《2017秋八年级数学上册 15.4 角的平分线 15.4.1 角的平分线的性质课件 (新版)沪科版》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2017秋八年级数学上册 15.4 角的平分线 15.4.1 角的平分线的性质课件 (新版)沪科版(28页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、第15章 轴对称图形与等腰三角形 15.4 角的平分线 第1课时 角的平分线的性质 1课课堂讲讲解 u角的平分线的画法 u角的平分线的性质 2课时课时 流程 逐点 导讲练 课堂 小结 作业 提升 1知识识点角的平分线的画法 问题:怎样作出角的平分线? 知1导 知识识点 角的平分线的画法1: 通过折纸可以作出一个角的角平分线.在半透明纸上任画 一个角,请你用折叠的方法,找出角的平分线,如图. 知1讲 归归 纳纳 知1讲 角是轴对称图形,角平分线所在的直线是它的对称轴. (来自教材) 知1讲 角的平分线的画法2: 也可以用量角器来画一个角的平分线. 角的平分线的画法3:下面介绍用尺规作图的方法作出
2、AOB的平分线(如图). 作法: 1.以O为圆心,任意长为半径画弧分别交OA,OB于点M,N,如图(1). 2.分别以点M,N为圆心,以大于 MN长为半径(为什么?)在角的内 部画弧交于点P,如图(2). 3.作射线OP,则OP为所要求作的AOB的平分线,如图(3). 知1讲 思考: 1.根据作图,你能证明所作射线OP,就是AOB的平分线吗? 2.当AOB的两边成一直线时(即AOB= 180),你会作 这个角的平分线吗?这时的角平分线与直线AB是什么关系? 知1讲 拓展:过一点作已知直线的垂线: 1.经过已知直线上的一点作这条直线的垂线: 如图所示,已知直线AB和AB上一点C,作AB的垂线,使
3、它经过点C. 作法:如图所示 第一步:作平角ACB的平分线CF; 第二步:反向延长射线CF.直线CF就是所要求作的垂线 知1讲 2经过已知直线外一点作这条直线的垂线: 如图所示,已知直线AB和AB外一点C, 作AB的垂线,使它经过点C. 作法:如图所示 第一步:以点C为圆心,作能与AB相交于D 、 E两点的弧; 第二步:作 DCE的平分线CF; 第三步:反向延长射线CF.则直线CF就是所要求作的垂线 知1讲 思考: 为什么这样作出的直线CF就是所求作的垂线?你能说说道理 吗? 归归 纳纳 知1讲 (来自点拨) 1.理论根据:作角平分线的理论根据是三角形全等的判 定方法:“SSS” 拓展:根据角
4、平分线的作法还可以作已知角的四等 分线 2.易错警示:作角平分线的最后一步“过两点作射线” 时,不能简单地叙述为“连接两点”,连接两点是线 段,角平分线是射线而不是线段 知1讲 如图所示,已知AOB, 求作:AOM AOB. 导引:要作射线OM,使AOM AOB, 可作 AOB的平分线 解:作法: (1)以点O为圆心,适当长为半径画弧,交OA于点E,交OB于点F; (2)分别以点E,F为圆心,大于 EF的长为半径画弧,两弧在AOB的内部 交于点C; (3)画射线OC; (4)同理,作AOC的平分线OM. AOM即为所求(如图所示) (来自点拨) 例1 总总 结结 知1讲 (来自点拨) 作法中“
5、适当长为半径画弧”的目的是为方便作 图,不能太大或太小;“大于 EF的长为半径画弧” 是因为若以小于或等于 EF的长为半径画弧时,画 出的两弧不能相交 1在下面尺规作图中,了解作图道理,保留作图痕迹,不 要求写作法. 已知一直角边和斜边作直角三角形. 知1练 (来自教材) 2 作AOB的平分线时,以O为圆心,某一长度为半径作弧,与OA ,OB分别相交于C,D,然后分别以C,D为圆心,适当的长度为 半径作弧,使两弧相交于一点,则这个适当的长度应( ) A大于 CD B等于 CD C小于 CD D以上答案都不对 (中考玉林)根据图中尺规作图的痕迹,先判断得出结论: _,然后证明你的结论(不要求写
