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1、西安交通大学西安交通大学 线性代数与空间解析几何线性代数与空间解析几何 1 1 2 第二章第二章 矩阵矩阵 3 矩阵及其运算矩阵及其运算 逆矩阵逆矩阵 1 分块矩阵及其运算分块矩阵及其运算 初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵 4 3 矩阵的秩矩阵的秩5 西安交通大学西安交通大学 线性代数与空间解析几何线性代数与空间解析几何 2 第一节第一节 矩阵及其运算矩阵及其运算 作业作业 习题习题2.1(A)2.1(A) 1 1，2(3),7(2),10(1),112(3),7(2),10(1),11 西安交通大学西安交通大学 线性代数与空间解析几何线性代数与空间解析几何 3 一、矩阵的概念一、矩阵的概
2、念 定义定义2.1.12.1.1 ( (矩阵矩阵) ) 由由mXn个数排成个数排成m行行n列列的数表的数表 称为一个称为一个mXn矩阵，记作矩阵，记作 行行标标 列列标标 j i a 西安交通大学西安交通大学 线性代数与空间解析几何线性代数与空间解析几何 4 同型矩阵：同型矩阵：两个矩阵的行数和列数分别相等两个矩阵的行数和列数分别相等 实矩阵，复矩阵实矩阵，复矩阵 n阶方阵阶方阵: :m=n, 主对角线，副主对角线，副(次次)对角线对角线 1阶方阵阶方阵a=a 西安交通大学西安交通大学 线性代数与空间解析几何线性代数与空间解析几何 5 特殊矩阵特殊矩阵 1 零矩阵零矩阵 mn 个元素全为零的矩
3、阵个元素全为零的矩阵. 记作记作 或或 ，即，即O m n O 注意注意 不同的零矩阵未必相等不同的零矩阵未必相等. . 主对角线元素都是主对角线元素都是1,1,其余元素全为其余元素全为0 0的的n阶方阵。阶方阵。 记为记为I或或E, ,或或In, ,En. 2 单位矩阵单位矩阵 西安交通大学西安交通大学 线性代数与空间解析几何线性代数与空间解析几何 6 3.3.行矩阵行矩阵 仅有一行仅有一行的的1Xn矩阵矩阵. . 1 2 m b b b 4.4.列矩阵列矩阵 仅有一列仅有一列的的mX1矩阵矩阵. . 也称为行向量。也称为行向量。 也称为列向量。也称为列向量。 西安交通大学西安交通大学 线性
4、代数与空间解析几何线性代数与空间解析几何 7 5.5.上上( (下下) )三角矩阵三角矩阵 主对角线下主对角线下(上上)边边的的元素全为元素全为0的的n阶方阶方阵阵. . 6.6.对角矩阵对角矩阵 主对角线以外主对角线以外的的元素全为元素全为0的的n阶方阶方阵阵. . 西安交通大学西安交通大学 线性代数与空间解析几何线性代数与空间解析几何 8 定义定义2.1.22.1.2 ( (矩阵相等矩阵相等) ) 设矩阵设矩阵 1,jn ），则称则称A与与B相等相等，记为，记为A=B. . 例如例如 西安交通大学西安交通大学 线性代数与空间解析几何线性代数与空间解析几何 9 二、矩阵的代数运算二、矩阵的代
5、数运算 定义定义2.1.32.1.3 ( (矩阵加法矩阵加法) ) () ijijm n ABab (),() ijm nijm n AaBb ， 若若 规定规定 注注: :只有只有同型矩阵同型矩阵才能进行才能进行加法加法运算运算. . 例如例如210 = 510 () ijm n Bb () ijm n Bb ，对于对于 称为称为负矩阵负矩阵 ()() ijijm n ABABab 西安交通大学西安交通大学 线性代数与空间解析几何线性代数与空间解析几何 10 加法的运算规律加法的运算规律: : (2)()()ABCABC (3)AOA (4)()AAO 定义定义2.1.42.1.4 ( (数
6、乘矩阵数乘矩阵) ) (), ijm n AaR () ijm n AAa 若若 规定规定 例如例如 西安交通大学西安交通大学 线性代数与空间解析几何线性代数与空间解析几何 11 数乘的运算规律数乘的运算规律: : (2) ()()k lAkl A (3)()kl AkAlA (4) ()k ABkAkB 注注: :矩阵的加法和数乘运算合称矩阵的加法和数乘运算合称线性运算线性运算. . 例例1 1 西安交通大学西安交通大学 线性代数与空间解析几何线性代数与空间解析几何 12 (), ijm n ABCc ()(), ijmnssij AaBb ，若若 规定规定 1 122 1 ijijijis
