《2016考研数学考前必背：常考公式集锦(概率与数理统计篇)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2016考研数学考前必背：常考公式集锦(概率与数理统计篇)（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 Born to win2016 考研数学考前必背：常考公式集锦（概率与数理统计篇）离考试还有最后几天，跨考教育数学教研室牛老师为考生整理了 2016 年数学考研考前必背常考公式集锦。希望对考生最后冲刺复习有所帮助。本文内容为概率与数理统计的常考公式汇总。1、条件概率1）定义设 ,AB是两个随机事件，且 0PA，则称 |PAB为在随机事件 A发生的条件下，事件 发生的条件概率.2）性质（1）当 0P时， |1|B；（2）当 A， |PA，该公式也可以推广到多个事件积事件的情况.一般，设 12,.n为 个事件， 2n，且 1210nPA ，则有12121121nP P .2、随机事件的独立性定义
2、（1） ,AB独立设 是两个事件，如果满足等式 PAB，则称事件 ,AB相互独立，简称 ,独立.（2） ABC两两独立设 ,是三个事件，如果满足等式,PABC，则称事件 ,ABC两两独立.（3） ,ABC相互独立 Born to win设 ,ABC是三个事件，如果满足等式,PABCPC，则称事件,相互独立.3、古典概型如果试验 E的样本空间 只有有限个样本点，并且由各个样本点所构成的基本事件发生的可能性相同，则称这样的试验为古典概型或等可能概型. 对于该试验的事件 A，则有=AP中 的 基 本 事 件 个 数中 基 本 事 件 总 数.几何概型如果试验 E的样本空间 为几何空间中的一个有界区域
3、（这个区域可以是一维、二维甚至是 n维的） ，且由各个样本点所构成的基本事件发生的可能性相同，则称这样的试验为几何概型. 对于该试验的事件 A， =P的 度 量 （ 长 度 、 面 积 或 体 积 ）的 度 量 （ 长 度 、 面 积 或 体 积 ） .4、全概率公式设 为样本空间的一个完备事件组，则,12,kAn 1()()nkkkPBAPB贝叶斯公式设 为样本空间的一个完备事件组，则 .,k 1()()iiinkkkPAB5、离散型随机变量的定义如果某一随机变量所有可能的取值为有限个或可列无限个，我们就称该随机变量为离散型随机变量.分布律 X1x2x nxkp12p np其中随机变量 所有
4、可能的取值为 (1,.)kx， (1,2.)kPXx.6、连续型变量及其概率密度1）定义如果对于随机变量的分布函数 Fx，存在非负函数 fx，使对于任意实数 x有 Born to winxFftd，则称 X为连续型随机变量，其中函数 fx称为 X的概率密度函数，简称概率密度.2）概率密度的充要条件（1） 0fx；（2） 1d.7、常见的离散型随机变量1）0-1 分布随机变量 X所有可能的取值只有 0或者 1，且取 的概率为 01p，取 0的概率为p，则称该随机变量服从 分布. 01分布的分布律为： 10Pp1p分布是最简单的随机变量，后面很多离散型的随机变量都是以它为基础的.2）二项分布若随机
5、变量 X的概率分布为 0,2,knXCqn ，其中1,0,pq，则称随机变量 服从参数为 p的二项分布，并记Bn:.3）几何分布若随机变量 X的概率分布为 1,2,nPXqp ，其中参数01,pq，则称随机变量 服从参数为 的几何分布，并记 XGp:.4）泊松分布若随机变量 X的概率分布为 0,12!kPXe，其中参数 0，则称随机变量 服从参数为 的泊松分布，并记 P:.8、常见的连续型随机变量1）均匀分布 Born to win若随机变量 X的概率密度为 1,0.axbfxb其 他，则称 X服从区间 ,ab内的均匀分布，并记为 ,Ua:. 其分布函数：0,1 .xxFftdbb2）指数分布
6、若随机变量 X的概率密度为 ,0,.xef其中参数 0，则称 X服从参数为的指数分布，并记 E:.注：（1） ，则分布函数 1,0,.xeFx其 他.（2） X:，则12212121 2xxPXeP PX，说明指数分布具有“无记忆性”.3）正态分布若随机变量 X的密度函数为 21xfxeR，其中参数,0R，则称 服从正态分布，并记 2,XN:. 特别地，将 0,1N称为标准正态分布，其概率密度和分布函数分别记作21()xxe与2()txed.注：（1） 2,XN:，则 0,:. 该公式揭示了求解正态分布问题的一个重要思路：标准化.（2）正态分布 2,具有对称性，也即其概率密度是关于直线 x对称