6、已知、求证) 知1练 (来自典中点) 3 4 利用尺规作AOB的平分线的方法如下:如图,以点O为圆心,任 意长为半径画弧,交OA于点C,交OB于点D,再分别以点C,D为 圆心,以大于 CD的长为半径画弧,两弧在AOB的内部交于点 P,作射线OP.此作法的依据是( ) ASAS BASA CAAS DSSS 知1练 (来自点拨) 2知识识点角的平分线的性质 知2导 思考: 如图,OP是AOB的平分线,P是OP上的任一点,过点P分别 作PCOA,PD OB,点C,D是垂足.你能猜想PC,PD长度间有 什么关系吗?证明你的猜想. 知2讲 下面我们给出上面“思考”中猜想结论的证明. 证明:OP平分AO
7、B,(已知) AOP=BOP.(角平分线定义) 又 PCOA,PD OB,(已知) PCO=PDO= 90.(垂直的定义) 在PCO 和 PDO中, PCO PDO.(AAS) PC=PD. (来自教材) 知识识点 知2讲 1.角的平分线的性质:角平分线上的点到角两边的距离相等 要点精析:(1)点一定要在角平分线上;(2)点到角两边的距离 是指点到角两边垂线段的长度;(3)角平分线的性质可用来证 明两条线段相等 2书写格式:如图,OP平分AOB, PDOA于点D,PEOB于点E, PDPE. 3易错提示:易找错距离,误以为角平分线上的点到角的两 边的距离就是角平分线上的点与角两边上任意点间的距
8、离 知识识点 知2讲 例2 如图,在ABC中,C90,AD平分CAB, DEAB于E,F在AC上,BEFC,求证:BDDF. 导引:要证BDDF,可考虑证两线段所在的BDE和 FDC全等,两个三角形中已有一角和一边相等,只 要再证DECD即可,这可由AD平分CAB及垂直条件证得 证明:AD平分CAB,DEAB于E,C90, DEDC,DEBC90. 在BDE和FDC中, BDEFDC, BDDF. (来自点拨) 总总 结结 知2讲 (来自点拨) 由角平分线的性质不用证全等可以直接得线段 相等,这是证线段相等的一个简捷方法 知识识点 知2讲 例3 如图,在ABC中,C90,BCAC, AD是BA
9、C的平分线,DEAB于点E.若AB10 cm, 求DBE的周长 导引:要求DBE的周长,实质是求BEDEBD的长,而题中已知 AB10 cm,因此需证DEBDAE,又AD是角平分线及垂直 条件知DECD,所以需证BCAE,由BCAC,因此只需证 ACAE,它可由RtACDRtAED得出 知识识点 知2讲 解:AD平分CAB,且C90,DEAB, DCDE. 又CDEA90,ADAD, RtACDRtAED, ACAE. 又ACBC, ACAEBC. DEEBBDDCEBBDBCEBAEEBAB. 又AB10 cm, DBE的周长为DBBEDE10 cm. (来自点拨) 1 已知:如图,ABC中
10、,AB=AC,AD是BAC的平 分线,DEAB,DF AC,垂足分别为点E,F. 判断下列结论是否正确: (1)DE=DF.( ) (2)BD=CD.( ) (3)AD上任一点到AB,AC的距离相等.( ) (4) AD 上任一点到点B,C距离相等.( ) 知2练 (来自教材) 2 (中考茂名)如图,OC是AOB的平分线,P是OC上一点, PDOA于点D,PD6,则点P到边OB的距离为( ) A6 B5 C4 D3 如图,在ABC中,C90,ACBC,AD平分CAB交 BC于D,DEAB于E,若AB6 cm,则DBE的周长是( ) A6 cm B7 cm C8 cm D9 cm 知2练 (来自
11、典中点) 3 4 (中考湖州)如图,已知在ABC中,CD是AB边上的高线,BE 平分ABC,交CD于点E,BC5,DE2,则BCE的面积等 于( ) A10 B7 C5 D4 知2练 (来自典中点) 如图,已知AC平分BAD,CEAB于E,CFAD于F,且BC CD. (1)求证:BCEDCF; (2)若AB15,AD7,求BE的长 5 (来自点拨) 1.角的平分线图形结构中的“两种数量关系”: 如图,OC 平分AOB,点P在OC上, PDOA,PEOB,DE交OC于点F. (1)角的相等关系:AOCBOCPDF PEF;ODPOEPDFOEFO DFPEFPPDAPEB90;DPO EPOODFOEF. (2)线段的相等关系:ODOE,DPEP,DFEF. 2. 运用角的平分线的性质解决与面积有关的问题的方法: 首先运用三角形的面积公式将面积关系转化为线段关 系,再结合角的平分线的性质进一步转化为三角形边长 之间的关系,从而把两者建立起关系,结合已知条件可 解决问题 3. 过角平分线上一点作垂线是解决有关角平分线问题最 常用的作辅助线的方法