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1、机械工程有限元法基础,周培,机电工程系,有限元法现已成为计算机数值模拟中的一种主要手段. 现广泛应用于机械、电子、航空航天、汽车、船舶、建筑以及石油化工等领域.,拓展到了,电磁学,流体力学,传热学,声学等领域,从简单的静力分析,发展到了,动态分析,非线性分析,多物理场耦合分析等复杂问题的计算,它从最初的固体力学领域,有限元法是根据变分原理求解数学物理问题的一种数值方法.,船体在弯扭联合作用下的结构“应力-变形”有限元分析,风洞 强度与振动,增压风洞的第一阶模态 f=10.36Hz,电机谐响应分析,电机谐响应分析,第一节 有限元法的产生与基本思想,边界条件,数学问题,解析法 数值法,差分法 变分
2、法 有限元法,微分方程的边值问题,差分法,基本思想:用均匀的网格离散求解域,用离散点的差分代替微分,从而将连续的微分方程和边界条件转化为网格节点处的差分方程,并用差分方程的解作为边值问题的近似解.,边值问题为,(1-3),对每个内节点 xi ,若用差分近似代替微分,有,同样,将(1-4)(1-5)代入(1-3),得,即,再由(1-3)中的边界条件,有,线性方程组,变分法,变分原理:微分方程边值问题的解等价于相应泛函极值问题的解.,边值问题的求解,泛函极值的求解,泛函:给定满足一定条件的函数集合A:y(x),和实数集合R。设y(x)是A中的函数,V是R中的变量,若A和V之间存在一个对应关系,就是
3、A中的每个函数y(x),R中都有唯一的V值与之对应,则称V是函数y(x)的泛函,记为V=V(y(x)。,A称为泛函的定义域,可变函数y(x)称为自变函数,依赖自变函数而变的量V,称为自变函数的泛函。,里兹法:,选择一个定义于整个求解域并满足边界条件的试探函数,将试探函数代入泛函表达式,建立线性方程,求解方程计算系数,式中， 为待定系数。,设有边值问题,(1-8),通过数学推导，求得其泛函为,现用一试探函数近似原边值问题的解，试探函数设为以下多项式形式,(1-9),(1-10),因此有,试探函数中所取的项数越多，逼近的精度越高。,将试探函数代入式(1-9)，可以得到关于n个待定系数的泛函表达式，
4、简记为,根据多元函数有极值的必要条件，有,(1-11),将求出的系数代入(1-10)，就可得到试探函数的表达式，即原边值问题的近似解。,有限元法,有限元法是在差分法和变分法的基础上发展起来的一种数值方法,它吸取了差分法对求解域进行离散处理的启示,又继承了里兹法选择试探函数的合理方法.,基本思想:离散,分片插值,单元（网格）,节点,单元间的互相作用只能通过节点传递,1.离散:,2.分片插值,变分法一般用于求解函数较规则和边界条件较简单的问题.,分片插值的思想:,针对每一个单元选择试探函数(插值函数),积分计算在单元内完成.,一维函数的整体插值与分片插值,第二节 有限元法的应用,有限元法的优越性,
5、有限元法的应用范围,线性静力分析,动态分析,热分析,流场分析,电磁场计算,非线性分析,过程仿真,在产品开发中的应用:CAD/CAE/CAM 有限元法是CAE的主要方法,第二章 有限元法的基本原理,线性弹性平面问题,第一节 弹性力学相关知识,一、弹性力学中的物理量:,载荷,应力,应变,位移,1.载荷,载荷是外界作用在弹性体上的力,又称外力.它包括体力,面力和集中力三种形式.,体力矩阵,面力矩阵,集中力矩阵,2.应力,当弹性体受到载荷作用,其内部将产生内力。弹性体内某一点作用于某个截面单位面积上的内力称为应力,它反映了内力在截面上的分布密度。,微分体的应力分量,切应力互等定律,应力矩阵,3.应变,
