第五章惟一分解整环

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1、第五章第五章第五章第五章 惟一分解整环惟一分解整环惟一分解整环惟一分解整环 5.1 相伴元和不可约元5.1 相伴元和不可约元 5.2 唯一分解整环的定义5.2 唯一分解整环的定义 5.3 主理想整环5.3 主理想整环 5.4 欧氏环5.4 欧氏环 5.1 相伴元相伴元和和不不可可约元 约元 一 整除，相伴，真因子一 整除，相伴，真因子 定定义义 1 1 我 我们们说说，整整环环 K的一的一个元个元 a可以可以被被 K的元的元 b整数整数， 假如假如在在 K里找里找得出得出元元 c，使，使：a=bc 假如假如 a能被能被 b整除整除，我，我们说们说 b是是 a的因的因子，并子，并且用且用符号符号

2、 b|a来表来表 示，示，否否则则 b a 来来表示。表示。 整除有下列常用的性质: 整除有下列常用的性质: (1) (1) | , |a b a ca bc+ (2) (2) | , |a b b ca c 例 1 在例 1 在 Z Z 中,中,3|18, 而 而 3 37. 7. 在 在 Q x中, 中, 2 1|1xx, 而, 而1x 2 1x +. . 例 2 在例 2 在 Z x中, 证明:中, 证明:2|5,2ii+ 3i+. . 例 3 设例 3 设 D D 为整环, 为整环, , a bD, 则, 则 |b a当且仅当当且仅当( )( )ab. . Note: Note: 1.

3、1. 环中的可逆元素称为单位。环中的可逆元素称为单位。 2.2. 两个单位两个单位 和和 的乘积的乘积 也是一个也是一个单位，单位单位，单位 的逆的逆 -1-1 也是也是一个单位。一个单位。 3.3. 1永远是永远是 K K 的单位。的单位。 4.4. 域上的非零元素均为单位。域上的非零元素均为单位。 5.5. 域上域上的多的多项项式式环环中中的的全全体零体零次多次多项项式式是是它它的的单单 位。位。 定义定义 对于对于 K K 中中的的单单位位 ，a叫叫做做 a a 的的相相伴伴元，元，也称也称为做为做 a a 的的 平平凡凡因子因子，其，其余的余的 a a 的的因子因子，叫做，叫做真真因因

4、子子. . K K 中中元元素素的相的相伴关伴关系系是是一一个个等价等价关系关系。即即, a b在 K在 K 中中相相伴伴 , a b互相互相整整除除。 。 例 例 4 4 因因为为整整数数环 环 Z Z 的的单单位位仅有 仅有 1 1 与 与 - -1 1, , 故故任任一一非非零零元元 a a 有有 2 2 个个相相伴伴元:元: a a 与 与 a . . 例 5 例 5 Z i 有有 4 4 个单位, 1, -1, 个单位, 1, -1, , , . . 任一非零元任一非零元( ,)abi a bZ+有有 4 4 个相伴元: 个相伴元: (), ()abibai+. . 例 6 设 例

5、6 设 , a bK. 证明: . 证明: ab当且仅当 当且仅当 ( )( )ab=. . 例例 7 7 求 求 G Gaussauss 整环的所有单位以及整整环的所有单位以及整数数 5 5 在在 Z Zi中的所有真因子。i中的所有真因子。 解 5解 5 的的全部真因子共全部真因子共 8 8 个： 个： 12 , 12 ,2, 2iiii 而而 5 5 的不相伴真因子只有两个：的不相伴真因子只有两个：12i。 。 二 不可约元素二 不可约元素 定义定义 2 设2 设 0,aKa 不是单位。如果不是单位。如果 a a 只只有有平平凡凡 因子，则称因子，则称 a a 为为环环 K K 的不可约元

6、素；的不可约元素；否则称为环否则称为环 K K 的的 可约元素。可约元素。 定理定理 1 环1 环 K K 中的不可约元素中的不可约元素 p p 与与任何单位的乘积任何单位的乘积 永远是永远是 K K 中的不可约元素，即不可约中的不可约元素，即不可约元素的相伴元素元素的相伴元素 仍为不可约元素。仍为不可约元素。 定理定理 2 2 0aK，则，则 a a 有有真因子的真因子的充分必要条件是，存充分必要条件是，存 在在 K K 中的非单位元素中的非单位元素, b c，使得，使得abc=。 。 推论 假定推论 假定 a a0，0，并且并且 a a 有有真因子，真因子，a=bca=bc，那么，那么 c

7、 c 也是也是 a a 的的 真因子。真因子。 定定义义 3 3 我们说我们说，一个，一个整环整环 K K 的的一一个个元元 a a 在在 K K 里里有唯一有唯一分解分解，假，假 如如以下条以下条件能件能被满足被满足： (i) (i) 11 , tt app ppK=?在 中不可约； ； (ii)(ii) 若 若同同时时 11 , ss aqq qqK=?在 中不可约 那么那么rs=，且，且可把可把不可约不可约元素的元素的次序适次序适当调当调换，使换，使得得 ,(1, ) iiii pqKit =为 中单位。 。 则则称称 a a 在在 K K 上上可以惟可以惟一分解一分解。 NoteNot

8、e 环环 K K 中，零元素和单位不可以惟一分中，零元素和单位不可以惟一分解。解。 问题：如何判断问题：如何判断 K K 中一个元素的惟一中一个元素的惟一分解性呢？分解性呢？没没有有一一 般的解决方案，对于特殊的环中的特般的解决方案，对于特殊的环中的特殊元素可以作出判断殊元素可以作出判断。 例8例8 证明 9 证明 9 在在有单位元素的整环有单位元素的整环 5 5 | ,Ziabi a bZ=+. . 三 素元素三 素元素 环环 K K 中的中的不可不可约元约元素素 p p 与任与任何单位何单位的乘的乘积永远积永远是是 K K 中中的的 不不可可约元约元素，素，即不可即不可约元素约元素的相伴的

