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1、概率论与数理统计概率论与数理统计 第二讲第二讲 随机事件的概率随机事件的概率 经济数学基础 1.随机试验（E）对随机现象进行的实验与观察. 它具有三个特点：重复性, 总体明确性 , 随机性. 2.随机试验的样本点随机试验的每一个可能结果. 3.随机试验的样本空间（）随机试验的所 有样本点构成的集合. 4.基本事件的单元素子集，即一个样本点构成 的集合. 5.随机事件的子集，常用A、B、C表示. 6.必然事件（） 7.不可能事件（） 第二节 随机事件的概率 一、概率的统计定义 二、概率的古典定义 三、概率的公理化定义 随机试验可在相同的条件下大量重复进行. 进行n次重复试验，记 r 为事件A发生
2、的次数 ， 称 为事件A发生的频率. 频率可以计算，概率能否计算，频率与概率关 系 一、概率的统计定义 概率 频率 可能性数量化涉及到的问题 可能性大小是否存在 可能性大小能否度量 可能性大小如何度量 可能性大小取值范围 举例1） 一根粉笔长度的度量，回答上 面四个问题 2）投一枚硬币，出现正面的可能性的度 量 抛硬币实验 试验者 德摩根 蒲丰 K皮尔逊 K皮尔逊 罗曼诺夫斯基 2048 4040 12000 24000 80640 1061 2048 6019 12012 39699 0.5181 0.5069 0.5016 0.5005 0.4923 试验次 数 出现正面的 次数 出现正面
3、的 频率 当 常常会不一样 不同时，得到的 )( Af n n 这表明频率具有一定的随机波动性. 对于可重复进行的试验，当试验次数 逐渐增大时 ，事件 的频率 都逐渐稳定于某个常数 ， 呈现出 “稳定性”。 因此，可以用频率来描述概率，定义概率为频 率的稳定值p,记做P(A)。 我们称这一定义为概率的统计定义 。 这种“稳定性”也就是通常所说的统计规律性。 频率具有如下性质 1 非负性 2 规范性 3 有限可加性 二、概率的古典定义 1 样本空间含有有限个基本事件，即 2 每个基本事件发生的可能性相同，即 具有以上两个特点的随机试验称为等可能概型。 由于它是概率论发展初期的主要研究对象，所以
4、也称之为古典概型 也可简记为： 古典概型满足两个条件： （1）样本点有限 （2）样本点等可能出现 定义 设一古典概型的样本空间包含n个基本事件， 若事件A包含m个基本事件，则A的概率P(A)定义为 由以上可得古典概率P()的性质： (1) 非负性： (2) 规范性： (3) 有限可加性：Ai两两互不相容 这时需要算出 与A中样本点 的个数，一般所用的工具就是 排列组合公式。 从 n 个不同元素中任取 r 个，求取 法总数. 排列讲次序，组合不讲次序. 全排列：Ann= n!（ 互不相同）， 0! = 1. 重复排列：nr 选排列： （互不相同）， 排列与组合公式 组合： （互不相同）， 求排列
5、、组合时，要掌握和注意 ： 加法原则、乘法原则. 注 意 加法原理 完成某件事情有 n 类途径， 在第一类途径中有m1种方 法，在第二类途径中有m2种方法，依次类推，在第 n 类 途径中有mn种方法，则完成这件事共有 m1+m2+mn种 不同的方法. 强调：无论通过哪种方法都可以完成这件事 乘法原理 完成某件事情需先后分成 n 个步骤，做第一步有m1种方 法，第二步有 m2 种方法，依次类推，第 n 步有mn种方法 ，则完成这件事共有 m1m2mn种不同的方法. 强调：必须通过每一步骤,才算完成这件事 加法原理与乘法原理掌握原则： 加法原理是“分类”-每一类都能独立完 成实验 乘法原理是“分步
6、”-要想完成实验，每 一步都要完成，缺一不可。 注意：如何完成实验 （1）先抛一枚硬币，再投一次骰子，有 多少种可能性 （2）抛一枚硬币，或投一次骰子，有多 少种可能性 (3) 三封信，四个信箱，将三封信投入信 箱，有多少种可能 （4）10个球，8个盒子，将这10球放入 盒子中有多少种可能 例1（取球问题）（球是可辨的） 解 基本事件总数为 中包含的基本事件数为 (1) 无放回抽取 （2）有放回抽取 基本事件总总数为为 中包含的基本事件数为 （3）一次任取2只 基本事件总总数为为 中包含的基本事件数为 注：“无放回的取两次”与“一次性取两只”等 效。 考虑虑：（1）所取两球为为一白一黑的概率
