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1、第七讲 因数与倍数（公因数和公倍数（二）【知识概述】这一讲我们主要介绍最小公倍数与最大公约数之间的关系。定理一：两个自然数分别除以它们的最大公因数，所得的商互质，即：如果（a，b）=d，那么（ad，bd)=1。定理二：两个数的最小公倍数与最大公因数之积等于这两个数的乘积。即a,b（a,b）=ab。定理三：两个数的公因数一定是这两个数的最大公因数的因数。例题精学4 28 A 7 a例1 两个数的最大公因数是4，最小公倍数是252，其中一个数是28，另一个数是多少？【思路点拨】设一个数为A，得短除式如下：显然，7和a互质，否则4就不是最大公因数，那么252=47a，a=9，A=49=36。另外，我
2、们可以根据定理：a,b（a,b)=ab。求得425228=36。同步精练1. 某数与24的最大公因数是4，最小公倍数是168，这个数是多少？2. 甲数和乙数的最大公因数是6，最小公倍数是90，且小数不能整除大数，求这两个数。3. 四个连续奇数的最小公倍数为6435，这四个奇数中最大的一个为多少?例2 两个自然数的和是50，它们的最大公因数是5，求这两个数的差。【思路点拨】若（A，B）=d，可以假设A=ad，B=bd,那么a和b互质，即（a,b)=1。在本题中，由于已知两数的最大公因数为5，故可设一个数为5a，另一个数为5b，(a,b)=1。又因为这两个数的和为50，这样可以得到5a+5b=50
3、，5（a+b)=50，a+b=10。根据a与b互质，我们不难得到a=1,b=9或a=3，b=7。这样可以求出这两个数是53=15和57=35或51=5或59=45。它们的差也就好求了。同步精练1. 两个自然数的和是56，它们的最大公因数是7，求这两个数。2. 已知两个自然数的积是5766，它们的最大公因数是31，求这两个数。3. 两个数的和是70，它们的最大公因数是7，求这两个数的差是多少。例3 两个数的最大公因数为21，最小公倍数为126，求这两个数的和。【思路点拨】已知两个数的最大公因数是21，最小公倍数是126，要求这两个数，可以根据“两个数的最大公因数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘
4、积”先求出这两个数的乘积，再把这个积分解成两个数。再求两个数的和。设这两个数为A和B，根据题意：21 A B a b（a与b互质）ab=12621=6=16=23a=1 A=211=21b=6 B=216=126 a=2 A=212=42 b=3 B=213=63A+B=42+63=105A+B=21+126=147同步精练1. 两个自然数的最大公因数是7，最小公倍数是210，这两个数的和是77。求这两个数。2. 两个数的最大公因数是12，最小公倍数是72，这两个数的和是多少？3. 两个数的最大公因数是18，最小公倍数是180，两个数的差是54，求这两个数的和。例4 两个自然数的和是54，它们
5、的最小公倍数与最大公因数的差是114，求这两个自然数。m A B a b【思路点拨】设两个自然数为A，B，且AB。m是两个数的最大公因数，a与b互质。根据条件可得：abm-m=114，am+bm=54。化简后得（ab-1)m=114（a+b）m=54 m是114和54的公因数。 （114,54）=6。因为6的因数有1，2，3，6，所以m可能是1，2,3，6。如果m=1，那么a+b=54，ab=115。115=1115=523，且1+115=11654，5+23=2854，所以m不可能是1。如果m=2，那么a+b=27，ab=58。58=158=229，且1+58=59/27,2+29=31/2
6、7，所以加不可能是2。如果m=3，那么a+b=18，ab=39。39=139=313，且1+39=40/18，3+13=16-18，所以m不可能是3。如果m=6，那么a+b=9，ab=20。20=45，且4+5=9，所以m=6。那么A=64=24，B=65=30。同步精练1. 两个数的差是4，最大公因数与最小公倍数的积是252，求这两个数。2. 两个数的差是30，它们最小公倍数与最大公因数的差是450，求这两个数。3. 两个自然数的差是2，它们的最大公因数与最小公倍数之和是86，求这两个数。练习卷1. 两个数的最大公因数是60，最小公倍数是720，其中一个数是180，另一个数是多少？2. 两个
7、自然数的最大公因数是15，最小公倍数是180，其中一个数是45，求这两个自然数的差。3. 已知两个自然数的和为165，它们的最大公因数是15，求这两个数。4. 已知两个自然数的积为240，最小公倍数为60，求这两个数。5. 两个数的最大公因数是6，最小公倍数是144，求这两个数。6. 两个不同自然数的和是60，它们的最大公因数与最小公倍数的和也是60，满足条件的自然数共有多少组?7. 两个自然数的和是60，它们的最大公因数与最小公倍数的和是84，求这两个数。8. 已知a与b，a与c的最大公因数分别是12和15，a，b，c的最小公倍数是120，求a,b，c。位真商跟9. 两个自然数的差是3，它们的最大公因数与最小公倍数的积是180，求这两个数。10.已知a与b，a与c，b与c的最小公倍数分别是60，90和36。问：满足此条件的a，b，c有多少组？