7、的。特别地，标准正态分布的概率密度是偶函数；该性质也可以概括成等式： 1. Born to win（3） 2,XN:，则它的分布函数 xF.9、多维随机变量1） n维随机变量的定义设随机试验 E的样本空间为 e， 12,nXeXeXe 是定义在 上的 个随机变量，则由它们组成的向量值函数 1 称为 上的 维随机变量.2）二维随机变量的分布函数的定义设 ,XY是二维随机变量，对于任意实数 ,xy，二元函数FxyPxYyPXY记 成，称为二维随机变量 ,XY的分布函数，或称为随机变量 和 的联合分布函数.3）二维随机变量的分布函数的性质（1） ,xy分别关于 x和 y单调不减；（2） 01F，且
8、,0,1FxF；（3） ,xy分别关于 x和 y右连续；（4）对任意的 12122,xy，有11,0FxyFxy.10、二维离散型随机变量1）定义如果二维随机变量 ,XY全部可能取到的不同的值是有限对或可列无限对，则称 ,XY是离散型的随机变量.2）联合分布律设二维离散型随机变量 ,所有可能取的值为 ,1,2ijxy ，则称,12,ijijPXxYyp为二维离散型随机变量 XY的分布律，或随机变量 和 的联合分布律.一般情况下，我们用如下的表格来表示二维随机变量的分布律：Y1x2x nx Born to win1y1p12p 1np22 2 ny1np2np np 注：二维离散型随机变量分布律
9、有如下性质： 10,ijijip.11、二维连续型随机变量1）定义 ,Fxy为二维随机变量 ,XY的分布函数，如果存在非负的函数 ,fxy使对于任意,有 ,xyfuvd，则称 ,XY是连续型的二维随机变量，函数fxy称为二维随机变量 的概率密度，或称为随机变量 X和 Y的联合概率密度.2）性质（1） ,0f.（2） ,1uvd.（3）若 ,fxy在点 ,连续，则 2,Fxyf.（4）设 G是 o平面上的区域，点 ,XY落在 G内的概率为,Pfxyd.12、边缘分布律对于二维离散型随机变量 1,iXijxjFxp，得 X的分布律为1,2,iijjPXxp，同理得 Y的分布律为 1,2,iijPY
10、yp. Born to win称 . 1,2,iiijjpPXxp， 为 ,XY关. 1,2,jjijpPYyp于 和关于 Y的边缘分布律.边缘分布函数维随机变量 ,作为一个整体，具有分布函数 ,Fxy，而 X和 Y都是随机变量，各自也有分布函数，将它们分别记为 ,XYx，依次称为二维随机变量 ,关于X和关于 Y的边缘分布函数.边缘概率密度对于二维连续型随机变量 ,，设它的概率密度为 ,fxy，,xXFxfydx，可知 X是一个连续型随机变量，且其概率密度 ,ffy. 同理可知， Y也是一个连续型随机变量，其概率密度Yyxd. 分别称 ,Xfxfy为 ,关于 和关于 Y的边缘概率密度.13、随
11、机变量 X的数学期望1）离散型设离散型随机变量 的分布律为 ,12,kPXxp . 若级数 1kxp绝对收敛，则称级数 1kxp的和为随机变量 的数学期望，记为 EX.即 1k.2）连续型设连续型随机变量 X的概率密度为 fx，若积分 xfd绝对收敛，则称积分xfd的值为随机变量 的数学期望，记为 EX.即 xfd.常见分布的数学期望1） 0分布： EXp2）二项分布：若 ,Bn:，则 EXnp.3）几何分布：若 Gp，则 1. Born to win4）泊松分布：若 XP:，则 EX.5）均匀分布：若 ,Uab，则 2ab.6）指数分布：若 ，则 1.7）正态分布：若 2,XN:，则 EX.
12、14、方差：设 是一个随机变量，若 2存在，则称 2EX为X的方差，记为 D，即 .注：（1）由定义，随机变量 X的方差表达了 的取值与其数学期望的偏离程度. 若 X取值比较集中，则 较小，反之，若取值比较分散，则 DX较大. 因此， D是刻画 X取值分散程度的一个尺度.（2）方差实际上是随机变量 的函数 2gXE的期望，故根据上边所讲期望的知识，对于离散型随机变量和连续型随机变量有不同的期望公式.（3）方差的定义式用得比较少，较常用的是由定义得出的另一计算方差的公式 22DXEX. 事实上，22EXE22 X.（4） 2EXD15、协方差： EXY称为随机变量 与 Y的协方差，记为,CovY
13、，即 ,XY.注： ovY描述的是 X与 之间相互关系，直接利用协方差定义的比较少，常用到的是它的变形， ,CEXEY，事实上， ,vXYYEXY Born to winEXY.16、相关系数：若 0,D，则称 ,CovXYD为随机变量 ,XY的相关系数，并记为 XY. 17、切比雪夫不等式：设随机变量 X的数学期望 EX，方差 2X，则对于任意正数 ，不等式2PX成立.18、常用统计量1）样本平均值： 1niiX；2）样本方差： 22211nni ii iSX；3）样本标准差：221nii；4）样本 k阶原点矩： 1,nkkiiAX；5）样本 阶中心矩： 1,23,nkkiiB.19、最大似然估计：设总体 X属于离散型，其分布律为 ;PXxp，其中 为待估参数. 设 12,n 是总体的一个样本，则 12,n 的联合分布律为1;niipx.又设 12,nx 是样本 12,n 的一个样本值，则易知样本12,nX取到观察值
