异方差性的概念、类型、后果、检验及其修正方法含案例

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1、 在教材P29-32和P64-65，分别对一元和多元线性回归模型 提出了若干基本假设，只有在满足这些基本假设的情况下， 应用普通最小二乘法才能得到无偏的、有效的参数估计量。 但是，在实际的计量经济学问题中，完全满足这些基本假 设的情况并不多见。 如果违背了某一项基本假设，那么应用普通最小二乘法估 计模型所得参数估计量就可能不具有某些优良特性，这就需 要发展新的方法估计模型。 本章正是要讨论违背了某一项基本假设的问题及其估计方 法。 引 言 异方差性 Heteroscedasticity 一、异方差性的概念及类型 二、异方差性的后果 三、异方差性的检验 四、异方差的修正 五、案例 1.什么是异方

2、差？ 对于模型 （i=1,2,n） 同方差性假设为 （i=1,2,n） 如果出现 （i=1,2,n） 即对于不同的样本点i ，随机误差项的方差不再是常数，则认 为出现了异方差性。 注意：对于每一个样本点i，随机误差项i都是随机变量，服 从均值为0的正态分布；而方差i2衡量的是随机误差项围绕其 均值0的分散程度。所以，所谓异方差性，是指这些服从正态 分布的随机变量围绕其均值0的分散程度不同。 一、异方差性的概念及类型 异方差性示意图 概率密度 或者，也可以说，对于每一个样本点i，随机误差项的方差i2衡 量的是被解释变量的观测值Yi围绕回归线E(Yi)=0+1Xi1+kXik 的分散程度。而所谓异

3、方差性，是指被解释变量观测值的分散程 度随样本点的不同而不同。 【庞皓P130】 2.异方差的类型 同方差性假定是指，每个i围绕其0均值的方差 并不随解释变量Xi的变化而变化，不论解释变量 的观测值是大还是小，每个i的方差保持相同， 即 i2 =常数 （i=1,2,n） 在异方差的情况下，i2已不是常数，它随Xi的 变化而变化，即 i2 =f(Xi) （i=1,2,n） 异方差一般可以归结为三种类型： （1）单调递增型： i2=f(Xi)随Xi的增大而增大； （2）单调递减型： i2=f(Xi )随Xi的增大而减小； （3）复杂型： i2=f(Xi )随Xi的变化呈复杂形式。 3.实际经济问题

4、中的异方差性 在该模型中，i的同方差假定往往不符合实际情况。对高收 入家庭来说，储蓄的差异较大；低收入家庭的储蓄则更有规律 性（如为某一特定目的而储蓄），差异较小。 因此，i的方差往往随Xi的增加而增加，呈单调递增型变化 。 例4.1.1： 在截面资料下研究居民家庭的储蓄行为 Yi=0+1Xi+i Yi和Xi分别为第i个家庭的储蓄额和可支配收入。 一般情况下：居民收入服从正态分布，处于中等收入组中 的人数最多，处于两端收入组中的人数最少。而人数多的组 平均数的误差小，人数少的组平均数的误差大。所以样本观 测值的观测误差随着解释变量观测值的增大而先减后增。 例4.1.2：以绝对收入假设为理论假设

5、、以分组数据（ 将居民按照收入等距离分成n组，取组平均数为样本 观测值）作样本建立居民消费函数： Ci= 0+1Yi+i 如果样本观测值的观测误差构成随机误差项的主要部分，那 么对于不同的样本点，随机误差项的方差随着解释变量观测值 的增大而先减后增（U形），出现了异方差性。 例4.1.3：以某一行业的企业为样本建立企业生产函数模型 Yi=Ai1 Ki2 Li3ei 产出量为被解释变量，选择资本、劳动、技术等投入要素 为解释变量，那么每个企业所处的外部环境对产出量的影 响被包含在随机误差项中。 由于每个企业所处的外部环境对产出量的影响程度不同， 造成了随机误差项的异方差性。 这时，随机误差项的方

