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1、第十章 圆锥曲线方程 1 6 1 心得体会 证: 设A( x1,y1) ,B(x2,y2) ,Q(x,y) , 由题意知 P A A Q = P B Q B , 设A在P,Q之间,P A =A Q ( 0) , 又Q在P,B之间, 故P B =-B Q , 因为 P B B Q , 所以00) 过点M(2,1) , 且左焦 点为F1(- 2, 0). ( 1) 求椭圆C的方程; ( 2) 当过点P(4,1) 的动直线l与椭圆C相交于两不同点A,B时, 在线段 A B上取点Q, 满足|A P | |Q B |=|A Q | |P B | .证明: 点Q总在某定直线上. 【 分析】 用待定系数法求
2、解椭圆的方程, 巧妙地利用定比分点解答点Q的轨迹问题. 【 解析】 ( 1) 由题意知 c 2=2 2 a 2+1 b 2=1 c 2= a 2- b 2 , 解得a 2=4, b 2=2, 所求椭圆方程为x 2 4+ y 2 2=1 . 图 1 0 - 3 0 ( 2) 如图1 0-3 0所示, 设A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,Q(x,y) , 由题意知 P A A Q = P B Q B , 不妨设A在P,Q之间,P A =A Q ( 0) , 又Q在P,B之 间, 故P B = -B Q , 因 为 P B B Q , 所以0 0 (),如图1 0-3 1所示, 作辅助线, 设
3、A x 1,y1 ( ), B x2,y2(), 易知R t F M RR t AH B, 所以 F R A B = FM AH = A F-B F 2 x1-x2 = A F-B F 2x1-x2 () 由定义知A F+A F =2a, 从而A F-A F = A F 2- A F 2 2a =( x1+c) 2+ y 2 1- ( x1-c) 2+ y 2 1 2a = 2e x1. + 2 得A F=a+e x1, 同理B F=a+e x2. -得A F-B F=ex1-x2( ), 代入式() 得 F R A B = ex1-x2() 2x1-x2 =e 2 . 类比椭圆, 在双曲线中
4、有 F R A B =e 2 . 第十章 圆锥曲线方程 1 6 3 心得体会 图 1 0 - 3 2 在抛物线中, 设抛物线方程为y 2=2 p x p 0 (), 如图1 0-3 2 所示, 作辅助线方法同椭圆中, 得 F R A B = A F-B F 2AH = A F-B F 2A S-B T = A F-B F 2A F-B F =1 2 . 即 F R A B =1 2= e 2( 抛物线离心率为1 ). 【 例1 0 . 5 5】 (2 0 1 0 全国 理,1 2) 已知椭圆C: x 2 a 2+y 2 b 2=1 ab0()的离心率为 3 2 , 过右焦点F且斜率为k k0(
5、)的直线与C相交于A,B两点, 若A F =3F B, 则k= ( ). A . 1B . 2C . 3D . 2 图 1 0 - 3 3 【 解析】 如图1 0-3 3所示, 不妨设A F =3, 则F B =1,MF =1, R F =e 2 A B= 2e= 3, 在R t F MR中,k= t a n R F M = RM F M = 3 - 1 1 = 2 .故选B . 【 评注】 若l A B的倾斜角为, 且A F = F B 0( ), 则c o s= -1 e+1() . 【 变式1】 (2 0 0 9全国理,1 1) 已知双曲线C: x 2 a 2- y 2 b 2= 1a
6、0, b 0()的右焦点为F, 过 F且斜率为3的直线交C于A,B两点, 若A F = 4 F B , 则C的离心率为( ). A . 6 5 B . 7 5 C . 8 5 D . 9 5 图 1 0 - 3 4 【 变式2】 (2 0 1 0全国理,1 6) 已知F是椭圆C的一个焦点, B 是短轴的一个端点, 线段B F的延长线交C于点D, 且 B F =2F D, 则C 的离心率为 . 【 变式3】 (2 0 0 7重庆文,2 1) 如图1 0-3 4所示, 倾斜角为的直 线经过抛物线y 2=8 x的焦点F, 且与抛物线交于A,B 两点. ( 1) 求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程;
