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1、复杂非线性系统中的 混沌 作者：王兴元 第一章 绪 论 l1.1 混沌理论的产生与发展 l1.2 混沌理论对现代科学的作用和影响 l1.3 混沌的研究工具与研究方法 l1.4 混沌研究的现状与展望 l1.5 本书研究的基本特征 非线性混沌与分形理论的基本思想起源于20世纪 初，发生于20世纪60年代后，发展壮大于20世纪80 年代。这一理论揭示了有序与无序的统一、确定性与 随机性的统一，并成为正确的宇宙观和自然哲学的里 程碑。混沌与分形理论被认为是继相对论、量子力学 ，20世纪人类认识世界和改造世界的最富有创造性的 科学领域的第三次大革命。 1.1 混沌理论的产生与发展 1.1.1 混沌理论的
2、产生 混沌最初进入科学是与以精确著称的数理科 学无缘的，混沌主要来源于神话传说与哲学思辨 。在现代，混沌被赋予了新的涵义，混沌是指在 确定性系统中出现的类似随机的过程，其来自非 线性。混沌的理论基础可追溯到19世纪末创立的 定性理论，但真正得到发展是在20世纪70年代， 现在方兴未艾。 l 18世纪 ，Laplace：“如果已知宇宙中每一粒 子的位置与速度，那么就可以预测宇宙在 整个未来中的状况”。 l“混沌者，言万物相混成而未相离”(易经 )，“窈窈冥冥”、“昏昏默默”(庄子) lEinstein（爱因斯坦）也曾表态说：“我无论如何深信 上帝不是在掷骰子”。 l19世纪末20世纪初 ，人们发
3、现，微观粒子的运动并 不遵守Newton力学的规律，在微观世界中应当用量 子力学的薛定谔方程来代替Newton力学方程。 l20世纪后半叶 ，物理学在非线性方面所取得了两大 进展：非平衡物理学和始于混沌概念的不稳定系统动 力学，使Newton力学受到了更大的冲击。 l非平衡物理学研究远离平衡态的系统，这门新学科产 生了诸如自组织和耗散结构这样一些概念，它们描述 了单项时间效应，即不可逆性。经典科学强调有序和 稳定性，以Newton理论为代表的近代科学创造了一 种能够精确刻划必然性或确定性的方法。然而人们在 研究非线性系统时却发现了分岔、突变、混沌等现象 。 1.1.2 混沌理论的发展过程 lP
4、oincare猜想。三体问题中，在一定范围内，其解是随 机的。一种保守系统中的混沌，世界上最先了解混沌存 在的可能性的第一人。经典牛顿理论用一层厚实而不易 觉察的帷幕把混沌现象这块丰饶的宝地给隔开了，但 Poincare在这道帷幕上撕开一条缝，暴露出后面未开发“ 西部世界”。 l1963年美国数学家E. N. Lorenz的在美国大气科学杂志 上发表的文章“确定性的非周期流”：Lorenz用计算机 模拟天气情况，他发现了天气变化的非周期性和不可预 言性之间的联系。在他的天气模型中，Lorenz看到了比 随机性更多的东西，看到了一种细致的几何结构，发现 了天气演变对初值的敏感依赖性。提出“蝴蝶效
5、应” 。 l1964年，M. Henon等人以KAM理论为背景，发现了1个 二维不可积Hamilton系统中的确定性随机行为，即 Henon吸引子。D. Ruelle和F. Takens提出 “奇怪吸引子 ”Strange attractor的名词。 l美国数学家Smale发明了被称做“马蹄”的一 种结构，可比喻为在一团橡皮泥上任意取 两点，然后把橡皮泥拉长，再折叠回来， 不断地拉长、折叠，使之错综复杂的自我 嵌套起来。 l1975年，T. Y. Li（李天岩）和J. A. York提 出“周期3蕴含混沌”的思想，被认为是混沌 的第一次正式表述，Chaos一词也自此正式 使用 。 l现如今，混
