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1、 1 第三章 刚体定轴转动基本定律 1转动惯量和转动力矩的计算。 2刚体转动定律和牛顿第二定律的联合应用。 3动量矩定理和动量矩守恒定律的应用。 4刚体转动定律与动能定理联合应用。 5刚体转动定律与机械能守恒定律联合应用。 6刚体转动定律与动量矩守恒定律联合应用。 7动量矩守恒定律与机械能守恒定律联合应用。 一、知识网络 二、基本题型 刚体定轴转动 转动惯量 dmrI = 2 转动定律 IM = 转动力矩 FrM= 1力矩对时间的累积力矩的冲 量矩 2 1 t t dtM 2动量矩定义IL = 1力矩对空间的累积力矩的功 = 2 1 MdA 2转动动能定义 2 2 1 IEk= 动量矩定理 L
2、LLdtM t t = 12 2 1 转动动能定理 KKK EEEA= 0 动量矩守恒定律 CLL=1 2（常矢量） 机械能守恒定律 CEE= 0 （常量） 2 8几种定理、定律联合应用。 例 3 1 求质量为 m 半径为 r 的均质圆环对下列各轴的转动惯量。 （1）通过中心并与环所在平面垂直的轴； （2）通过环的一个直径的轴。 解 （1）将环分成质量为 dm 的小块，则 2 0 2 0 2 mrdmrdmrI mm = （2）环的线密度为rm2/=，将环分成质量为 dm 的小块，则 rddldm= 其中为 dm 所在半径与转轴的夹角，则 23 2 2 0 3 0 2 0 2 2 1 sin
3、)sin( mrr dr rdr dmrI m m = = = = 例 3 2 固定在一起的两个同轴均匀圆柱体可绕其轴无摩擦转动，设大小圆柱体半径分别 为 R 和 r， 质量分别为 M 和 m， 两个小物体 m1和 m2通过绕在柱体上的细绳分别挂在圆柱体 的两侧，如图。求： （1）该系统转动时的角加速度； （2）绳中的张力； （3） 设开始时系统静止， 且 m1和 m2离地面均为 h， 问哪个物体先着地？经多长时间？ 解 设 a1和 a2分别为 m1、m2的加速度，与 m1相连的绳中张力 为 T1，与 m2相连的绳中张力为 T2，分别列出 m1、m2和柱体的运 动方程如下 = = = = =
4、ra Ra IrTRT amgmT amTgm 2 1 21 2222 1111 其中 I 为两同轴柱体的转动惯量 22 2 1 2 1 mrMRI+= 三、典型例题 O r 图例3 1 （1 ） r dl （2 ） dm 图例3 2 . O r R T 2 T 1 T 2T 1 m2gm1g m2m1 3 解以上方程组，得 （1） 222 2 2 1 21 2 1 2 1 mrMRrmRm grmgRm + = （2） 222 2 2 1 2 1 2 121 2 21 1 22 22 mrMRrmRm mrmMRmrRmmrmm T + + =g g mrMRrmRm mrmMRmRmmrR
5、mm T 222 2 2 1 2 2 2 2 2 2121 2 22 22 + + = （3）显然，m1先着地，设经过时间为 t，则 R h t htRta 2 2 1 2 1 22 1 = = 例 3 3 质量为 M，半径为 R 的均质圆盘，可绕通过其中心的水平光滑轴转动，其上挂有 质量为 m，长为 l 的均质柔软细绳，绳与圆盘无相对滑动，当圆盘两侧绳长之差为 s 时，求 绳运动的加速度的大小。 解 设单位长度绳的质量为，则 l m = 左侧绳的质量为 = 2 11 sRl lm 右侧绳的质量为 + = 2 22 sRl lm 圆盘及盘上绳的总转动惯量为 32 2 1 RMRI+= 设两侧绳
6、上张力分别为 T1、T2，圆盘转动角加速度为，绳运动的加速度为 a，则 = = = = Ra IRTT amTgm amgmT )( 12 222 111 解方程组，得 2 (2 ) msg a Mm l = + 例 3 4 一定滑轮转动惯量为 I，初始时以0转动，并受到阻力矩而减速，角加速度为= 图例3 3 S O . 4 2（SI） ，求滑轮转过一周后的角速度。 解 由题意，滑轮转动时受到阻力矩为 IIM2= 由动能定理，转动一圈后的角速度为 2 0 2 2 02 1 2 1 IIMd= 即 2 0 2 2 02 1 2 1 2 IIdI= 2/122 0 22 0 2 )8( 8 +=
7、+= 例 3 5 如图，圆盘半径 r=0.3m，可绕无摩擦的水平中心轴转动，盘边绕一轻绳。当以 F=13.5N 的力作用在绳上时，盘转动的角加速度为 5rads-2。今以 m=1kg 物体挂于绳端，求 物体由静止下落 2m 时的速度。 解 设圆盘的转动惯量为 I，由题意知 rF I IrF = = 当悬挂 m 时，设下落 2m 时速度为，且此时圆盘转动的 角速度为，因只有重力做功，系统的机械能守恒。 r Immgh = += 22 2 1 2 1 由以上各式可得 53 . 0 5 .13 1 28 . 912 2 2 + = + = r F m mgh = 3.92ms 1 例 3 6 有一质
