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1、1-3 纠缠态(Entangled state) 我侬词 你侬我侬,忒煞情多; 情多处,热如火: 把一块泥,捻一个你,塑一个我。 将咱两个一齐打破,用水调和; 再捻一个你,再塑一个我。 我泥中有你,你泥中有我: 我与你生同一个衾,死同一个椁。 元初的中国书画大家赵孟頫的妻子管道升做词 -纠缠的强烈关联性 卜算子 李之仪仪 (北宋) 我住长江头, 君住长江尾。 日日思君不见君, 共饮长江水。 此水几时休, 此恨何时已。 只愿君心似我心, 定不负思量意。 -纠缠的非定域性 1-3 纠缠态(entangled state) 纠缠态是近几年来在量子力学文献中经常出现的一 个词汇,是比较热门的课题。量子
2、纠缠是存在于多粒 子系量子系统的一种奇妙现象,即对一个子系统的 测量结果无法独立于其它子系统的测量参数。 在量子信息学中,量子纠缠态扮演着极为重要的作用。 一、纠缠态与EPR佯谬 v1.1935年Schrodinger在“薛定谔猫态”一文中最先 给出纠缠态的概念。 v2.1935 年爱因斯坦(Einstein),波多尔斯基 (Podolsky),罗森(Rosen)为了说明量子力学波函 数描述物理现象时的不完备性提出了著名爱因斯坦 波多尔斯基罗森佯谬,即EPR 佯谬。 v 薛定谔猫态: EPR 佯谬: 爱因斯坦等人在论文中提出如下一个量子态: 其中x1, x2 分别表示2 个粒子的坐标,这样一个
3、量子态 基本特征是它不可以写成两个子系统量子态的直积形式: 薛定谔将这样的量子态称为纠缠态。爱因斯坦等人提 出纠缠态的目的意在说明在承认定域性和实在性的前 体下,量子力学的描述是不完备的。 v3.1951年Bohm将爱因斯坦等人的EPR问题 简化,研究了自旋S=1/2的两粒子之间的自旋 纠缠态: 指出:当两个粒子无限远离时,对其中一个粒子的 测量结果,不会影响到对另一个粒子的测量。而量 子理论表明二者之间存在着非定域的纠缠关联,从 而证明量子力学理论是不完备的。 v4. 1964年Bell用基于EPR观点而发展的定域 隐变量理论研究了S=1/2二粒子系的自旋沿空 间任意两个方向a和b 的投影
4、的纠缠 关联,提出了著名的Bell不等式: 其中: P是交换算符: vBell不等式并不是对所有的方向都是成立的, v这说明量子力学结果与隐变量理论是不相容 的。哪种理论正确呢? v1982年阿斯普克特(Aspect)通过对两光子 v偏振态的实验测量证实了它们的相关程度, 确实超出了贝尔不等式容许的范围,表明量 子非局域纠缠确实是存在的。 v5. 1993年Bernett等人提出了利用纠缠态远程传送 一个量子信息的方案; v6.1996年物理学家在介观尺度上成功实现了 Schrdinger猫态;不久奥地利的Zeilinger研究组 和意大利的一个研究组分别在实验上利用孪生光子 ,对偏振纠缠态成
5、功的实现了一个光子纠缠态的远 程传送。 v7.在1999 年,Aspect 在著名杂志Nature上发 表文章,对近几十年的实验进展专门做了回顾,奥 地利的Zeilinger 小组以及旅美华人科学家史砚华 、区哲宇等人,在Bell 不等式的实验检测方面都开 展了卓有成效的工作。 v8.近年来,我国科学家潘建伟教授领导的实验小组 成功实现了三光子,四光子纠缠态,并利用多粒子 纠缠态成功实现了GHZ定理的实验验证,短短几年 间该实验小组取得了六个世界首次,为我国在量子 信息研究方面做出了杰出的贡献。 纠缠态的成功应用不仅仅在于检测基本理论的完备 性。以后的科学家围绕EPR佯谬做出了许多工作,将 它
6、推广为说明客观事物同时既在此又在彼,或者你中 有我,我中有你的纠缠性,从而提出量子纠缠是量子 力学现象所特有的特性之一,将其发展成为量子信息、 量子计算等学科建立和发展的最基本的概念。 两个自旋为1/2的粒子组成的体系的自旋态可以用 自旋角动量的耦合表象与非耦合表象描述: 二、可分离态、纠缠态、Bell基 自旋为1/2的粒子,它的两个自旋态可用Sz的本征值表示: 以两个自旋为1/2的粒子组成的体系为例进行讨论 )来标记。 ( 两个自旋为1/2的粒子组成的体系的自旋态可以用 自旋角动量的耦合表象与非耦合表象描述: A粒子的本征态 B粒子的本征态 A+B体系的本征态 非耦合表象: 或形象的表示为:
7、 以上四个本征态都是两个单粒子自旋态的直积形式, 是可分离态,不是纠缠态。 1.分离态:能够表示为两个单粒子自旋态的直积形式。 耦合表象:A,B耦合的角动量 本征态取 表示为基矢的表象,用 自旋单态单态 自旋三重态态 将 用非耦合表象的基矢做展开 (表示成非耦合表象基矢的线性组合) 1 2. 3. 4. 将 用非耦合表象的基矢做展开 S=0 S=1 S=1 S=1 1 2. 3. 4. S=0 S=1 S=1 S=1 从波函数的直观观形式上看, 可以看作是两个单单粒 子自旋态直积形式的线性组合,纠缠态;可以看作 是两个单粒子自旋态的直积形式,非纠缠态。 2.纠缠态:不能够表示为两个单粒子自旋态
