《三年级上册数学试题-奥数.几何.一笔画与多笔画（C级）沪教版(含答案）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《三年级上册数学试题-奥数.几何.一笔画与多笔画（C级）沪教版(含答案）（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、一笔画与多笔画C知识框架一、 一笔画的认识所谓图的一笔画，指的就是：从图的一点出发，笔不离纸，遍历每条边恰好一次，即每条边都只画一次，不准重复.从上图中容易看出：能一笔画出的图首先必须是连通图.但是否所有的连通图都可以一笔画出呢？下面，我们就来探求解决这个问题的方法.什么样的图形能一笔画成呢？这就是一笔画问题，它是一种有名的数学游戏.所谓一笔画，就是从图形上的某点出发，笔不离开纸，而且每条线都只画一次不准重复.我们把一个图形中与偶数条线相连接的点叫做偶点.相应的把与奇数条线相连接的点叫做奇点.二、 一笔画问题（1） 能一笔画出的图形必须是连通的图形；（2） 凡是只由偶点组成的连通图形.一定可以
2、一笔画出画时可以由任一偶点作为起点.最后仍回到这点；（3） 凡是只有两个奇点的连通图形一定可以一笔画出.画时必须以一个奇点作为起点.以另一个奇点作为终点；（4） 奇点个数超过两个的图形，一定不能一笔画三、 多笔画问题我们把不能一笔画成的图，归纳为多笔画.多笔画图形的笔画数恰等于奇点个数的一半.事实上，对于任意的连通图来说，如果有2n个奇点（n为自然数），那么这个图一定可以用n笔画成. 重难点（1） 知道什么样的的是奇点？什么样的点是偶点.（2） 知道什么样的图形可以一笔画出.（3） 不能一笔画出的图形叫做多笔画图形，多笔画图形的笔画数与什么有关呢？例题精讲【例 1】 下图是某地区所有街道的平面
3、图.甲、乙二人同时分别从A、B出发，以相同的速度走遍所有的街道，最后到达C.如果允许两人在遵守规则的条件下可以选择最短路径的话，问两人谁能最先到达C？【解析】 本题要求二人都必须走遍所有的街道最后到达C，而且两人的速度相同.因此，谁走的路程少，谁便可以先到达C.容易知道，在题目的要求下，每个人所走路程都至少是所有街道路程的总和.仔细观察上图，可以发现图中有两个奇点：A和C.这就是说，此图可以以A、C两点分别作为起点和终点而一笔画成.也就是说，甲可以从A出发，不重复地走遍所有的街道，最后到达C；而从B出发的乙则不行.因此，甲所走的路程正好等于所有街道路程的总和，而乙所走的路程则必定大于这个总和，
4、这样甲先到达C.【答案】甲先到达C.【例 2】 右图是某展览厅的平面图，它由五个展室组成，任两展室之间都有门相通，整个展览厅还有一个进口和一个出口，问游人能否一次不重复地穿过所有的门，并且从入口进，从出口出？【考点】一笔画问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 将图形中的6个区域看成6个点，每个门看成连结他们的线段，显然6个点都是偶点，所以有人能一次不重复的走过所有的门【答案】能【巩固】 右图是某展览馆的平面图，一个参观者能否不重复地穿过每一扇门？如果不能，请说明理由如果能，应从哪开始走？【考点】一笔画问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 不能【例 3】 下图中的每条线都表示一条街道，线
