点是直线的点斜式方程，直线的斜率，较为基础。4C【解析】【分析】将问题转化为数列问题，得到一个等比数列，然后再求解【详解】由题意可知此人每天走的步数构成为公比的等比数列由题意和等比数列的求和公式可得：解得此人第二天走的步数为：里故选【点睛】本题主要考查了等比数列的定义和前n项和公式与通项公式，考查了学生的运算求解能力，属于基础题。5D【解析】【分析】根据指数函数性质确定a范围，根据对数函数性质确定b,c范围，最后根据范围确定
6、大小.【详解】由题得 =所以故选D【点睛】比较大小时常利用对应函数的单调性，如时两个不同类型的函数，则需借助中间量进行比较.6A【解析】【分析】设的夹角为，根据，求得的值，即可求得答案【详解】设的夹角为，则，即，则故选【点睛】本题主要考查了两个向量的数量积的定义，求向量的模，根据三角函数的值求角，属于基础题。7B【解析】【分析】先画出可行域，结合目标函数的最大值求出的值【详解】作出不等式组对应的平面区域如图，阴影部分则，若过时取得最大值为4，则，解得此时目标函数为，即平移直线，当直线经过时，截距最大，此时最大为4，满足条件若过时取得最大值为4，则，解得此时目标函数为，即平移直线，当直线经过时，
7、截距最大，此时最大为6，不满足条件，故综上所述，故选【点睛】本题主要考查了线性规划，一般步骤为：先画出可行域，然后改写目标函数，求出取得最值时的值，本题要求参数的取值解法也是如此，注意分类情况。8D【解析】【分析】运用向量的加法求出结果【详解】分别为三边的中点，故选【点睛】本题主要考查了向量的加法运算及其几何意义，属于基础题。9C【解析】【分析】在棱长为2的正方体中，的中点是，过点作与截面平行的截面，则该截面是一个对角线分别为正方体体对角线和面对角线的菱形，进而得到答案【详解】在棱长为2的正方体中，的中点是，过点作与截面平行的截面，则该截面是一个对角线分别为正方体体对角线和面对角线的菱形，如下
8、图所示：则，则截面的面积故选【点睛】本题主要考查的知识点是空间立体几何中截面的形状的判断，面面平行性质，四棱柱的结构特征，解答本题的关键是画出截面，并分析其几何特征，属于中档题。10C【解析】【分析】根据题意计算，求出取得最大值时的取值范围【详解】根据题意，当且仅当时取得最大值，则解得的取值范围为故选【点睛】本题主要考查的是等差数列和的性质，结合题意列出关于的表达式，求出不等式的取值范围。11D【解析】【分析】逐一分析四个选项即可得到答案【详解】由题意可得，函数的周期为,则，故错误当时，解得，故取时，函数的解析式为，函数为奇函数，故错误，则函数的图象不关于点对称，故错误当时，故函数在上单调递增
9、，故正确故选【点睛】本题主要考查了的奇偶性、单调性和最值问题，熟练运用三角函数的图像性质是解题关键。12A【解析】由函数，可得， 有唯一极值点有唯一根， 无根，即与无交点，可得，由得， 在上递增，由得， 在上递减， ，即实数的取值范围是，故选A.【方法点睛】已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个
10、函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题 .13【解析】【分析】根据二倍角公式和诱导公式化简即可【详解】故答案为【点睛】本题主要考查了二倍角公式，同角三角函数的基本关系，考查了推理能力和计算能力，属于基础题。14或【解析】【分析】讨论斜率不存在时是否有切线，当斜率存在时，运用点到直线距离等于半径求出斜率【详解】圆即当斜率不存在时，为圆的切线当斜率存在时，设切线方程为即，解得此时切线方程为，即综上所述，则直线的方程为或【点睛】本题主要考查了过圆外一点求切线方程，在求解过程中先讨论斜率不存在的情况，然后讨论斜率存在的情况，利用点到直线距离公式求出结果，较
11、为基础。15【解析】【分析】先还原几何体，然后求解出外接球的半径【详解】由三视图可知：几何体是三棱锥，且最里面的面与底面垂直，高为，如图所示其中，平面，且其外接球的球心在上，设球心为则外接球的半径所以该几何体的外接球的表面积【点睛】本题主要考查了还原三视图求几何体外接球的表面积，首先要得到几何体是三棱锥，然后计算出外接球的半径才能求出表面积，本题属于中档题。16【解析】【分析】将最值问题转化为两点之间的距离问题来求解【详解】由题意可得可以表示两点与之间距离的平方故，可以看成是函数，即函数在的切线与函数平行时求出最小值则，解得此时故的最小值为【点睛】在含有多个字母的运算中将其转化为函数的问题，看
12、成变量关系，然后转化为曲线上的点到直线距离的最小值，求导后求出点坐标，继而求出结果，本题主要考查了转化思想，有一定难度。17（1）；（2）【解析】试题分析：（1）根据正弦定理及，得，又由，所以，即可求解；（2）由余弦定理求得，再由正弦定理，解得，再由正弦定理，进而求得的长.试题解析：（1）根据正弦定理，由，得，因为，所以，所以 ，即，因为，所以，所以.又，解得.（2）在中，由余弦定理，又，所以 ，整理得，因为，所以，在中，由正弦定理，得，解得.在中，由正弦定理，因为，所以，解得.18（1）见解析；（2）【解析】【分析】由已知条件求出，再根据，证明结果运用裂项相消法求出数列的和【详解】(1)当时
13、， 是以为首项，2为公比的等比数列.(2)由(1)得：，【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式的求法及运用裂项相消法求出数列的和，较为基础。19（1）见解析；（2）2【解析】试题分析：（1）证明平面，得；（2）。试题解析：（）证明：设点为的中点，连接，由，知与均为等边三角形，点为的中点，可得，相交于点，所以平面，又平面，所以 （）由（）知与均是边长为是等边三角形，又在中，由余弦定理得，所以，故，又，故平面，所以，所以，所求三棱柱的体积为 20（1）；（2）【解析】【分析】设圆的方程为：，求出圆心到直线的距离，由勾股定理求出半径求出弦长和三角形的高，给出面积的表达式，求出最小值时的直线方程【详解】(1)设圆的方程为：则圆心到直线的距离等于由题意得：由题意得所以所求圆的方程为：(2) 由题意可知，直线的斜率存在，设直线的方程为则圆心M到直线的距离等于，所以(或由求出) 又点到直线的距离等于，所以因为，