6、差并不随某一个解释变量观测值 的变化而呈规律性变化，为复杂型的一种。 规 律 一般经验告诉人们：对于采用截面数据作样本 的计量经济学问题，由于在不同样本点（即不 同空间）上解释变量以外的其他因素的差异较 大，所以往往存在异方差性。 1.参数估计量非有效 当计量经济学模型出现异方差性时，其普通最小二乘法参 数估计量仍然具有无偏性，但不具有有效性。而且，在大样 本情况下，参数估计量仍然不具有渐近有效性。 即同方差和无序列相关条件。 因为在有效性证明（见教材P70-71）中利用了 二、异方差性的后果 2.变量的显著性检验失去意义 在变量的显著性检验中，t统计量 （j=0,1,2,k） 如果出现了异方

7、差性，而仍按同方差时的公式计算t 统计量，将使t统计量失真【偏大或偏小，见第三版P110补 充说明】，从而使t检验失效【使某些原本显著的解释变量 可能无法通过显著性检验，或者使某些原本不显著的解释变量 可能通过显著性检验】。 3.模型的预测失效 一方面，由于上述后果，使得模型不具有良好的统计性质； 所以，当模型出现异方差性时，Y预测区间的建立将发生困 难，它的预测功能失效。 其中 【书上这句话有点问题】 1.检验方法的共同思路 既然异方差性就是相对于不同的解释变量观测值， 随机误差项具有不同的方差，那么： 检验异方差性，也就是检验随机误差项的方差与解 释变量观测值之间的相关性及其相关的“形式”

8、。 各种检验方法正是在这个共同思路下发展起来的。 三、异方差性的检验（教材P111） 问题在于：用什么来表示随机误差项的方差？ 一般的处理方法： 2.图示检验法 （1）用X-Y的散点图进行判断（李子奈P108） 看是否存在明显的散点扩大、缩小或复杂型 趋势（即不在一个固定的带型域中）。 随机误差项的 方差描述的是 取值的离散程 度。而由于被 解释变量Y与随 机误差项有相 同的方差，所 以利用Y与X之 间的相关图形 也可以粗略地 看出的离散程 度与X之间是否 有相关关系。 看是否形成一条斜率为零的直线。 （教材P111） 3.戈里瑟（Gleiser）检验与帕克（Park）检验 戈里瑟检验与帕克检

9、验的思想： 如果存在某一种函数形式，使得方程显著成立，则说明原 模型存在异方差性。 由于f(Xj)的具体形式未知，因此需要选择各种形式进行试验。 4.戈德菲尔德-匡特（Goldfeld-Quandt）检验 G-Q检验以F检验为基础，仅适用于样本容量较大、 异方差为单调递增或单调递减的情况。 G-Q检验的思想： 先按某一被认为有可能引起异方差的解释变量对样 本排序，再将排序后的样本一分为二，对子样本和 子样本分别进行OLS回归，然后利用两个子样本的 残差平方和之比构造F统计量进行异方差检验。 G-Q检验的步骤： 将n对样本观察值(Xi1, Xi2, ,Xik,Yi)按某一被认为有 可能引起异方差

10、的解释变量观察值Xij的大小排队。 将序列中间的c=n/4个观察值除去，并将剩下的观察 值划分为较小与较大的容量相同的两个子样本，每 个子样本的样本容量均为(n-c)/2 。 检验。给定显著性水平，确定F分布表中相应的临界值 F（1，2）。 若FF（1，2），则拒绝H0，认为存在异方差； 反之，则不存在异方差。 H0成立，意味着同方差； H1成立，意味着异方差。 5.怀特(White)检验 G-Q检验需按某一被认为有可能引起异方差的解释 变量对样本排序，而且只能检验单调递增或单调递 减型异方差；怀特(White)检验则不需要排序，且对 任何形式的异方差都适用。 怀特(White)检验的基本思想