5、上的数字表示这条街道的里数.邮递员从邮局出发，要走遍各条街道，最后回到邮局.问：邮递员怎样走，路线最合理？【解析】 邮递员走的路程最短时，路线最合理.利用一笔画的知识分析可得：因为邮递员从邮局作为起点和终点，所以没有奇点是最理想的，但实际上图中却有8个奇点，邮递员必须重复走某些路线.根据多笔画改为一笔画的方法得知：重复走的路线的两个端点应为奇点.重复的总路程应该尽可能短.我们把需重复走的路线，用虚线添在图中，通过分析与计算可知；当邮递员所走的路线如右图时，重复的路程最短，全程共走了56460（里）.其中56为所有街道的总长，4为所重复走的路程.小结：本题属于最短邮递路线问题.解决这样的题目时，
6、有两点值得注意：在所给图中，每条边都有具体的长度，这与前面其他问题中不考虑长度是不同的；邮递路线中，邮递员必须以邮局作为起点和终点，即在最后能一笔画出的图中，所有的点都必须是偶点.这也与前面游人可以选择进出口的问题不同.【例 4】 右图是某地区街道的平面图，图上的数字表示那条街道的长度.清晨，洒水车从A出发，要洒遍所有的街道，最后再回到A.问：如何设计洒水路线最合理？【解析】 这又是一个最短路线的问题.通过分析可以知道：在洒水路线中，K是中间点，因此必须成为偶点，这样洒水车必须重复走KC这条边（如下左图）.至此，奇点的个数并未减少，仍是6个，但问题却转化为例6的类型.类似于例6，容易得出，洒水
7、车必须重复走的路线有：GF、IJ、BC.即洒水路线如下右图.全程453+6=54（里）. 【例 5】 在33的方阵中每个小正方形的边长都是100 米小明沿线段从A点到B 点，不许走重复路，他最多能走多少米？【考点】一笔画问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 这道题大多数同学都采用试画的方法，实际上可以用一笔画原理求解首先，图中有8 个奇点，在8 个奇点之间至少要去掉4 条线段，才能使这8 个奇点变成偶点；其次，从A点出发到B 点， A， B 两点必须是奇点，现在A， B 都是偶点，必须在与A，B 连接的线段中各去掉1 条线段，使A，B 成为奇点所以至少要去掉6 条线段，也就是最多能走180
8、0 米，走法如图【答案】【例 6】 如图是某餐厅的平面图，共有五个小厅，相邻两厅之间有门相通，并且设有入口请问你能否从入口进入一次不重复地穿过所有的门如果可以，请指明穿行路线， 如果不能，应关闭哪个门就可以办到？ 【考点】一笔画问题 【难度】4星 【题型】解答【解析】 可以将图中的五个小厅以及厅外的部分都抽象成点，为方便解题，给它们分别编号这时，连通厅与厅之间的门就相当于各点之间的连线于是题目中餐厅平面图就抽象成为一个连通的图形，如下：求穿形路线的问题就转化成一笔画的问题在抽象出的图形中，我们可以找到四个奇点，即、和厅外，所以图形不能一笔画出也就是说，从入口进入不可能一次不重复的穿过所有的门但
9、根据一笔画问题的知识，只要关闭门，把、变为偶点，就可以办到，关闭B门，可行路线如上图.【答案】关闭B门.【例 7】 （2009“数学解题能力展示读者评选活动五年级初赛6题）某城市的交通系统由若干个路口（右图中线段的交点）和街道（右图中的线段）组成，每条街道都连接着两个路口所有街道都是双向通行的，且每条街道都有一个长度值（标在图中相应的线段处）一名邮递员传送报纸和信件，要从邮局出发经过他所管辖的每一条街道最后返回邮局（每条街道可以经过不止一次）他合理安排路线，可以使得自己走过最短的总长度是 【考点】一笔画问题 【难度】4星 【题型】填空【解析】 根据一笔画的有关概念，道路图中有个奇点，邮递员不可
10、能不重复地走遍所有街道并返回邮局但可以对道路图作一些处理，相当于邮递员通过走重复的道路，完成一笔画，如下图：总路程为【答案】【例 8】 18世纪的哥尼斯堡城是一座美丽的城市，在这座城市中有一条布勒格尔河横贯城区，这条河有两条支流在城市中心汇合，汇合处有一座小岛A和一座半岛D，人们在这里建了一座公园，公园中有七座桥把河两岸和两个小岛连接起来(如图a)如果游人要一次走过这七座桥，而且对每座桥只许走一次，问如何走才能成功？【考点】一笔画问题 【难度】4星 【题型】解答【解析】 欧拉解决这个问题的方法非常巧妙他认为：人们关心的只是一次不重复地走遍这七座桥，而并不关心桥的长短和岛的大小，因此，岛和岸都可