6、沌已成为各学科竞相注意的一个学 术热点。确定性系统的混沌使人们看到了普遍 存在于自然界而人们多年来视而不见的一种运 动形式。混沌无所不在，它存在于大气中，海 洋湍流中，野生动植物种群数的涨落中，风中 飘拂的旗帜中，水流缭乱的旋涡中，心脏和大 脑的振动中，还有秋千、摆钟、血管、嫩芽、 卷须、雪花世界是混沌的，混沌遍世界！ 目前，许多科学家都在利用非线性动力学的方 法来研究混沌运动。 1.1.3 混沌研究的意义与发展前景 l混沌不同于宇宙早期热力学平衡态的混沌，它是 有序和无序的对立统一，既有复杂性的一面，又 有规律性的一面。 l混沌科学最热心的倡导者、美国海军部官员 Shlesinger说：“2
7、0世纪科学将永远铭记的只有三 件事：相对论、量子力学与混沌。”物理学家Ford 认为混沌是20世纪物理学第三次最大的革命，与 前两次革命相似，混沌也与相对论及量子力学一 样冲破了牛顿力学的教规。 l混沌学改变了科学世界的图景，认为世界是一个 有序与无序的统一、确定性与随机性的统一、 l简单性与复杂性的统一、稳定性与不稳定性的统 一、完全性与不完全性的统一、自相似性与非相 似性的统一的世界。 l混沌运动产生出各种巧夺天工的图形，成功模拟 和创造出足以乱真的“实景”，获得意想不到的结 果。对简单、纯一、和谐的有序性美和静态美的 追求被多样性美、奇异性美、复杂性美和动态美 所取代，这就是混沌美。 l
8、 混沌研究的重要特点就是跨越了学科界限。混沌 学的普适性、标度律、自相似性、分形、奇怪吸 引子、重整化群等概念和方法，正超越原来数理 学科的狭窄背景，走进化学、生物学、地学、医 学及至社会科学的广阔天地。 1.1.4 分形理论的产生与发展 l另外，混沌的出现与“分岔”紧密相关，混沌集又 常常具有分数维特征，所以也与“分形”有关。分形 理论是非线性科学研究中十分活跃的一个分支， 它的研究对象是自然界和非线性系统中出现的不 光滑和不规则的几何形体。分形理论的数学基础 是分形几何 。 l混沌集具有分数维特征，与“分形”有关。 l1975年Mandelbrot出版了杰作分形对象形 、机遇和维数、分形形
9、、机遇和维数 、大自然的分形几何学专著。第一次系统阐 述了分形几何的思想、内容、意义和方法。标志 着分形几何作为一个独立的学科正式诞生。 l经济模式中高低收入的分布图与利塔沃经济中 心 大厦黑板上棉花价格变动图一样。 l“英国的海岸线有多长”的问题 ：任何一段海岸 线 都是无限长的。虽然一条曲折的海岸线长度不 能 精确测量，但它却有某种特征量，就是分形所揭 示的分数维数，可以对分形对象内部的不均匀 性、层次结构性的整体数量特征进行刻画。 l分形的意义在于摸索自相似，自相似是跨越不 同尺度的对称性，图案之中套图案。 1.2 混沌理论对现代科学的作用和影响 l混沌运动是存在于自然界中的一种普遍运动
10、形式 ，所以非线性科学的研究不仅推动了其它学科的 发展，而且正在改变整个现代知识体系。而动力 系统、分岔和奇怪吸引子理论方法的发展也已超 越原来数学的界限，广泛应用于振动、自动控制 、系统工程、机械工程等部门非线性问题的研究 ，并对经典力学、物理学、固体力学、流体力学 （为解决湍流问题带来了希望）、化学工程、生 态学和生物医学，乃至一些社会科学部门的研究 和发展都产生深远影响。同时，科学实践的进一 步深化反过来又促进非线性动力学数学理论的纵 深发展。 l混沌分形理论已经与计算机科学理论等领域相结 合，这种结合使人们对久悬未解的基本难题的研 究取得突破性进展，在探索、描述及研究客观世 界的复杂性
11、方面发挥了巨大作用 。 l混沌论在确定论和随机论之间架起一座桥梁 。在 某些情况下它反而是组织结构和高度有序的表现 ，是系统进化和产生信息之源。这些都将对人们 的科学观和方法论产生重大影响，为人们认识世 界、改造世界提供了有力的武器。 l分形与混沌动力系统理论进一步丰富和深化了唯 物辩证法关于普遍联系和世界统一性原理。分形 论从一个特定层面直接揭示了宇宙的统一图景， 而分形与动力系统可以共同对世界物质统一性从 时态与历时性两个维度上展开说明：动力系统理 论说明，自然界中蕴含着历史的演化与嬗变的信 息；另一方面，分形元于分形系统之间普遍的信 息同构关系编织了一张世界统一的网络。 l过去20多年来
