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1、现代经济学的数学基本知识现代经济学的数学基本知识 u 商品空间上的拓扑 u 映射与函数 u 连续性原理 u 隐函数存在定理 u 集值映射 u 二元关系 2 闭球B(x,r) 点集：商品空间 中的向量也叫做点， 的子集叫做点集。 开球： 闭球： 开集：能够表示成若干个开球的并的点集，叫做开集。易证： 空集 和全空间 都是开集，任意个开集的并是开集，有限个 开集的交是开集。 拓扑：由 的一切开集组成的集族，叫做空间 上的拓扑。 闭集：能够表示成某个开集的余集的点集，叫做闭集。易证： 空集 和全空间 都是闭集，任意个闭集的交是闭集，有限个 闭集的并是闭集。 一、一、商品空间上的拓扑商品空间上的拓扑
2、开球B(x,r) 开集 X 任何两个开球 的交都是开集 3 内点： 点 x 叫做集合 X 的内点， 是指存在实数 r 0 使得以 x 为中心、r 为半径的开球 B(x,r) 包含在 X 中。 内部：集合 X 的内点的全体叫做 X 的内部，记作 int X 或 X 。 可以证明： X 是包含在 X 中的最大开集； X 是开集 当且仅 当 X = X 。 邻域：我们把以 x 为内点的集合叫做 x 的邻域。 可以证明： x 的任何两个邻域的交仍然是 x 的邻域。 ( (一一) ) 内点与邻域内点与邻域 内点 一、一、商品空间上的拓扑商品空间上的拓扑 邻域U 邻域V 4 ( (二二) ) 闭包与边界闭
3、包与边界 X 一、一、商品空间上的拓扑商品空间上的拓扑 附贴点：点 x 叫做集合 X 的附贴点，是指以点 x 为中心的任 何开球 B(x,r)(r 0) 都与 X 相交。 闭包：X 的附贴点的全体，叫做 X 的闭包，记作 cl X 或 。 可以证明： 是包含X 的最小闭集；X 是闭集当且仅当 。 边界：集合 叫做 X 的边界。 可以证明：X 是闭集 当且仅当 X 包含着它的边界。 附贴点 5 ( (三三) ) 拓扑拓扑子空间子空间 一、商品空间上的拓扑 l子空间：赋予相对拓扑的点集 X，叫做 的拓扑子空间。 所谓子空间 X 上的相对拓扑，是指由 X 与 的开集之交所构 成的集族 (X ) =
4、X U : U 是 的开集。 (X )中的集合就叫做 X 的开集，也叫做相对开集。 相对开集在 X 中的余集，叫做 X 的闭集，或称相对闭集。 显然， X 的子集 M 是相对闭集当且仅当 M 是 X 与 的某个 闭集的交集。 例：半开半闭区间(1,2既不是 实数直线 R 中的闭集，也不是 R 中的开集。 但在子空间(0,2 中，(1,2是相对开集，这是因 为(1,2 = (0,2(1,3)。 M 6 ( (四四) ) 连通集连通集( (连通空间连通空间) ) 一、一、商品空间上的拓扑商品空间上的拓扑 连通集：赋予相对拓扑后，不能表示成为两个非空且不相交 的相对开集之并的子空间，叫做连通子空间或
5、连通集。 可以证明：对于点集 X 来说， lX 连通当且仅当X 不能表示成两个非空且不相交的相对闭 集之并。 lX 连通当且仅当不存在满足下述条件的集合 A 与B： X = AB，A ，B ，AB = ，AB = AB X 不连通 CD X 连通 7 ( (五五) ) 有界集与紧集有界集与紧集 一、一、商品空间上的拓扑商品空间上的拓扑 X 下有界： (aR )(xX )( x a )。 X 上有界： (bR )(xX )( x b )。 X 有界： X 既下有界，又上有界。 X 的开覆盖UttT：UttT 是 的开集族，并且 X tT Ut。 紧集 X：是指 X 的任何开覆盖都有有限子覆盖。
6、n定理 设 。X 是紧集当且仅当 X 是有界闭集。 X 下有界 X 上有界 X 的开覆盖 8 ( (六六) ) 凸集凸集 一、一、商品空间上的拓扑商品空间上的拓扑 凸集：点集 X 叫做是凸集，是指 X 中任何两点之间的连线都 在 X 中，即(x, yX )(t0, 1)(t x+(1-t ) y X )。 凸紧集：既是凸集，又是紧集的集合叫做凸紧集。 凸紧集在经济分析中相当有用！ 凸包：X 的凸包是空间 中包含 X 的最小凸集，记作 co X 。 X 是凸集 X 不是凸集 X 的凸包 co X 9 (七) 一些重要事实 一、一、商品空间上的拓扑商品空间上的拓扑 n定理 设 。 int X X
7、cl X 。X 是开集 X = int X 。X 是闭集 X = cl X 。 int X 是包含在 X 中的最大开集，cl X 是包含X 的最小闭集。 X 是闭集 X 中任何收敛点列的极限都仍在 X 中。 X 连通 不存在满足下述条件的集合 A 与B： X 是紧集 X 是有界闭集。 X 是紧集 X 是闭集且 X 中的任何序列都有收敛子序列。 X 是紧集 X 的任何具有有限交性质的相对闭集族都具有非 空的交。 W集族的有限交性质：集族中任何有限个集合的交集都非空。 10 二、二、映射与函数映射与函数 n假定 X 和 Y 为两个任意给定的集合。 l映射 f : X Y 是从 X 到Y 的一种对应