6、微分体的应变分量,正应变 伸长为正,缩短为负,切应变 直角减小为正,增大为负,注意!,应变的矩阵表示：,4.位移,弹性体变形实际上是弹性体内质点的位置发生变化,这种位置的改变称为位移,用d表示.,位移可分解为x、y、z三个坐标轴上的投影u、v、w,称为位移分量. 沿坐标轴正方向的位移分量为正,反之为负.,位移的矩阵表示,二、弹性力学的基本方程,弹性力学基本方程描述弹性体内任一点应力,应变,位移以及外力之间的关系,它包括平衡方程,几何方程和物理方程三类.,弹性力学中的基本假设： 1、连续性假设：物体是连续的 2、均匀性假设：物体由同一材料组成 3、各向同性假设：物体各个方向的性能相同 4、物体是
7、完全弹性的 （符合上述4个条件的称为理想弹性体） 5、位移和形变是微小的。,1.平衡方程,弹性体受力以后仍处于平衡状态,因此其上的应力和体力在x,y,z三个方向上分别满足以下平衡方程,平衡方程是弹性体内部必须满足的条件,2.几何方程,几何方程描述几何量应变和位移之间的关系,其矩阵形式为,3.物理方程,物理方程描述应力分量和应变分量之间的关系,这种关系与材料的物理特性有关.,物理方程有六个:,E:弹性模量 G:切变弹性模量,:泊松比,矩阵形式,称为弹性矩阵,由弹性模量和泊松比确定,与坐标无关,三类基本方程中包括15个方程.,含有6个应力分量,6个应变分量,3个位移分量,(共15个未知量),三种解
8、题方法:位移法,应力法,混合法,目前有限元法主要采用的是位移法,它是以三个位移分量作为基本未知量的.,(平衡方程3个,几何方程6个,物理方程6个),三、虚位移原理,1.虚功与虚应变能,弹性体在外力作用下要发生变形,外力对弹性体做功。若不考虑变形中的热量损失,弹性体的动能及外界阻尼,则外力功将全部转换为储存于弹性体内的位能-应变能。当外力去掉后,应变能将使弹性体恢复原状。,应变能,厚度为1的微分体,在水平方向拉力F的作用下发生了位移,拉力表达式:,拉力做的功:,将F代入:,储存在微分体内的应变能:,单位体积内的应变能:,应变能:,如果微分体上还有 和 的作用,弹性体单位体积应变能:,是指在约束条
9、件允许的范围内弹性体可能发生的任意微小的位移。,弹性体在平衡状态下发生虚位移时,外力要做虚功,大小为,虚功,虚位移,外力,弹性体在外载作用下的实位移是可能的虚位移。,它的发生与时间无关,与弹性体所受的外载无关。,它并未实际发生，只是说明产生位移的可能性。,虚位移,在发生虚位移的过程中,弹性体内将产生虚应变 。应力在虚应变上所做的虚功是储存在弹性体内的虚应变能,若用 表示虚应变能,则,单位体积内的虚应变能为,2.虚位移原理,虚位移原理又称虚功原理,是最基本的能量原理.,虚位移原理:如果在虚位移发生之前弹性体是平衡的,那么在虚位移发生时,外力在虚位移上所做的功就等于弹性体的虚应变能,即,一般表达式
10、:,对于虚位移原理,在虚位移发生过程中,原有的外力,应力,温度及速度应保持不变,也就是说,不能有热能或动能的改变。,外力的形式有集中力 ,体力 和表面力 ,对于平面弹性体而言,上述外力的虚功为,四、平面问题的定义,平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。,1.平面应力问题,当结构满足以下两个条件时,则认为是平面应力问题。,(1)几何条件 厚度尺寸远远小于截面尺寸,即结构形状成薄板形。 (2)载荷条件 载荷平行于板平面且沿厚度方向均匀分布,而板平面不受任何外力作用。,参照下图,判断是否是平面应力问题。,一般地,当结构厚度 时,结构可作为平面应力问题.,平面应力问题的应力特点:,根据物理方程，应变
11、特点:,这类结构的应力分量和应变分量分别为:,这时,几何方程变为:,物理方程变为:,平面应力问题的弹性矩阵,2.平面应变问题,凡满足以下两个条件的结构可视为平面应变问题：,(1)几何条件,沿厚度方向的截面形状和大小相同且厚度尺寸远远大于截面尺寸,即结构呈等截面的细长形。,(2)载荷条件,载荷垂直于厚度方向(平行横截面)且沿厚度均匀分布,两个端面不受力。,参照下图,判断是否是平面应变问题。,平面应变问题的应变特点:,应力特点:,平面应变问题的应力分量为,应变分量为,两者关系为,式中,称为平面应变问题的弹性矩阵.,平面应力问题弹性矩阵,平面应变问题弹性矩阵,综上所述，平面问题（包括平面应力问题和平