8、量为 m1、长为 l 的均匀细棒，可在水平桌面内绕过其一端的光滑轴转动， 棒与桌面间摩擦系数为。另有一质量为 m2的光滑滑块， 以速度1与棒的活动端 A 垂直相撞，并以2弹回，如图 。求碰撞后细棒开始转动到停止所经历的时间。 解 设碰撞后细棒以角速度开始转动，在碰撞前、后 棒与滑块对 O 的总角动量守恒。 m21l = Im22l . O F . 图例3 5 O m . O 1 r 图例3 6 2 r A 5 其中 I 为棒对 O 的转动惯量。开始转动后，棒受到桌面的摩擦力f，设该力的力矩大小为 Mf，则 I l gmM f = 2 1 设停止转动所经历的时间为 t，则 = t 从以上三式可求
9、得 gm m t 1 212 )(2 + = 例 3 7 设一长为 l=1m 的均匀木棒，质量 M=2.5kg，可绕过其一端的水平轴在竖直平面内 无摩擦转动。开始时棒自然下垂，一质量 m=0.02kg 的子弹以=200ms 1 的速率从 A 点射入 并停留在棒中，A 距 O 为 0.75m。求： （1）棒开始转动的角速度； （2）棒的最大偏转角。 解 （1）子弹射入前后，木棒与子弹系统的动量矩守恒。 Ilm=4 3 其中 845. 0 4 3 3 1 2 2 = +=lmMlIkgm2 所以 55. 3 4 3 = I lm s 1 （2）棒转动过程中系统机械能守恒。选棒下垂时重心位置为重力势
10、能零点，设最大偏 转角为m，则 57. 0 2 3 1cos )cos1 ( 4 3 )cos1 ( 22 1 2 2 = + = += mglMgl I lmg l MgI m mm 最大偏转角为 arc cos0.57。 例 3 8 一个质量为 M、 半径为 R 的均质圆盘正以角速度0绕过其中心的水平光滑轴在竖 直平面内转动，突然有一块质量为 m 的圆盘碎片从轮的边缘竖直向上飞出，求： （1）碎片能上升的高度； （2）余下部分的角速度和角动量。 解 （1）碎片刚飞出时的速度为 = R 飞出后上升过程中碎片的机械能守恒 . . O A r 图例3 7 m 6 mghm= 2 2 1 则 g
11、R h 2 22 = （2）碎片飞离瞬间，碎片与圆盘其余部分总的角动量守恒，设余下部分的角速度为1 ,有 2 1 22 0 2 ) 2 1 ( 2 1 mRmRMRMR+= 则 10 = 余下部分的角动量为 22 11 2 0 1 () 2 1 () 2 LMRmR Mm R = = 例 3 9 质量为 m，长为 l 的均匀细棒的端点 A 固定在地板上，如果原来棒是垂直站立的， 如图所示倒向地面，问当它碰到地面时的角速度多大？ 解 解法一：由题意知，当棒运动到与竖直位置成角时，受到重力矩为 sin 2 l mgM = 此时角加速度 sin 2 3 3 1 sin 2 2l g ml l mg
12、I M = 又由 d d dt d d d dt d = 得 dd= 两边取积分，并代入始、末条件，得 l g l g dd 3 0 2 1 cos 2 3 2 2 0 0 2 0 = = = 解法二：棒由竖直位置运动到地面，重力矩所做的功为 图例3 9 mg B A 7 mgl d l mg MdA 2 1 sin 2 2 0 2 0 = = = 由动能定理，可得棒碰到地面时的角速度 0 2 1 2 =IA 22 3 1 2 1 2 1 mlmgl= l g3 = 解法三：选细棒和地球作为研究系统，由于细棒在转动过程中，只有重力做功，所以机械能 守恒。选地板为零势能面，则 222 0 6 1
13、 2 1 2 1 mlIE mglE = = 由 E0=E 得 l g3 = 例 3 1 0 一质量为 m，长为 2l 的均质细杆，其一端有一很小的光滑圆孔。开始时杆在一光 滑水平面上以速度平动， 一光滑小钉突然穿过圆孔固定在平面上， 求此后杆做定轴转动的 角速度及杆对钉（轴）的反作用力。 解 当杆以速度平动时，杆上距圆孔为 r，长为 dr 的一小段杆 对圆孔的动量矩为 drr l m dmrdL 2 = 整个杆对圆孔的动量矩为 lm drr l m dLL ll = = 2 0 2 02 设小钉穿入后杆做定轴转动的角速度为，在此过程中杆对轴的动量矩守恒，即 2 )2( 3 1 lmIlm= 则 l 4 3 = . O 图例3 1 0 r 2L 8 在杆定轴转动时，距轴为 r，长为 dr 的一小段杆受到的向心力为 dr l m rrdmdT 2 22 = 整个杆受到的向心力为 l m lm rdr l m dTT ll 16 9 2 2 2 2 0 2 2 0 = = = 该力的大小即等于杆对钉的反作用力。 例 3 1 1 在三维坐标中， 有一力)( 32 ktjtitF+=N 作用于点jir32+=， 求： 2s 时F对 Z 轴的力矩。 解 由题意 kttjtit ktjtitji FrM )32()2(3 )()32( 23
