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1、1.2 充分条件与必要条件（1） 复习引入 1. 命题： 可以判断真假的陈述句. 可写成：若p,则q. 记做: 2. 四种命题及相互关系： 原命题 若p则q 逆命题 若q则p 否命题 若p则q 逆否命题 若q则p 互逆 互逆 互 否互 否 互为 逆否 2 引例.（1）若xa2+b2, 则 x2ab .（真命题） 可写成： 我们说： “xa2+b2”是“x2ab”的充分条件； “x2ab”是“xa2+b2”的必要条件.而说： 命题（1）的逆否命题： “ 若x2ab，则xa2+b2 . ” （也是真命题） 这就是说， 要使 xa2+b2 成立， 就必须有 x2ab成立. 因此， “x2ab”是“x
2、a2+b2”成立的必要条件. （2）若两三角形全等，则两三角形的面积相等. （真命题） 可写成： 我们说： “两三角形全等”是“两三角形的面积相等”的充分条件； 而说： “两三角形的面积相等”是“两三角形全等”的必要条件. 一般地,如果已知 ,即命题“若p则q” 为真命题， 那么就说，p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件 充分条件与必要条件定义： 说明:（1）上述定义中，“pq” 即如果具备了条件p ，就足以保证q成立，所以称p是q的充分条件. （2）注意条件和结论是相对而言的，由于“pq”的 等价命题是“qp”,即若q不成立，则p不成立， 所以称q 是p成立的必要条件. （3）q 成立
3、时， p可能成立，也可能不成立，即q成 立不保证p一定成立. 5 一般地,如果已知 ,即命题“若p则q” 为真命题， 那么就说，p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件 充分条件与必要条件定义： 两三角形全等是两三角形面积相等的充分条件 两三角形面积相等是两三角形全等的必要条件 例（1） （2）两三角形全等 两三角形面积相等 6 解:命题(1)（2）是真命题，（3）是假命题. 所以命题（1）（2）中的p是q的充分条件. 【说明】p是q的充分条件的前提是命题“若p,则q”为真命题. 如果“若p则q”为假命题，那么由p推不出q, 记作： 此时，我们就说p不是q的充分条件，q不是p的必要条件. 7
4、 解：命题(1)（2）是真命题，（3）是假命题. 所以命题（1）（2）中的q是p的必要条件. 8 2. 充要条件 定义：若既有，又有 记作： 则称 p是 q的充分必要条件，简称充要条件. 一般地,如果已知 ,即命题“若p则q” 为真命题， 那么就说，p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件 1. 充分条件与必要条件定义： 知识小结： 3、由命题的充分条件、必要条件的判断过程 ，可确定：命题按条件p和结论q的充分性、必 要性可分为： 例1 指出下列各组命题中，p是q的什么条件？ （1）p: (x-2)(x-3)=0；q: x-2=0. （2）p: 同位角相等；q: 两直线平行 . （3）p:
5、x=3；q: x2=9 . （4） p: 四边形的对角线相等； q: 四边形是平行四边形 . p是q的必要而不充分的条件. （2）同位角相等两直线平行， p是q的充要条件. （3） x=3x2=9， x2=9x=3， p是q的充分而不必要的条件. （4） 四边形的对角线相等 四边形是平行四边形 四边形是平行四边形四边形的对角线相等 p是q的既不充分也不必要的条件. 由上述命题的充分条件、必要条件的判断过程 ，可确定：命题按条件p和结论q的充分性、 必要性可分为： 解： (1) ab=0 a2+b2=0 即pq 但 a2+b2=0ab=0 即qp p是q的必要非充分条件. 例2. 给出下列各组条
6、件, p是q的什么条件? (1) p: ab=0, q: a2+b2=0; (2) p: xy0， q: |x|+|y|=|x+y|; (3) p: m0, q: 方程x2-x-m=0有实根； (4) p: |x-1|2, q: x2, xy1; q: x1, y1. (2) xy0 |x|+|y|=|x+y|， 即pq 即qp p是q的充要条件. 又 |x|+|y|=|x+y|xy0， (3) m0方程x2-x-m=0有实根， 即pq 但方程x2-x-m=0有实根 m0， 即qp p是q的充分非必要条件. (4) p: x3 , q: x-1 x|x1, y1即qpx+y2, xy1 但 x
7、+y2, xy1x1, y1 即pq 反例：取x=3，y=0.5，则 x+y=3.52，xy=1.51， 但 y=0.52, xy1; q: x1,y1. 练习、以“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、 “充要条件”与”既不充分也不必要条件“中选出适 当的一种填空. （充分不必要条件） （充分不必要条件） （必要不充分条件） （必要不充分条件） （充要条件） （充要条件） （既不充分也不必要条件） 17 紫 P4 例1 紫 P4 变1 例2. 充分条件与必要条件的判断方法： （2）利用命题的对称关系判断：“p q”的 等价命题是“q p”. 即“若q p成立，则p是q的充分条件，q是 p的必
8、要条件” . （1）直接利用定义判断：即“若p q成立， 则p是q的充分条件，q是p的必要条件”. （条件与结论是相对的） （3）利用命题的传递关系判断： “p q且 q r，则 p r”. 则p是r的充分条件，r是p的必要条件”. 从命题角度看 引申 若p则q是真命题,那么p是q的充分条件 q是p的必要条件. 若p则q是真命题，且若q则p为假命题,那么p 是q 的充分不必要条件，q是p必要不充分条件. （四）若p则q，若q则p都是假命题,那么p是q的 既不充分也不必要条件，q是p既不充分也不必 要条件. (三）若p则q,且若q则p都是真命题,那么p是q的 充要条件 从集合角度看 命题“若p , 则q” 引申 紫 P4 变2