12、面应变问题）只有三个应力分量 ，三个应变分量 ，和两个位移分量 这些分量都是x,y的函数，而与坐标z无关。,因此平面问题的网格划分可在一个反映横截面形状的平面图形上进行。,第二节 平面问题有限元法,(平面应力问题的静力分析),一、结构离散,离散就是将一个连续的弹性体(实际上是描述弹性体形状和尺寸的几何区域,称为求解域)分割为一定形状和数量的单元,从而使从而使连续体转换为由有限个单元组成的组合体。 单元与单元之间仅通过节点连接,除此之外再无其他连接。也就是说一个单元上的力只能通过节点传递到相邻单元。,离散（划分网格）:,网格: 三角形 矩形 任意四边形,选择节点位移作为基本未知量。在平面问题中，
13、每个节点有两个位移分量。,节点所具有的位移分量的数量称为节点自由度(DOF)，一个单元所有节点的自由度的总和称为单元自由度。,节点和单元需要编号,二、单元分析,单元分析的任务是形成单元刚度矩阵,建立单元特性方程。,三角形三节点单元,1.位移函数,按照有限元分片插值思想,首先假设一种函数来近似表示单元内部的实际位移分布,该函数称为位移函数,又称位移模式。 根据数学理论,定义于某一闭域内的函数总可以用一个多项式来逼近,所以位移函数常常取为多项式,一般形式:,项数的多少应根据单元自由度数确定。 三节点三角形单元有6个自由度,可以确定6个待定系数,所以取上式中的前三项。因此这种三角形单元位移函数为:,
14、上式是线性多项式,称为线性位移函数,相应的单元称为线性单元。如果单元节点越多,就可能构造阶次越高的位移函数,计算精度也就越高。,由于节点i , j , m在单元上,它们的位移自然也就满足位移函数式。,设三个节点的位移分别为,将节点位移和节点坐标代入位移函数得,6个方程,可以求出6个待定系数.,经过数学推导可得：,A为三角形单元的面积,为方便书写，引入形函数,称为形函数,形函数是坐标的函数,与节点坐标有关,而与节点位移无关。,因此u,v可以写为,以矩阵表示:,形函数矩阵,单元节点位移阵列,形函数,节点位移,单元内任意一点的位移,当节点 在某坐标方向发生单位位移而其他节点的位移为零时,单元内的位移
15、分布形状。,形函数的性质,当,其他节点的位移为零,的物理意义:,形函数的形状,形函数是单元内各点坐标的函数,并不是节点位移的函数,其表达式与单元的位移函数有关,因此不同类型单元的形函数是不同的。,形函数具有以下三条性质:,(1) 在 节点上的值为1,而在其他节点处为零,即,同理,(3) 单元每一条边的形函数只与该边上的节点位置有关,而与其他节点的位置无关 。例如在边 上,有,(2) 在单元的任一处,三个形函数之和等于1,即,位移函数应满足以下4个条件:,包括常数项 单元内各点的位移一般包括两部分:一部分由单元自身变形引起;另一部分是由于其他单元变形时通过节点传递过来的,这部分位移与单元本身变形
16、无关,它使单元发生整体移动,各点移动大小相等,故称为刚体位移。由于刚体位移与点的位置无关,因此在位移函数中应该有常数项来反映这种位移。,必要条件(完备性条件) 完备单元,2. 包括一次项 单元内各点的应变也分为两部分:一部分是与点的位置有关的变量应变,一部分是与坐标位置无关的常应变。对于小变形问题,当单元尺寸缩小时,单元各点应变趋于相等,这时常应变为主要部分。为了反映这种应变状态,位移函数中就应该包括一次项,因为一次项求导后为常数。,充分条件(协调条件)协调单元,协调单元的有限元解一定是收敛的,但非协调单元的解不一定不收敛。,3. 尽量保证位移的连续性 弹性体实际变形时各点位移是连续的,即弹性体内部不会出现材料的裂缝和重叠,因此离散后的组合体位移也应该连续。对于多项式位