8、的直积形式。 因此,角动量耦合并不等同于纠缠,这只是从形式上看出 的,并没有给出纠缠态的严格定义。下面,利用约化密度 矩阵的性质给出纠缠态的定义。 对于(A+B)组成的复合体系,与子体系A对应的约化密度矩 阵: 若 ,则该体系对应的态是纯态; 若 ,则该体系对应的态是混和态(纠缠态)。 以自旋单态单态为为例,相应应的密度算符为为 对于A+B体系,是一个纯态的密度矩阵。对于复合体系的 子体系(A体系),其约化密度矩阵为: 是粒子B的本征态, ( ) 混和态的密度矩阵 同理, 混和态的密度矩阵 纯态的密度矩阵 纯态的密度矩阵 纠缠态的定义P37 对一个多粒子体系的量子态,若它的子体系相应的约化密
9、度矩阵是混和态密度矩阵,则为纠缠态;若它的子体系相 应的约化密度矩阵是纯态密度矩阵,则为非纠缠态。 3. 4. 1 2. 纠缠态 纠缠态 纯态 纯态 若把 线线性叠加,可以构成两粒子体系的另外的两个 纠缠态: 的基矢不完全相同。P37 这四个纠缠态,叫做Bell基,和耦合表象 四个纠缠态: 1 2. 纠缠态 纠缠态 3,4 把 ,两个态态用表示,则则4个Bell基可以表示为为: 4个Bell基都是纠缠态,如果让两个粒子分离,分别处于 空间不同地点,并对其中一个粒子进行局域性测量自旋, 则是一个非完备测量,对其测量的结果应该用约化矩阵, ,这是一个混和态。测量该粒子的自旋沿任何方向 分量时, 因
10、此可以用来解释EPR佯(yang)谬。 值均可出现,而且概率相同(均为1/2)。 三、纠缠态的本质、特征与重要性 v1.本质: 对量子纠缠本质的理解,可以从以下几个方面综合考虑: 1)从量子信息的角度:纠缠的本质是关联的量子信息。 2)从实验观测角度:纠缠的本质是超空间的关联塌缩。 3)从理论分析的角度:纠缠的精髓是和关联空间非定域性的 等价性。 4)从隐变数角度:两体存在纠缠的充要条件是两个粒子之间 不容许存在任意的相对位相差而不改变系统的状态。 纠缠关联的存在使隐变量理论不能成立。 三、纠缠态的本质、特征与重要性 v2.特征: 关联塌缩,对各个粒子分别做测量时表现为各个粒子状态 塌缩结果存
11、在关联。 v3.重要性: 1)在测量塌缩中,它们表现出一种非定域的超空间的关联, 并且成为调控和传递量子信息的重要手段。 2)量子系统和环境之间发生的难以避免的量子纠缠造成量子 态的退想干,这是量子信息丧失的主要方式。 四、纠缠态的应用 v1量子纠缠态在量子通信中的应用 v纠缠态不仅对了解量子力学的基本概念有重要的意义,近年 来已在一些前沿领域中得到广泛的应用。 v(1) 纠缠态作为量子密码的传输载体可以实现不可破译,不 可窃听的保密通讯,其安全性是其物理定律本身决定的。 v(2) 应用EPR态可用来传送未知的量子态,其原理是通过有 经典通道传送到接收者,后者根据这个经典信息,对另一个 有量子
12、通道传送来的EPR粒子进行幺正变换,这个粒子便可 被制备到待传送的未知态上,原始粒子的量子态则被破坏掉 ,这就是所谓的量子远距传输。 四、纠缠态的应用 v2 极化电子束双缝干涉的纠缠态分析 v量子双缝干涉实验直观表现了电子的波动性,我们虽然明确 了电子是一个实物粒子,但是在此实验中,我们却不能确定 电子所经过的路线,即不可能知道电子是穿过哪一条缝而到 屏上的,因此这让我们很难用经典物理的思维去理解,这恰 恰显示出纠缠态在其中不可替代的作用。 1-4 量子态态的测测量 Wigner函数 在经典力学中,一个粒子运动状态可以用相空间中的一个点描述, 即用它在任一时刻的坐标和动量来确定。在量子力学中,
13、粒子具有 波、粒二象性,一个体系的量子态,是用Hilbert空间中的一个波函 数描述的。若选取一个具体的表象,则用态矢沿基矢方向的分量来 描述。例如:取x表象,波函数 在x表象中的分量为: 量子态包含了体系的全部信息。那么,量子态能否进行测量呢? 在量子力学中,单个的量子态是不能进行测量的。但是,对于在相 同实验条件下制备出来的粒子组成的一个系综而言,量子态是可以 测量的。 近年来,量子态测量的实验工作,已取得一些重要进展。 现在,对量子态的测量,主要是测量与波函数或密度矩阵 等价的Wigner函数。Wigner函数是相空间中的一个实函 数,具有准概率分布函数的性质。 与量子态 或密度算符 等价的Wigner 函数定义如下(以一维粒子为例分析): 用动量空间的波函数表示 Wigner函数的性质质: 1. 是相空间的一个实函数 2 .具有准概率分布的含义义 粒子在动量空间的概率分布密度 P67 粒子在坐标空间的概率分布密度 3 力学量的平均值值可用Wigner函数计算 与直接用坐标表象中的波函数计算 的平均值的 公式一致。 4. 可取正值值,也可取负值负值 ,对对于准经经典态态 基态 第一激发态 练习:画出一维谐振子的wigner函数图像 第二激发态 第三激发态