11、与步骤 下面，以二元回归为例，说明怀特检验的基本思想与步骤： 设回归模型为： 首先，对该模型做普通最小二乘回归，记残差为： 然后，以上述残差的平方为被解释变量，以原模型中各解释 变量的水平项、平方项（还可以有更高次项）、交叉项等各 种组合为解释变量，做如下的辅助回归： 则在同方差性假设下【也即H0：1= 5=0 】，该辅助回归 方程的可决系数R2与样本容量n的乘积渐近地服从自由度=辅 助回归方程中解释变量个数【该例= 5】的2分布： 怀特(White)检验的EViews软件操作要点 在OLS的方程对象Equation中，选择View/Residual tests/White Heteroske

12、dasticity。 在选项中，EViews提供了包含交叉项的怀特检验“White Heteroskedasticity（cross terms）”和没有交叉项的怀特检 验“White Heteroskedasticity（no cross terms）” 这样两个 选择。 软件输出结果：最上方显示两个检验统计量：F统计 量和White统计量nR2；下方则显示以OLS的残差平方 为被解释变量的辅助回归方程的回归结果。 以教材P118的例子为例，包含交叉项的怀特检验“White Heteroskedasticity（cross terms）”的输出结果为 ： 怀特 检验 的软 件输 出界 面：

13、可见，怀特统计量nR2=20.55085【=31 0.662931】，大于自由度【也即辅助 回归方程中解释变量的个数】为5的2 分布临界值11.07，因此，在5%的显著 性水平下拒绝同方差的原假设。 四、异方差的修正 1. 加权最小二乘法（weighted least squares ） 2. 异方差稳健标准误法（ heteroscedasticity robust standard error） 1.加权最小二乘法的基本思想 加权最小二乘法（Weighted Least Squares ）：是对原 模型加权，使之变成一个新的不存在异方差性的模型 ，然后采用普通最小二乘法估计其参数。 例如：在

14、递增的异方差下，与较小的Xi对应的Yi离回归线 较近，残差ei较小；而与较大的Xi对应的Yi离回归线较远， 残差ei较大。为了更可靠地估计总体回归函数，我们应该给 那些紧密围绕其（总体）均值的观测值较大的权数，而给 那些远离其均值的观测值较小的权数。古扎拉蒂P355 （一）加权最小二乘法 于是，我们可以 对较小的残差平方ei2赋予较大的权数， 对较大的残差平方ei2赋予较小的权数。 加权最小二乘法就是对加了权重的残差平方和 实施OLS法： 最小 例如：如果在检验过程中已经知道： 2.一个例子（重要！ ） i=1,2,n 在该模型中，存在 即满足同方差性。 这就是加权最小二乘法。 在这里，权数为

15、 。 注意：将这里的权数平方之后，才是对残差平方加权的权数。 【第三版P114补充】可见，实施加权最小二乘法的关 键是寻找适当的“权”，或者说寻找模型中随机干扰项 的方差与解释变量间的适当的函数形式。 如果发现 那么，加权最小二乘法的“权”即为 （注意：其中的2完全可以是1） 注意：这里的“权”仍然是指用来乘原模型两边的“权”，相当于对 原模型的残差ei加权。将这里的权数平方之后，才是对原模型的 残差平方ei2加权的权数。 那么，可以用 作为权数，去乘原模型的 两边，得到下面的模型： 补充 特别地，如果像教材P111(4.1.4)式那样，近似地有 该模型满足同方差性，可以用普通最小二乘法估计： i=1,2,n Eviews软件中的加权最小二乘法（WLS）正是这样设 计的： （） 所以，Eviews软件中WLS法的“权”，是指对原模型两边加权的 “权”，而不是对原模型的残差平方ei2加权的权数。 3.一般情况（只需了解其思想。第三版已删掉，跳过） 对于模型Y=XB+N 如果存