7、（2）至少有一只球是黑球的概率 例2（抽签问题） 袋中有n只球，一只红的，n-1只 白的，n个人从袋中无放回地依次取出1只球。试 求：第k个人取出的球是红球的概率 解 设 A=第k个人取出的球为红球 ，将n个球加以 编号，红球为1 , n-1只白球依次为 若把各人 取出的球依次放在排成直线的n个位置上，则可能的 排列方式，即基本事件总数为n！ 当第k个人取出的球为红球 ，则第k个位置上放红球， n-1个白球在其余n-1个位置上任意排列 ，共(n-1)!种 排列方式，即A包含的基本事件总数为(n-1)!,故 例2续: (此题很重要)一袋中有a个红球，b个白球，记ab n 设摸到各球的概率相等，每
8、次从袋中摸一球， 将球一只只摸出。 设 第k次摸到红球 ，k1,2,n求 解1： n a n 可以是号球， 亦可以是号球 是 号球n 号球为红球 -与k无关 可设想将n个球进行编号： 其中将摸出的球排成一排 视 的任一排列为一个样本点，每点出现的概率 相等。 解3： 将第k次摸到的球号作为一样本点：此值不仅与k 无关，且与 a ，b都无关， 若a0呢？对 吗？ 为什么？ 原 来 这 不 是 等 可 能 概 型 总样本点数为 ，每点出现的概率相等，而其中有 个 样本点使 发生， ， nS ，a 红色 解2： 视哪几次摸到红球为一样本点 解4： 记第k次摸到的球的颜色为一样本点： S红色,白色，
9、练习 1 口袋中有黑球8只，白球2只。甲乙两人轮流 取球，每次一只（甲先取，不放回） （1）甲第一次取球取到黑球概率 （2）甲第三次取球取到黑球概率 （3）乙第二次取球取到黑球概率 （4) 乙最后取球时取到黑球概率 思考题：若是口袋中有3只黑球，1只白球，甲 乙轮流取球，不放回，甲取到白球的概率是多 少。（若有4只黑球，一只白球） 例3（随机取数问题） 基本事件总总数为为 设设A=“所得三位数是偶数” B=“所得三位数不小于200”， 解 有没有简单的做法 练习： 将1到100 中随机取10个数 ，然后按照从小到大的顺序排成一 排，求第k个数等于10的概率（ k10) 例3 （分房问题） 将
10、个不同的球随机地放入 个盒子中去， 设盒子的容量不限，试求 （1）指定的n个盒子中各有一球的概率； （2）每个盒子至多有一只球的概率； （3） 个盒子中各有一球的概率 ； (4) 指定的一个盒子中恰有m个球的概率 解 将 个球放入 个盒子中去，每种放法是一 个基本事件。显然这是古典概型问题。因每一 个球都可以放入 个盒子中的任一个盒子，故 共有 种不同的方法。 (1)指定的n个盒子中各有一只球,其可能总数为n个球 的全排列n!,于是 (2)每个盒子中至多只有一只球,共有 种不同的 方法，因此所求的概率为 (3) n个盒子可以有 种不同的选法。对选定的n 个 盒子，每个盒子各有一个球的放法有 种
11、。由乘 法原理，共有 种放法，因此所求概率为 ()从个球中任选m个球共有 种不同的方法 剩余的只球落入其余盒子中有 种不同的方法，故 练习：一单位有5个员工，一星期共七天， 老板让每位员工独立地挑一天休息， 求不出现至少有2人在同一天休息的 概率。 解：将5为员工看成5个不同的球， 7天看成7个不同的盒子， 记A= 无2人在同一天休息 ， 则由上例知： 三、概率的公理化定义 在概率论的公理化结构中，把一个随机事件的概率所应 具备的三个基本属性作为建立概率的数学理论的出发点 ，直接规定三条公理： 满足上述三个条件的事件的函数称为概率 公理1 对对任何事件 公理2 公理3 若可列个事件 两两互不相容，则则 由公理1，2，3可推出 公理3称为可列可加性或完全可加性，它包含着 有限可加性。 概率论的全部结论都可由这三条公理演绎导出 1 非负性 2 规范性 3 可列可加性 三条公理： 概率的三种形式的定义 古典概型中概率的计算：许多表面上提法不同的问题 实质上属于同一类型，要注意总结归纳。 概率的性质 小结