9、相伴元素元素仍为不仍为不可可约元约元 素。 素。 定义定义 整环整环 K K 的的一一个个元元 p p 叫做叫做一个一个素素元元，假假如如 p p 既既不不是是 零零元元，也，也不是不是单位，单位，并且并且 p p 只有平只有平凡因凡因子。子。 定定理理 3 3 整整环环 K K 中的素中的素元素一元素一定是定是不可约不可约元元素。素。 推推论论 素素元元素的相素的相伴元素伴元素仍仍为素为素元素元素。 例例子子：P P229-229-230 230 例例 8 8 在在 Z Z 中中, , 任一素任一素数数 p p 既是既是素元又素元又是不可是不可 约元约元. . 例 例 9 9 在 在 3Z中

10、,中, 证证明:明: 13+是不是不可约可约元,元, 但不但不是是素元.素元. P230 习题 P230 习题 5.1 ，3，5.1 ，3，4 4 5.2 5.2 唯一分解整环的定义唯一分解整环的定义 定定义义 1 1 一一个整个整环环 K K 叫叫做一个做一个唯一唯一分解环分解环，假如假如 K K 的的每个既每个既不不等等于于零又零又不是单不是单位位的的元元都有都有唯一分唯一分解。解。 整整数数环和环和域上域上的多项的多项式式环均环均为惟一为惟一分分解解整整环，环，但但 是是 5 5 | ,Ziabi a bZ=+不是不是惟一惟一分解分解整整环环。 。 例 1 证明: 在 例 1 证明: 在

11、 3Z 中, 4 没有唯中, 4 没有唯一分解.一分解. 素元素一定是不可约元素，但是不可素元素一定是不可约元素，但是不可约约元素则未必元素则未必 是素元素。是素元素。 整数环和域上的多项式环来说，二者整数环和域上的多项式环来说，二者是一致的。是一致的。 更一般的，有更一般的，有 定理定理 1 设1 设 K K 是任意一个唯一分解是任意一个唯一分解整环，则整环，则 p 为 K为 K 的素元素当且仅当的素元素当且仅当 p p 为为 K K 的的不可约元不可约元素。素。 推论推论 一个一个唯一唯一分分解解环环有有以下以下性性质： 质： 若若一一个素个素元元 p p 能够整能够整除除 a ab b，

12、那，那么么 p p 能能够够整整除除 a a 或或 b b。 定理定理 2 2 具具有有以以下下性性质的质的整环整环 K K 一一定定是是一一个个唯唯一分一分解解环环. . ( (i i) )K K 的的每一每一个即不个即不是是零也零也不是单不是单位位的的元元 a a 都都可以分可以分解解成成 不不可可约元约元素的素的乘积；乘积； ( (i ii i) )K K 的的不可约不可约元素均元素均为为 K K 的的素元素元素。素。 二 惟一分解整环中的最大公二 惟一分解整环中的最大公因因子子 整数环中的最大公因子推广:整数环中的最大公因子推广: 定义定义 3 一个唯一分解环3 一个唯一分解环 K K

13、 中中，cK，如，如果果c c是每个元素是每个元素 12 , n a aa的因子，则称的因子，则称 c c 为为 12 , n a aa的公因子。的公因子。 若 d 为若 d 为 12 , n a aa的公因子，且的公因子，且 12 , n a aa的任意一个公因的任意一个公因子子c c均均 为为d d的因子，则称的因子，则称d d为为 12 , n a aa的最大公因子的最大公因子。 定理定理 3 一个惟一分解环3 一个惟一分解环 K K 的的任意任意两个元两个元 a和和 b，在，在 K K 里里一定一定有有 最大公因子，最大公因子，a和和b b的两个最的两个最大公因子大公因子d d和和d

14、d只能差一个只能差一个单位因单位因 子。子。 推论 一个唯一分解环推论 一个唯一分解环K K的的n n个元个元 12 , n a aa在在 K K 里一定有最里一定有最 大公因子，大公因子， 12 , n a aa的两个最大公因子只能差的两个最大公因子只能差一个单位因子。一个单位因子。 例 2 证明: 在 例 2 证明: 在 3Z中, 中, 2(13)+与 4 无与 4 无最高公因子.最高公因子. 作业 P235 习题作业 P235 习题 5.25.2 3, 4 3, 4 5.3 主理想主理想整整环环 一 主理想整环的定义一 主理想整环的定义 定义定义 一个一个整环整环 K叫做叫做一一个个主主

15、理理想想整整环，环，假如假如 K的的每一个每一个理想理想 都都是是一个一个主理主理想。想。 Note 整整数数环环和和域域上的多上的多项式环项式环均为主均为主理理想想整整环。环。但是但是 Z x不不 是是主主理想理想整环整环，因为，因为其中的其中的理想理想2,x不是不是主理主理想想。 定理定理 1 Gauss 整环整环 Z i是是主主理想整理想整环。环。 。 二 主要结论的证明二 主要结论的证明 引理引理 1 假定1 假定 K K 是一个主理想环，是一个主理想环，若在序列若在序列 12 ,() ii a aaaK 里每一个元均是前面一个元素的真因里每一个元均是前面一个元素的真因子，那么这个序列一定是一个有限子，那么这个序列一定是一个有限 序列。序列。 引理引理 2 假定2 假定K K是一个主理想环，是一个主理想环，那么那么K K的一个不可约元素的一个不可约元素