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1、2011级研究生“有限元法”课程理论作业仲健林 3110121191已知平面应力问题下三节点三角形单元的节点坐标、和；单元的节点位移分量、；材料弹性模量，泊松比。试求：（1）单元的形函数，和；（2）单元内应变和应力分量？ 解：(1) A=121xiyi1xjyj1xmym=12160185134=232ai=xjym-xmyj=84-35=17bi=yj-ym=5-4=1 ci=xm-xj=3-8=-5aj=xmyi-xiym=30-64=-24bj=ym-yi=4-0=4 cj=xi-xm=6-3=3am=xiyj-xjyi=65-80=30bm=yi-yj=0-5=-5 cm=xj-xi=
2、8-6=2单元的形函数为Ni=12Aai+bix+ciy=12317+x-5yNj=12Aaj+bjx+cjy=123-24+4x+3yNm=12Aam+bmx+cmy=12330-5x+2y(2) B=BiBjBm=12Abi00cicibibj00cjcjbjbm00cmcmbm =123100-5-51400334-50022-5又e=uiviujvjumvmT=1 0 1 0 0 0T由=Be得=123100-5-51400334-50022-51 0 1 0 0 0T=12350-2x=523 y=0 xy=-223由Si=E21-2Abicibici1-2ci1-2bi可得S=E2
3、31-21-5-5-5(1-)21-243433(1-)22(1-)-52-521-5(1-)2 =Se =E231-21-5-5-51-21-2434331-221-52-521-51-2101000 =E231-255-1即x=5E231-2 y=5E231-2 xy=-E231+2图示为一个三个节点的杆单元，为坐标原点，其位移模式取为。设其为常数，试求其单元的刚度矩阵。O123L/2L/2x解：u1=C1-C2L2+C3L24 u2=C1 u3=C1+C2L2+C3L24可求得：C1=u2 C2=u3-u1L C3=2u1-4u2+2u3L2上述三式代入 U=C1+C2x+C3x2 并整
4、理得：U=2x2L2-xLu1+1-4x2L2u2+2x2L2+xLu3则 N1=2x2L2-xL N2=1-4x2L2 N3=2x2L2+xLU=N1N2N3u1u2u3T=Nd由 =dudx=ddxNd=Bd 得 B=4xL2-1L-8xL24xL2+1L 单元的刚度矩阵K=VBTEBdV=-L2L24xL2-1L-8xL24xL2+1LE4xL2-1L-8xL24xL2+1LAdx=EA3L7-81-816-81-872134PyxaaABijmijm3已知图示正方形薄板的边长为，厚度为，弹性模量为，泊松比。现将其分成两个三角形单元，设节点2、3和4为不动点，在节点1处受到向上的集中载荷
5、P。试求节点位移，支座反力以及单元A和单元B内的应力？解：如图建立坐标系。对于单元A：i(0,a)，j(0,0)，m(a,0)，A=12a2bi=yj-ym=0-0=0 ci=xm-xj=a-0=abj=ym-yi=0-a=-a cj=xi-xm=0-a=-abm=yi-yj=a-0=a cm=xj-xi=0-0=0由 krs=Et41-2Abrbs+1-2crcsbrcs+1-2crbscrbs+1-2brcscrcs+1-2brbs 可得kA=Et21-21-2001-1-2-1-2-101-20-1-2-1-2-13-21+21+23-2-1-1-2-1-201-20-1-1-2-1-2
6、1oo1-2对于单元B：i(a,0)，j(a,a)，m(0,a)，A=12a2bi=yj-ym=a-a=0 ci=xm-xj=0-a=-abj=ym-yi=a-0=a cj=xi-xm=a-0=abm=yi-yj=0-a=-a cm=xj-xi=a-a=0同理可得kB=Et21-21-2001-1-2-1-2-101-20-1-2-1-2-13-21+21+23-2-1-1-2-1-201-20-1-1-2-1-21oo1-2 整体刚阵K=K0+A+B=Et21-23-2003-2-1-1-2-1-2-1-1-2-1-23-21+21+23-2-1-2-1-2-101+21+200000-1-
