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1、利润最大化与二次函数二次函数在市场经济的今天,用途特别广泛。利润最大问题,就是一个典型。下面就举例说明。1、住宿问题某宾馆客房部有60个房间供游客居住,当每个房间的定价为每天200元时,房间可以住满当每个房间每天的定价每增加10元时,就会有一个房间空闲对有游客入住的房间,宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用设每个房间每天的定价增加元求:(1)房间每天的入住量(间)关于(元)的函数关系式 (2)该宾馆每天的房间收费(元)关于(元)的函数关系式 (3)该宾馆客房部每天的利润(元)关于(元)的函数关系式;当每个房间的定价为每天多少元时,有最大值?最大值是多少?(2008年贵阳市)分析:因为,每个
2、房间每天的定价每增加10元时,就会有一个房间空闲,现在增加x元,折合个10元,所以,有个房间空闲;空房间数+入住房间数=60,这样第一问就解决了;房间收费数额应该等于房间的定价乘以房间的数量,这样第二问的等量关系也找到了;在解答第三问时,关键是理解利润的意义,利润=每天的房间收费数-每个房间每天支出的各种费用。解:(1)房间每天的入住量(间)关于(元)的函数关系式是:y=60-,(2)宾馆每天的房间收费(元)关于(元)的函数关系式是:z=(200+x)(60-),(3)宾馆客房部每天的利润(元)关于(元)的函数关系式是:W=(200+x)(60-)-20(60-),整理,得:W=-+42x+1
3、0800=-(x2-420x)+10800= -(x-210)2+15210,因为,a=-0,所以,函数有最大值,并且,当x=210时,函数W有最大值,最大值为15210,当每个房间的定价为每天410元时,有最大值,最大值是15210元。2、投资问题例2、随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展,对花木的需求量逐年提高。某园林专业户计划投资种植花卉及树木,根据市场调查与预测,种植树木的利润与投资量成正比例关系,如图12-所示;种植花卉的利润与投资量成二次函数关系,如图12-所示(注:利润与投资量的单位:万元)(1)分别求出利润与关于投资量的函数关系式;(2)如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和
4、树木,他至少获得多少利润?他能获取的最大利润是多少?(2008年南宁市)分析:根据图像和题意知道y1是x的正比例函数,并且知道图像上的一个点的坐标为P(1,2),这样就可以求出正比例函数的解析式;仔细观察抛物线的特点,抛物线经过原点,顶点也在原点,因此,解析式一定是形如y=ax2的形式。解:(1)因为,y1是x的正比例函数,设,y1=kx,因为,图像经过点P(1,2),所以,2=k,所以,利润y1关于投资量的函数关系式是y1=2x,x0;因为,y2是x的二次函数,设,y2=ax2,因为,图像经过点Q(2,2),所以,2=4a,所以,a=,所以,利润y2关于投资量的函数关系式是y2= x2 ,x
5、0;(2)这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木,其中投资花卉x万元,他获得的利润是:y=y1+ y2= x2 +2(8-x)= x2 -2x+16=(x-2)2+14,因为,a=0,所以,函数有最小值,并且,当x=2万元时,函数y有最小值,最小值为14万元;因为,对称轴是x=2,当0x2时,y随x的增大而减小,所以,当x=0时,y有最大值,且为y=(x-2)2+14=16,当2x8时,y随x的增大而增大,当x=8时,y有最大值,且为y=(x-2)2+14=32,所以,当x=8万元时,获得的利润最大,并且为32万元。因此,这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木,他至少获得14万元利润;他能