7、 ( 2) 若为锐角, 作线段A B的垂直平分线m交x轴于 点P, 证明:F P-F Pc o s 2为定值, 并求此定值. 模型二: 三大圆锥曲线中( 双曲线需同支) , 设过焦点F且不平行于焦点所在坐标轴的弦 为A B, 则 1 A F + 1 B F 为定值4 L ( L为通径长). 证: 设椭圆x 2 a 2+ y 2 b 2=1ab0 (), 如图1 0-3 5所示, 过点F作lx轴于点F, 过点 A,B分别作AH1,BH2垂直于l于点H1,H2, 设A x1,y1( ), B x2,y2( ), lA B的 倾斜角为, 不妨设x20, 直线l经过C1的焦点, 依次交C1,C2于A,
8、B, C,D四点, 则A B C D 的值为( ). A .p 2 4 B .p 2 3 C .p 2 2 D .p 2 图 1 0 - 3 7图 1 0 - 3 8 模型二的推广: 三大曲线( 椭圆、 双曲线( 同支) 、 抛物线) 中, 设Pi( i=1,2, ,n,n, n2) 为曲线上的动点, 点F为曲线的焦点, 且线段F P1,F P2, ,F Pn把圆周角F分成 n等份, 则 n i=1 1 F Pi 为定值, 2n L ( L为通径长). 证:对于椭圆x 2 a 2+ y 2 b 2=1ab0 (), 由题意可设 1=x +F P 1=, 则 i=x +F P i=+ 2i-1(
9、 ) n i=1,2, ,n(), 且由模型一知 1 F Pi = 1-ec o si b 2 a i=1,2, ,n( ), 所以 n i=1 1 F Pi = n i=1 1-ec o si b 2 a = n a b 2-c b 2 n i=1 c o si(). 因为 i=+ 2i-1( ) n , 所以单位向量 F Pi F Pi 的终点均匀分布在以F为圆心 的单位圆上, 所以 n i=1 F Pi F Pi =0(). ( 证明: 可把 F Pi F Pi 逆时针旋转2 n , 则式() 左边不变, 其右边只能为0). 所以 n i=1 c o si,s i ni( )=0, 即有
10、 n i=1 c o si=0, 代入式() 得 n i=1 1 F Pi = n a b 2-c b 20= n a b 2为定值. 类比椭圆, 在双曲线( 同支) 中, 仍有 n i=1 1 F Pi = n a b 2. 对于抛物线y 2=2 p x p0 ( ), 设 1=x +F P 1=, 则i=x +F P i=+ 2i-1() n i=1,2, ,n( ), 新课标高考数学题型全归纳 1 6 6 心得体会 由模型一中知 1 F Pi = 1- c o si p , 所以 n i=1 1 F Pi = n i=1 1- c o si p =n p -1 p n i=1 c o s
11、i, 由中证明知 n i=1 c o si=0, 代入上式得 n i=1 1 F Pi =n p 为定值. 【 评注】 上述结论可统一为 n i=1 1 |F Pi|= 2n L ( L为通径长). 【 例1 0 . 5 7】 (2 0 0 7重庆理,2 2) 在椭圆 x 2 3 6+ y 2 2 7=1上任取三个不同的点 P1,P2,P3, 使 P1F P2=P2F P3=P3F P1, 其中F为右焦点, 求证: 1 F P1 + 1 F P2 + 1 F P3 为定值, 并求此定值. 【 解析】 解法一: 设椭圆的右顶点为A, 以F为极点, A F的延长线为极轴, 建立极坐标 系, 并设A F Pi= ii=1,2,3 ( ), 0ib0 ( ) . 设P x0, y0 ( ), A x1,y1( ), B x2,y2( ) . 令x0=ac o s, y0=bs i n,A ac o s,bs i n ( ), B ac o s , bs i n ( ) . 则kA B=b s i n-bs i n ac o s-ac o s =b a 2 c o s + 2 s i n - 2 -2 s i n + 2 s i n - 2 =-b ac o t + 2 (). 同理, kP A=-b ac o t + 2 , kP B=-b ac o t