7、sjikkj ca ba ba ba b 其中其中 1 21 2im jn（， ，；， ， ） 注：注：注：注： 1 1）条件）条件 左列左列= =右行右行 2 2）方法）方法 ij c 第第i行行与与右右矩阵矩阵B的的第第j列列对应元素对应元素乘积的和乘积的和 左行右列法左行右列法 3 3）结果）结果 左行右列左行右列 的行数的行数=A的行数的行数， 定义定义2.1.52.1.5 ( (矩阵乘法矩阵乘法) ) 等于等于左左矩阵矩阵A的的 的列数的列数=B的列数的列数 西安交通大学西安交通大学 线性代数与空间解析几何线性代数与空间解析几何 13 特别情形特别情形： 11 21 11121 1
8、s s b b aaa b 11 11122111ss a ba ba b 11kk a b 11 21 11121 1 s s b b aaa b 1s 1s 与与 矩阵的乘积矩阵的乘积 1s 1s 与与矩阵的乘积为矩阵的乘积为 11111112111 21112112211 11111211 s s ssss b ab ab a b ab ab a b ab ab a 为一阶方阵，即一个数为一阶方阵，即一个数 一个阶方阵一个阶方阵 西安交通大学西安交通大学 线性代数与空间解析几何线性代数与空间解析几何 14 例例2 2 西安交通大学西安交通大学 线性代数与空间解析几何线性代数与空间解析几何
9、 15 矩阵乘法的运算规律矩阵乘法的运算规律: : (2)()()AB CA BC (3)()()()kA BA kBk AB (4) ()A BCABAC (5)()AB CACBC 问题：问题： 20AB 00AB或或 例如，例如， 1 ABBA? ? 西安交通大学西安交通大学 线性代数与空间解析几何线性代数与空间解析几何 16 之间之间的的关系式关系式 . , , 2211 22221212 12121111 nmnmmm nn nn xaxaxay xaxaxay xaxaxay 一个一个线性变换线性变换. . 例例3 3 矩阵与线性变换的关系矩阵与线性变换的关系 1212 , nm
10、nxxxmyyy个变量 与 个变量个变量 与 个变量 1212 , nm xxxyyy 表示一个从变量 表示一个从变量 到变量到变量 ij a 其中其中 为常数为常数. . 西安交通大学西安交通大学 线性代数与空间解析几何线性代数与空间解析几何 17 . , , 2211 22221212 12121111 nmnmmm nn nn xaxaxay xaxaxay xaxaxay 11121 21222 11 n n mmmn aaa aaa A aaa 线性变换的系数构成的矩阵称为线性变换的系数构成的矩阵称为线性变换的矩阵线性变换的矩阵 1 2 m y y y y 1 2 n x x x x
11、 yAx 线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系. . 西安交通大学西安交通大学 线性代数与空间解析几何线性代数与空间解析几何 18 若线性变换为若线性变换为 nn xy xy xy , , 22 11 称之为称之为恒等变换恒等变换. . nn xy xy xy , , 22 11 对应对应 100 010 001 单位阵单位阵. . 西安交通大学西安交通大学 线性代数与空间解析几何线性代数与空间解析几何 19 复合变换复合变换( (乘积乘积) ) 设设 n 维向量维向量 x 到到 m 维维 向量向量 y 的线性变换为的线性变换为 y=Ax， m 维向量维向量 y 到到 p 维维 向量向量 z 的线性变换为的线性变换为 z=By， 则由则由n 维向量维向量 x 到到 p 维维 向量向量 z 的线性变换是一个复的线性变换是一个复 合变换合变换 z=By=BAx=(BA)x BA为复合线性变换的矩阵。为复合线性变换的矩阵。 结论结论：线性变换的：线性变换的乘积的矩阵乘积的矩阵等于线性变换的等于线性变换的矩阵矩阵 的乘积。的乘积。 西安交通大学西安交通大学 线性代数与空