6、获取的最大利润是32万元。3、存放问题例3、我州有一种可食用的野生菌,上市时,外商李经理按市场价格30元/千克收购了这种野生菌1000千克存放入冷库中,据预测,该野生菌的市场价格将以每天每千克上涨1元;但冷冻存放这批野生菌时每天需要支出各种费用合计310元,而且这类野生菌在冷库中最多保存160元,同时,平均每天有3千克的野生菌损坏不能出售(1)设x天后每千克该野生菌的市场价格为元,试写出与之间的函数关系式(2)若存放天后,将这批野生菌一次性出售,设这批野生菌的销售总额为元,试写出与之间的函数关系式(3)李经理将这批野生茵存放多少天后出售可获得最大利润元?(利润销售总额收购成本各种费用)(08凉
7、山州)分析:因为,该野生菌的市场价格将以每天每千克上涨1元,所以,x天就应该上涨x1=x元;市场价格30元+上涨价=x天后每千克该野生菌的市场价格为元,这样第一问就解决了;销售总额为元应该等于野生菌的价格乘以数量,这样第二问的等量关系也找到了;在解答第三问时,关键是理解利润的意义,利润=销售总额-损坏的野生菌的费用。解:(1)由题意得与之间的函数关系式是:(,且整数);(2)由题意得与之间的函数关系式是:;(3)由题意得:因为,a=-30,所以,函数有最大值,并且,当x=100时,函数W有最大值,最大值为30000,所以,当时,因为,100天160天,所以,存放100天后出售这批野生菌可获得最
8、大利润30000元4、定价问题例4、为了落实国务院副总理李克强同志到恩施考察时的指示精神,最近,州委州政府又出台了一系列“三农”优惠政策,使农民收入大幅度增加.某农户生产经销一种农副产品,已知这种产品的成本价为20元/千克.市场调查发现,该产品每天的销售量(千克)与销售价(元/千克)有如下关系:=280.设这种产品每天的销售利润为(元).(1)求与之间的函数关系式.(2)当销售价定为多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少?(3)如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元/千克,该农户想要每天获得150元的销售利润,销售价应定为多少元? (2008恩施自治州)分析:利润=价格销售数量,
9、这是问题解答的关键。解: y(x20) w(x20)(2x80)2x2120x1600,所以,y与x的函数关系式为:y2x2120x1600 因为,y2x2120x16002 (x30) 2200,因为,a=-20,所以,函数有最大值,并且,当x=30时,函数y有最大值,最大值为200,所以,当x30时,y有最大值200 因此,当销售价定为30元/千克时,每天可获最大销售利润200元. 当y150时,可得方程2 (x30 )2 200150解这个方程,得 x125,x235 根据题意,x235不合题意,应舍去所以,当销售价定为25元/千克时,该农户每天可获得销售利润150元5、补贴问题例5、某
10、市种植某种绿色蔬菜,全部用来出口为了扩大出口规模,该市决定对这种蔬菜的种植实行政府补贴,规定每种植一亩这种蔬菜一次性补贴菜农若干元经调查,种植亩数(亩)与补贴数额(元)之间大致满足如图1所示的一次函数关系随着补贴数额的不断增大,出口量也不断增加,但每亩蔬菜的收益(元)会相应降低,且与之间也大致满足如图2所示的一次函数关系图1x/元50(第25题)1200800y/亩O图2x/元10030002700z/元O(1)在政府未出台补贴措施前,该市种植这种蔬菜的总收益额为多少?(2)分别求出政府补贴政策实施后,种植亩数和每亩蔬菜的收益与政府补贴数额之间的函数关系式;(3)要使全市这种蔬菜的总收益(元)最大,政府应将每亩补贴数额定为多少?并求出总收益的最大值(2008年泰安市)分析:惠农政策是国家的基本政策,能进入中考,是对国家政策的正面宣传。解:1)政府没出台补贴政策前,这种蔬菜的收益额为(元);(2)由题意可设与的函数关系为将代入上式得,得所以种植亩数与政府补贴的函数关系为,同理可得每亩蔬菜的收益与政府补贴的函数关系为, (3)由题意,得:, 所以,当,即政府每亩补贴450元时,全市的总收益额最大,最大为7260000元