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1、圆学子梦想 铸金字品牌温 馨 提 示 ：此 题 库 为 Word 版 ，请 按 住 Ctrl,滑 动 鼠 标 滚 轴 ，调 节 合 适 的观 看 比 例 ，关 闭 Word 文 档 返 回 原 板 块 。 考 点 46 离 散 型 随 机 变 量 及 其 分 布 列 、 离 散 型 随机 变 量 的 均 值 与 方 差一 、 填 空 题1.(2015福建高考理科T13)如图,点 A的坐标为(1,0),点 C的坐标为(2,4),函数 f(x)=x2,若在矩形ABCD内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率等于.【解题指南】利用定积分求面积,然后根据几何概型的公式计算概率.【解析】S 矩形 ABCD
2、=14=4, x2dx= x3 = ,所以此点取自阴影区域内的概率 P= = .21 13|2173 4-734 512答案:512二、解答题2.(2015四川高考理科T17)某市 A,B两所中学的学生组队参加辩论赛,A 中学推荐了 3名男生、2 名女生,B 中学推荐了 3名男生、4 名女生,两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当,从参加集训的男生中随机抽取 3人、女生中随机抽取 3人组成代表队.(1)求 A中学至少有 1名学生入选代表队的概率.(2)某场比赛前,从代表队的 6名队员中随机抽取 4人参赛.设 X表示参赛的男生人数,求 X的分布列和数学期望.【解题指南】利用补集思想
3、(或互斥事件概率公式)和排列组合公式求概率.第一问中,求出 A中学无人入选代表队的概率,再用 1减去此概率即得答案.第二问,知 X=1,2,3,分别求出相应的概率,由此可求分布列和数学期望.圆学子梦想 铸金字品牌【解析】(1)设事件 A表示“A 中学至少有 1名学生入选代表队”,则 P(A)=1- 091354C.(2)由题意, x=1,2,3, 51)3(;5)2(;5)1( 46346234613 CXPCXPXP因此 X的分布列为X 1 2 3P 55351数学期望:E(X)=1 +2 +3 =2.3.(2015山东高考理科T19)(本小题满分 12分)若 n是一个三位正整数,且 n的个
4、位数字大于十位数字,十位数字大于百位数字,则称 n为“三位递增数”(如 137,359,567等).在某次数学趣味活动中,每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取 1个数,且只能抽取一次,得分规则如下:若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被 5整除,参加者得 0分;若能被 5整除,但不能被 10整除,得-1 分;若能被 10整除,得 1分.(1)写出所有个位数字是 5的“三位递增数”.(2)若甲参加活动,求甲得分 X的分布列和数学期望 E(X).【解题指南】(1)分十位数字是 2,3,4讨论.(2)先求 X的可能取值及对应概率,再求分布列及数学期望.【解析】(1)若十位数字是 4,有
5、145,245,345;若十位数字是 3,有 135,235;若十位数字是 2,有 125.所以个位数字是 5的“三位递增数”有 145,245,345,135,235,125共 6个.(2)个位数字是 3时,有 1个;个位数字是 4时,有 3个;个位数字是 5时,有 6个;个位数字是 6时,有 10个;个位数字是 7时,有 15个;个位数字是 8时,有 21个;个位数字是 9时,有 28个,共 84个.三个数字之积能被 10整除的有 22个,三个数字之积能被 5整除,但不能被 10整除的有 6个,三个数字之积不能被 5整除的有 56个.X的可能取值为-1,0,1(1)P684; (0)PX5
6、62843; (1)PX284.所以 X的分布列为圆学子梦想 铸金字品牌X10 1P42342所以 X的数学期望 EX 12. 4.(2015天津高考理科T16)(本小题满分 13分)为推动乒乓球运动的发展,某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员 3名,其中种子选手 2名;乙协会的运动员 5名,其中种子选手 3名.从这 8名运动员中随机选择 4人参加比赛.(1)设 A为事件“选出的 4人中恰有 2名种子选手,且这 2名种子选手来自同一个协会”,求事件 A发生的概率.(2)设 X为选出的 4人中种子选手的人数,求随机变量 X的分布列和数学期望.【解题指南】(1)由古典概
7、型计算公式直接计算即可.(2)先写出随机变量 X的所有可能值,求出其相应的概率,即可求概率分布列及期望.【解析】(1)由已知,223486()5CPA所以事件 A发生的概率为 65.(2)随机变量 X的所有可能取值为 1,2,3,4.4538()(1,24).kCP所以,随机变量 X的分布列为1 2 3 4P471随机变量 X的数学期望 131524472EX5. (2015湖北高考理科T20)某厂用鲜牛奶在某台设备上生产 A,B两种奶制品.生产 1吨 A产品需鲜牛奶 2吨,使用设备 1小时,获利 1000元;生产 1吨 B产品需鲜牛奶 1.5吨,使用设备 1.5小时,获利 1200元.要求每
8、天 B产品的产量不超过 A产品产量的 2倍,设备每天生产 A,B两种产品时间之和不超过 12小时.假定每天可获取的鲜牛奶数量 W(单位:吨)是一个随机变量,其分布列为圆学子梦想 铸金字品牌W 12 15 18P 0.3 0.5 0.2该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产,使其获利最大,因此每天的最大获利 Z(单位:元)是一个随机变量.(1)求 Z的分布列和均值.(2)若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立,求 3天中至少有 1天的最大获利超过 10000元的概率.【解题指南】(1)利用线性规划模型,设每天 A,B两种产品的生产数量分别为 x,y,目标函数z=1000x+1200y,列出线性约束条件,