8、关系：对于X 中的任一 元素x，Y 中都有唯一的元素 y与之对应(这个元素 y 通常记作 f (x)。X 叫做 f 的定义域，Y 叫做 f 的值域。 图像：G( f ) = (x, y)X Y : y = f (x) 叫做映射 f 的图像。 像或值集：集合 f M = f (x): xM 叫做 M ( X )在 f 下的像或值集。 原像：集合 f K = x X : f (x)K 叫做 K ( Y )在 f 下的原像。 f : X Y -1 l若 f 是从 X 到 Y 的映射，则 f 也是从 X 到 f X 的映射。 l函数：取值为实数的映射，叫做函数。即 f : X Y 为函数是 指Y R(
9、也即 f M R)。 X Y 11 ( (一一) ) 几类典型的映射几类典型的映射 二、二、映射与函数映射与函数 单射 f : X Y：把不同的点映射成不同的点，即 (x, yX ) ( ( x y ) ( f ( x) f ( y) ) 满射 f : X Y：Y = f X ，即 (yY )(xX ) ( y = f ( x) )。 双射 f : X Y：f 既是单射，又是满射。也称 f 为1-1对应。 泛函：定义域为(拓扑)向量空间，取值为实数的映射。 线性泛函：保持线性运算的泛函 f : V R( V 为向量空间)， 即(x, yV )( , R ) ( f ( x+ y) = f (x
10、)+ f ( y) )。 例：任意给定向量 ，定义映射 如下： 。则 f 是线性泛函。 例： 是双射(1-1映射)。 例：f : R 0, 1 ( f (x) = sin x)是满射，但不是单射。 12 道路：对于 x, yX，连接 x 和 y 的道路是一个 连续映射 : 0,1 X 满足 (0) = x 且 (1) = y。 X 道路连通： X 中任何两点都能由道路连接 。 l对于 ，X 道路连通 X 是连通的。 ( (二二) ) 连续映射连续映射 二、二、映射与函数映射与函数 n假定：X 和Y 都是拓扑空间(比如 )，f : X Y。 f 在点 xX 处连续：是指对 f (x)的任何邻域V
11、Y，都存在 x 的 邻域U 使得 f (z)V 对一切 z U 成立。 f 连续：是指 f 在 X 中的任何点处都连续。 lf 连续 Y 中任何开集在 f 下的原像都是开集。 lf 连续 Y 中任何闭集在 f 下的原像都是闭集。 l紧集上的连续函数必有最大值和最小值。 l商品空间 上的任何线性泛函都是连续的。 x y X 道路连通 X 13 l定理中的雅克比矩阵 J (x, y)定义如下： n定理 设函数Fi(x, y)在点 附近连续可微且 ，雅克比矩阵 可逆。则存在 的邻域 和 的领域 ，存在唯一的 映射 (即 )满足： 对任何 xU，都有 ； ； 在U 内连续可微(i = 1,2, n)。
12、 三、隐函数存在定理三、隐函数存在定理 14 四、四、集值映射集值映射 集值映射是取值为集合的映射，反映的是元素与集合之间的 对应关系。这是经济学为自己创造的一种分析工具。 多值函数就是集值映射的一种形式。 带歧视的价值函数也是一种集值映射。 消费预算、需求、供给也都是集值映射，甚至连经济系统 本身也可以看成是一种集值映射。 集值映射在现实生活中也是多见的。比如，消费选择。消费 者往往因为好多西太多而眼花缭乱，做不出唯一的选择：这 件东西好，那件东西也好，买哪一个都行。这样，这件东西 和那件东西都成为他需要且在购买能力之内的商品。这种选 择的不唯一性，是集值映射的一个典型事例。又如，抛物线 y
13、 = 4x 上 y与x的关系 是集值映射。 关于集值映射，讨论起来比单值映射要复杂得多。这里只讨 论与本课程有关的内容：集值映射的连续性。 15 ( (一一) ) 集值映射的概念集值映射的概念 四、集值映射四、集值映射 集映(集值映射)F : X Y：F 是从 X 到幂集P(Y )的映射，即对 任何xX，都有F(x) Y。 对应(correspondence) F : X Y ：是指(xX )(F(x) )。 集合 M ( X ) 在 F : X Y 下的像集 FM ：FM = xM F(x)。 l l看待集映看待集映 F : X Y 的几种不同视角的几种不同视角： X Y F : X Y看成
14、单值映射：F : X P(Y )。 看成集族：F(x)xX 。 看成多值映射：与 x 对应的值不止 一个，把这些值放在一起即形成了 集合 F(x)。 看成乘积集合 X Y 的子集：集值映射 F 与它的图像 G(F ) = (x, y)X Y : yF(x) 之间是1-1对应的，因而可把 F 与其图 像 G(F ) 等同看待。 16 ( (二二) ) 各种类型的集映各种类型的集映 四、集值映射四、集值映射 开集映F : X Y：X 与Y 都是拓扑空间，图像G(F )是开集。 闭集映F : X Y：X 与Y 都是拓扑空间，图像G(F )是闭集。 开集值集映F : X Y：Y 为拓扑空间且xX，F(x)是开集。 闭集值集映F : X Y：Y 为拓扑空间且xE，F(x)是闭集。 紧集值集映F : X Y：Y 为拓扑空间且xE，F(x)是紧集。 凸集值集映F : X Y：Y 为向量空间且xE，F(x)是凸集。 开集