12、人们对确定性混沌和分形的研究不 仅对整个自然科学而且对哲学体系也带来了巨大 的冲击。可能成为产生变革的持久动力，无疑将 在人类探索自然的实践中起着开阔眼界、解放思 想的作用。 1.3 混沌的研究工具与研究方法 l 分析复杂的非线性系统可用在相空间观察其轨道 的方法。所谓相空间就是由所要研究的物理量本 身作为坐标分量所构成的广义空间，系统的任意 状态相当于相空间中的一个代表点，系统的状态 随时间变化过程对应于代表点在相空间中的变化 。 l因为各根轨道一般只对非线性动力学系统的性态 提供很少信息，较好的办法是观察许多根轨道。 l 如果系统的性态是规则的，在某些情况下，也可 由相图得到有价值的启示。
13、 l 为了能够区别不同的吸引子，将讨论特征标志和 相应的研究方法。特别适用的是以下研究方法： （1）多半由连续系统的一个时间离散化出发得到点映射 ；容易把规则性态与混沌性态相区分；奇怪吸引子以点 映射的Cantor集结构为其特征。 （2）各个时间测量序列的功率谱容易由Fourier变换来确 定。周期性态和拟周期性态以离散功率谱为特征，混沌 性态以连续功率谱表征。 （3）Lyapunov指数描述了相邻轨道的收敛性态或发散性 态。适用于对平常吸引子或奇怪吸引子的研究。如果不 出现正的指数，我们就有一个平常吸引子。 （4）维数是一个经典的区分标志。为了使之对动力学系 统有意义，把维数的概念在概率论的
14、意义上加以推广。 对于平常吸引子，维数取整数值。 （5）在动力学中，对熵是从信息论的意义上理解的。熵 对从相空间一个小区域出发的系统性态作出短期预测。 熵取正值是混沌系统的特征。 1.4 混沌研究的现状与展望 l对于混沌研究的发展方向及面临的重大突破，我 国著名物理学家郝柏林院士曾提出了一些很有远 见的看法： （1）湍流问题仍然是对现代科学的挑战。 （2）以往研究混沌多属长时间的渐远行为，然而过 渡过程可能更为重要和丰富多彩。 （3）混沌运动本身应有进一步的分类，奇怪吸引子 也会有不同的奇怪程度。 （4）具体的非线性模型的数值研究应转向分岔和混 沌的“谱”，即参数空间的整体结构，辅以对各种 吸
15、引子及其转变的定量和唯象分析。 （5）混沌研究要各门学科的合成。 1.5 本书研究的基本特征 1.5.1 本书研究的目标、内容和拟解决的关键问题 本书选取了复杂非线性系统，如心脏系统、神经元网 络常微分方程组、二维非线性映射等，中的混沌现象为 突破口，进行了以下较为深入研究 ： (1)心电图的定量测定表明，正常的和病态的心脏都有其 突出而显著的动力学特征。 (2)利用Lyapunov指数作判据，构造了三层前馈神经元 网络的奇怪吸引子，分析了奇怪吸引子的运动特征并 计算了奇怪吸引子的关联维数。 (3)利用Lyapunov指数作判据，通过坐标变换，构造了 广义Lorenz方程和广义Rssler方程
16、具有旋转对称 性的奇怪吸引子，分析了奇怪吸引子的运动特征 并计算了奇怪吸引子的关联维数。 (4)探讨了构造三维奇怪吸引子透视图的方法；并利 用计算机绘制了某一三维非线性映射的奇怪吸引 子的一系列透视图；通过对奇怪吸引子的观察， 论述了混沌运动的奇异特征 (5) 探讨了二维Logistic映射从规则运动转化到混沌 运动具有的普适特征 ；一般二维二次映射不动点 具有的性质；其在参数空间中一般二维二次映射 发生第一次分岔的边界方程；构造普通二维映射 的奇怪吸引子并计算它的分维数 。 (6)作为阐明混沌理论的一个经典例子Logistic 映射 ，本书探讨了其图形与吸引子之间的联系； 并由一维可观察量计算系统混沌定量判据的方法 ，计算了吸引子的Lyapunov指数和关联维数 。 1.5.2 本书研究