9、画出可行域.通过解方程求出最优解,列出分布列,求均值.(2)由(1)知,一天最大获利超过 10000元的概率 p1,由二项分布,可求 3天中至少有 1天最大获利超过 10000元的概率.【解析】(1)设每天 A,B两种产品的生产数量分别为 x,y,相应的获利为 z,则有21.5, 0, .xyW目标函数为 z=1000x+1200y.当 W=12时,表示的平面区域如图 1,三个顶点分别为 A(0,0),B(2.4,4.8),C(6,0).将 z=1000x+1200y变形为 56120zyx,当 x=2.4,y=4.8时,直线 l: 在 y轴上的截距最大,最大获利 Z=zmax=2.41000
10、+4.81200=8160.当 W=15时,表示的平面区域如图 2,三个顶点分别为 A(0,0),B(3,6),C(7.5,0).将 z=1000x+1200y变形为 56120zyx,当 x=3,y=6时,直线 l: 在 y轴上的截距最大,最大获利 Z=zmax=31000+61200=10200.当 W=18时,表示的平面区域如图 3,四个顶点分别为 A(0,0),B(3,6),C(6,4),D(9,0).圆学子梦想 铸金字品牌将 z=1000x+1200y变形为 56120zyx,当 x=6,y=4时,直线 l: 在 y轴上的截距最大,最大获利 Z=zmax=61000+41200=10
11、800.故最大获利 Z的分布列为Z 8 160 10 200 10 800P 0.3 0.5 0.2因此,E(Z)=81600.3+102000.5+108000.2=9708.(2)由(1)知,一天最大获利超过 10000元的概率 p1=P(Z10000)=0.5+0.2=0.7,由二项分布,3 天中至少有 1天最大获利超过 10000元的概率为 p=1-(1-p1)3=1-0.33=0.973.6 （2015重庆高考理科17）端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有 10个粽子，其中豆沙粽 2个，肉粽 3个，白粽 5个，这三种粽子的外观完全相同.从中任意选取 3个.(1)求三种粽子各取到
12、 1个的概率；（2）设 X表示取到的豆沙粽个数，求 X的分布列与数学期望.【解题指南】 （1）直接利用古典概型的概率计算公式求解即可， （2）利用超几何分步列出分布列求出数学期望即可.【解析】 （1）令 A表示事件“三种粽子各取到 1个” ，则由古典概型的概率计算公式有23510()4CP（2） X的所有可能值为 0,1,2，且3128 831002377(),()55.CPXCP综上知， 的分布列为X 0 1 2P 715 715 115故 3()01255E（个）7.(2015福建高考理科T16)某银行规定,一张银行卡若在一天内出现 3次密码尝试错误,该银行卡将被圆学子梦想 铸金字品牌锁定
13、,小王到该银行取钱时,发现自己忘记了银行卡的密码,但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的 6个密码之一,小王决定从中不重复地随机选择 1个进行尝试.若密码正确,则结束尝试;否则继续尝试,直至该银行卡被锁定.(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率.(2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为 X,求 X的分布列和数学期望.【解题指南】(1)利用相互独立事件的概率进行计算.(2)最多试 3次,至少 1次,从而写出 X所有可能取值,利用相互独立事件的概率求出对应的概率,列出分布列,求出数学期望.【解析】(1)设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为 A,则 24356)(AP(2)依题意得,X 所有可能
14、的取值是 1,2,3,又 1)(XP, 12,321546)3(XP所以 X的分布列为1 2 362所以 53)(XE8（2015安徽高考理科T17）.已知 2件次品和 3件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出 2件次品或者检测出 3件正品时检测结束.（1）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率（2）已知每检测一件产品需要费用 100元，设 X表示直到检测出 2件次品或者检测出 3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求 X的分布列和均值（数学期望）【解题指南】正确求出 x的可能取值及其概率是解答（2）的关键。【解析】（1）第一次检测
15、出的是次品且第二次检测出的是正品的概率为235410P。（2）由题意可知 x的可能取值为 200,300，400，则21(0)540Px；323(0)5410P；3261，所以 x的分布列如下所示：X 200 300 400P 10310610圆学子梦想 铸金字品牌所以1362040351EX。9. (2015陕西高考理科T19)(本小题满分 12分)设某校新、老校区之间开车单程所需时间为 , 只与道路畅通状况有关,对其容量为 100的样本进行统计,结果如下:(分钟) 25 30 35 40频数(次) 20 30 40 10(1)求 的分布列与数学期望 ().(2)刘教授驾车从老校区出发,前往
16、新校区做一个 50分钟的讲座,结束后立即返回老校区,求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过 120分钟的概率.【解题指南】(1)先由已知统计结果可得 T的频率分布,再以频率估计概率得 T的分布列,代入公式求得数学期望 ().(2)设 T1,T2分别表示往、返所需时间,事件 A对应于“刘教授在路途中的时间不超过 70分钟”,先求出 P()=P(T1=35,T2=40)+P(T1=40,T2=35)+P(T1=40,T2=40)=0.09,即 P(A)=1-P( )=0.91.A A【解析】(1)由统计结果可得 T的频率分布为(分钟) 25 30 35 40频率 0.2 0.3 0.4 0.1以频率估计概率得 T的分布列为 25 30 35 40P 0.2 0.3