7、2-1-2-1-1-2-1-2-1000001+21+20-1-2-1-2-13-21+21+23-2-1-1-2-1-2-1-1-2-1-23-2oo3-2又 Q=0PU2V2U3V3U4V4T =u1v1000000TQ=K 可得 u1=0 v1=4P1-2Et(3-)U2=V2=P(-1)3- U3=-2P3- V3=-2P3- U4=P(1+)3- V4=0由Si=E21-2Abicibici1-2ci1-2bi可得单元A：S=Ea1-20-101-1-20-1-2-10-10-1-201-2 =Se =Ea1-20-101-1-20-1-2-10-10-1-201-204P1-2Et
8、3-0000T =4Pat(3-)4Pat(3-)0同理，单元B：S=Ea1-20-10-1-1-201-2-101-01-20-1-2 =Se =Ea1-20-10-1-1-201-2-101-01-20-1-2000004P1-2Et3-T =002P-1at3-4已知集中载荷，试求图示六节点三角形单元的等效节点载荷列阵。 yx21i(2,2)j(6,3)m(5,6)3(5,4)P30解：设集中载荷P的作用点为A，则Sijm=121xiyi1xjyj1xmym=12122163156=132SijA=121xiyi1xjyj1xAyA=12122163154=52SjmA=121xjyj1
9、xmym1xAyA=12163156154=1SmiA=121xmym1xiyi1xAyA=12156122154=3 Li=SjmASijm=213 Lj=SmiASijm=613 Lm=SijASijm=513又 Ni=Li2Li-1 Nj=Lj2Lj-1 Nm=Lm2Lm-1 N1=4LjLm N2=4LiLm N3=4LiLj Ni=-18169 Nj=-6169 Nm=-15169 N1=120169 N2=40169 N3=48169 又 P=32P12PT由 RPe=NTP 得RPe=Ni00NiNj00NjNm00NmN100N1N200N2N300N3T32P12P=-181
10、6900-18169-616900-6169-1516900-1516912016900120169401690040169481690048169T32P12P =1338P-18-183-6-63-15-15312012034040348483T5、已知材料的弹性模量和泊松比。计算图示四面体单元的形函数；单元的刚度矩阵中的元素和。i (0,0,0)j (3,0,0)p (2,1,2)m (1,3,0) 解：V=161xi1xjyiziyjzj1xm1xpymzmypzp=161013000011123012=3ai=xjyjzjxmymzmxpypzp=300130212=18 bi=-1
11、yjzj1ymzm1ypzp=-100130112=-6ci=-xj1zjxm1zmxp1zp=-310110212=-4 di=-xjyj1xmym1xpyp1=-301131211=-1同理可得:aj=0 bj=-6 cj=2 dj=5 am=0 bm=0 cm=6 dm=-3 ap=0 bp=0 cp=0 dp=-9 Ni=16Vai+bix+ciy+diz=11818-6x-4y-z Nm=16Vam+bmx+cmy+dmz=1186y-3z Nj=-16Vaj+bjx+cjy+djz=-118-6x+2y+5z Np=-16Vap+bpx+cpy+dpz=12z由 krs=A336V
12、brbs+A2(crcs+drds)A1brcs+A2crbsA1brds+A2drbsA1crbs+A2brcscrcs+A2(brbs+drds)A1crds+A2drcsA1drbs+A2brdsA1drcs+A2crdsdrds+A2(brbs+crcs)A1=1- A2=1-22(1-) A3=E(1-)1+(1-2) 可得：k11=A310836+17A224(A1+A2)6(A1+A2)24(A1+A2)16+37A24(A1+A2)6(A1+A2)4(A1+A2)1+52A2k22=A310836+29A2-12(A1+A2)-30(A1+A2)-12(A1+A2)4+61A210(A1+A2)-30(A1+A2)10(A1+A2)25+40A26、图示四边形单元受到均匀的重力载荷（单位体积载荷，沿轴负方向）作用，已知单元的厚度为常量，材料的弹性模量和泊松比。试用阶高斯积分计算节点1处的等效节点载荷和单元刚度矩阵中的元素yxhx3(7,6)4(1,5)2(8,1)1(2,1)解：由 Ripe=-11-11Ni,px,py,tJddRipe=r=1ns=1nHrHsNi,px,py,tJ 可得：R1pe=r=1ns=1nHrHsN1,px,py,tJ又 px,p