11、以看作一个点，而桥则可以看成是连接这些点的一条线这样，一个实际问题就转化为一个几何图形(如下图)能否一笔画出的问题了而图B中有4个奇点显然不能一笔画出【答案】不能【巩固】 如下图所示，两条河流的交汇处有两个岛，有七座桥连接这两个岛及河岸问：一个散步者能否一次不重复地走遍这七座桥？【考点】一笔画问题 【难度】4星 【题型】解答【答案】能.【例 9】 一个邮递员投递信件要走的街道如右图所示，图中的数字表示各条街道的千米数，他从邮局出发， 要走遍各街道，最后回到邮局怎样走才能使所走的行程最短？全程多少千米？ 【考点】一笔画问题 【难度】5星 【题型】解答【解析】 图中共有8 个奇点，必须在8 个奇点
12、间添加4 条线，才能消除所有奇点，成为能从邮局出发最后返回邮局的一笔画在距离最近的两个奇点间添加一条连线，如左下图中虚线所示，共添加4 条连线，这4 条连线表示要重复走的路，显然，这样重复走的路程最短，全程30千米走法参考右下图(走法不唯一)【答案】千米例题精讲【随练1】 一辆清洁车清扫街道，每段街道长1公里，清洁车由A出发，走遍所有的街道再回到A.怎样走路程最短，全程多少公里？【考点】一笔画问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】【答案】如图，27；【随练2】 右图是某展览馆的平面图，一个参观者能否不重复地穿过每一扇门？如果不能，请说明理由.如果能，应从哪开始走？【解析】 我们将每个展室看成
13、一个点，室外看成点E，将每扇门看成一条线段，两个展室间有门相通表示两个点间有线段相连，于是得到右图.能否不重复地穿过每扇门的问题，变为右图是否一笔画问题.上图中只有A，D两个奇点，是一笔画，所以答案是肯定的，应该从A或D展室开始走.【答案】能，应该从A或D展室开始走.例题精讲【作业1】 下列图形分别是几笔画？怎样画？【答案】（1）1笔 （2）2笔 （3）1笔【作业2】 从A点出发，走遍右上图中所有的线段，再回到A点，怎样走才能使重复走的路程最短？【答案】【作业3】 邮递员要从邮局出发，走遍左下图(单位：千米)中所有街道，最后回到邮局，怎样走路程最短？全程多少千米？【答案】【作业4】 有一个邮局
14、，负责21个村庄的投递工作，下图中的点表示村庄，线段表示道路.邮递员从邮局出发，怎样才能不重复地经过每一个村庄，最后回到邮局？【答案】【作业5】 一只木箱的长、宽、高分别为5，4，3厘米(见右图)，有一只甲虫从A点出发，沿棱爬行，每条棱不允许重复，则甲虫回到A点时，最多能爬行多少厘米？【答案】34厘米.【作业6】 在六面体的顶点B和E处各有一只蚂蚁(见右图)，它们比赛看谁能爬过所有的棱线，最终到达终点D.已知它们的爬速相同，哪只蚂蚁能获胜？【解析】 许多同学看不出这是一笔画问题，但利用一笔画的知识，能非常巧妙地解答这道题.这道题只要求爬过所有的棱，没要求不能重复.可是两只蚂蚁爬速相同，如果一只不重复地爬遍所有的棱，而另一只必须重复爬某些棱，那么前一只蚂蚁爬的路程短，自然先到达D点，因而获胜.问题变为从B到D与从E到D哪个是一笔画问题.图中只有E，D两个奇点，所以从E到D可以一笔画出，而从B到D却不能，因此E点的蚂蚁获胜.【答案】E点的蚂蚁获胜.【作业7】 下图是一个街区街道的平面图.邮递员从邮局出发，跑遍所有街道投送信件.请你为他安排一条最短的路线，并按图中标出的千米数算出这条路线的长度（单位：千米）. 2 1 2 2邮局 2113
