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1、一种科学只有在成功地运用数学时,才算达到完善的地步 切莫忘，几何代数统一体，永远联系，莫分离数形结合百般好，隔离分家万事休，数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞？ 3.1.1方程的根与 函数的零点 数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞？数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞？数形结合百般好，隔离分家万事休，切莫忘，几何代数统一体，永远联系，莫分离 一种科学只有在成功地运用数学时,才算达到完善的地步 数缺形时少直观，形少数时难入微， 数形结合百般好，隔离分家万事休，数缺形时少直观，形少数时难入微，数缺形时少直观，形少数时难入微， 学习目标 1.通过二次函数的图像，了解二次函数与一元二 次方程的关系，能判
2、断一元二次方程根的存在性 及根的个数； 2.了解函数的零点与方程根的联系，能利用函数 零点与方程根的关系确定方程根的个数。 问题探究 今天我们可以从教科书中了解各 式各样方程的解法，但在数学发展史 上，方程的求解却经历了相当漫长的 岁月. 我国古代数学家在约公元50年 100年编成的九章算术，给出了求 一次方程、二次方程和三次方程根的 具体方法 花拉子米(约780约850) 给出了一次方程和二次方 程的一般解法。 阿贝尔(18021829)挪威数学家. 证明了五次以上一般方程没有求 根公式。 卡尔达诺，意大利数学家，他第一个发 表了三次代数方程一般解法的卡尔达诺 公式，也称卡当公式（解法的思路
3、来自 塔塔利亚，两人因此结怨，争论多年）。 他的学生费拉里第一个求出四次方程的 代数解。 韦达是法国十六世纪最有影响的数学家之 一。第一个引进系统的代数符号，并对方 程论做了改进。韦达讨论了方程根的各种 有理变换，发现了方程根与系数之间的关 系即“韦达定理” 。 方程x22x+1=0 x22x+3=0 y= x22x3 y= x22x+1函数 函 数 的 图 象 方程的实数根 x1=1,x2=3x1=x2=1 无实数根 函数的图象 与x轴的交点 (1,0)、(3,0)(1,0)无交点 x22x3=0 x y 01 321 1 2 1 2 3 4 . . . . . . . . . x y 0
4、1 321 1 2 5 4 3 . . . . . y x 01 21 1 2 y= x22x+3 问题探究 问题2 求出表中一元二次方程的实数根，画 出相应的二次函数图像的简图，并写出函数 的图象与x轴的交点坐标 方程ax2 +bx+c=0 (a0)的根 函数y= ax2 +bx +c(a0)的图象 判别式 = b24ac 0=00 函数的图象 与 x 轴的交点 有两个相等的 实数根x1 = x2 没有实数根 x y x1 x20 x y 0 x1 x y 0 (x1,0) , (x2,0)(x1,0) 没有交点 两个不相等 的实数根x1 、x2 问题3 若将上面特殊的一元二次方程推广到一般
5、的 一元二次方程及相应的二次函数的图象与x轴交点的 关系，上述结论是否仍然成立？ 1.方程根的个数就是函数图象与x轴交点的个数。 2.方程的实数根就是函数图象与x轴交点的横坐标。 结论 对于函数y=f(x), 叫做函数 y=f(x)的零点。 方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图象与x轴有交点 函数y=f(x)有零点 函数函数的的零点定义：零点定义： 等价关系等价关系 使f(x)=0的实数x 辨析 : 函数的零点是不是交点？ 概念形成 2 -2和7 1 示例练习 零点的求法（零点的求法（1 1 ） 代数法 问题4 如图是某地从0点到12点的气温变化图， 假设气温是连续变化的，请将图形补
6、充成完 整的函数图象。这段时间内，是否一定有某 时刻的气温为0度？为什么？ 问题探究 结论 x y 0 0 y x 0 y x 0 y x 如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象是连续不断 的一条曲线，并且有f(a)f(b)0,那么，函数y=f(x) 在区间(a,b)内有零点，即存在 使得 f(c)=0,这个c也就是方程f(c)=0 的根。 x y 0 思考1：函数y=f(x)在区间a,b上的图 象是一条连续不断的曲线，若函数 y=f(x)在区间(a, b)内有零点，一定能 得出f(a)f(b)0的结论吗？ 结论：函数y=f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条 曲线： （1）f(a)f
7、(b)0 函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点； （2）函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点 f(a)f(b)0 。 思考2：如果函数 y=f(x) 在a,b上是连续的 单调函数, 并且在闭区间的两个端点上的函数 值互异即f(a)f(b)0, 那么这个函数在(a,b) 内的零点个数能确定吗？ 由表3-1和图3.13可知 f(2)0， 即f(2)f(3)0,f(1.5)=2.8750, 所以f(x)=x33x+5在区间(1, 1.5) 上有零点。又因为f(x)是(,） 上的减函数，所以在区间(1, 1.5)上有 且只有一个零点。 x y 0 1 321 1 2 5 4 3 . . . .
8、 . . . . . . 零点的求法（零点的求法（2 2 ） 图像法 问题6. 练习2 ： 1 问题7.已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0. (1)若方程有两根，其中一根在区间(1,0)内， 另一根在区间(1，2)内，求m的范围. (2)若方程有一个根在(0,2)内,求m的范围. (3)若方程有一个根比2大,另一个根比2小,求m范围. (4)若方程两根均在区间(0，1)内，求m的范围. 【变式引申】 解：(1)条件说明抛物线f(x)=x2+2mx+2m+1与 x轴的交点分别在区间(1，0)和(1，2)内， 画出示意图，得 . 问题7：已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.
9、 (2)若方程有一个根在(0,2)内,求m的范围. (3)若方程有一个根比2大,另一个根比2小,求m范围. (4)若方程两根均在区间(0，1)内，求m的范围. 解:由题意得:f(0)f(2)0 即(2m+1)(6m+5)0 解得: 问题7：已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0. (3)若方程有一个根比2大,另一个根比2小,求m范围. (4)若方程两根均在区间(0，1)内，求m的范围. 解:由题意得:f(2)0 即6m+50 解得: 问题7：已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0. (4)若方程两根均在区间(0，1)内，求m的范围. 解:由题意得: 解得: 对于函数y=f(x)
10、, 叫做函数 y=f(x)的零点。 方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图象与x轴有交点 函数y=f(x)有零点 函数函数的的零点定义零点定义 ： 等价关系等价关系 使f(x)=0的实数x 如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象是连续不断 的一条曲线，并且有f(a)f(b)0,那么，函数y=f(x) 在区间(a,b)内有零点，即存在 使得 f(c)=0,这个c也就是方程f(c)=0 的根。 零点存在定理 函数y=f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线： （1）f(a)f(b)0 函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点； （2）函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点 f(a)f(b)0 。 三个结论： （3）如果函数 y=f(x) 在a,b上是连续的单调函数, 且f(a)f(b) 0, 那么这个函数在(a,b)内的零点个数 是唯一的。 零点的求法 代数法和图象法 函数零点方程根， 图象连续总有痕。 数形本是同根生， 端值计算是根本。 借问零点何处有， 端值互异零点生。 温 馨 提 示 作业：作业本 设计思路 基于数形结合思想 基于数学文化 谢 谢， 再 见！
