流体运动基本方程和运动的规律

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1、第二章第二章 流体运动的基本方程和基本规律流体运动的基本方程和基本规律 2 2 流体运动的基本方程和基本规律流体运动的基本方程和基本规律 1.三大守恒定律的简介 2.迹线、流线、流管 3.流体微团的运动分析 4.速度位函数 5.基本方程（一）：连续方程 6.流函数 7.旋涡运动 8.基本方程（二）：动量方程 9.基本方程（三）：能量方程 （教材上没有，属必须掌握内容） 10.三大基本方程的基本解法简介 3 3 自然科学中有三大守恒律：质量守恒、动量守恒和能 量守恒。 本章将利用这三大原理，推导出流体力学中的三个基 本方程：连续方程、动量方程和能量方程连续方程、动量方程和能量方程。然后粗略 介绍

2、这三个方程的解法。 2.1 三大守恒定律的简介 焦耳（James Prescort Joule,1818 1889）英国杰出的物理学家。 1847年4月28 日英国物理学家焦耳将自己所发现的能量守恒 定律第一次作了全面和充分的阐述 。 能量既不能创造也不能消灭，而只能从一种形能量既不能创造也不能消灭，而只能从一种形 式转换成另一种形式，从一个物体传递到另一式转换成另一种形式，从一个物体传递到另一 个物体。个物体。 Joule Descartes笛卡尔 (法国哲学家、数学家,1596-1690) 系统所受外力的矢量和为系统所受外力的矢量和为0 0时，系时，系 统的总动量守恒。统的总动量守恒。 D

3、escartesDescartes 拉瓦锡（Antoine-Laurent Lavoisier，17431794） ，法国化学家，1789 年，拉 瓦锡在他的历史名著 化学概论中第一次用清晰 的语言把质量守恒定律表达 出来，用实验进行了验证 。 质量既不能创造，也不能消质量既不能创造，也不能消 灭灭 。 LavoisierLavoisier 4 4 2.2 迹线、流线、流管 空气动力学中， 除了要求解密度场、压强场密度场、压强场 、温度场和速度场、温度场和速度场以外，还需要绘制流场的流动 图画(Flow Patterns)。它能帮助我们直观形象地分析流 体运动。为此，引入迹线图和流线的概念。

4、迹线(Path Line)：流体微团在流场中的运动轨迹。或 者说，同一个流体微团，在不同时刻的空间坐标的连 线。 5 5 流线(Stream Line)：流场中的一条曲线，线上各点的切向 和该点的速度方向相同。如果流动是非定常的，由于速度 矢量的大小和方向随时间变化而变化，所以不同时刻的流 线形式也不相同。流线不能是折线，而是一条光滑的曲线 。 2.2 迹线、流线、流管 x y z 6 6 流线是空间曲线 , 用 表示。 2.2 迹线、流线、流管 如何求流线方程 点A处的速度 和 平行。因此，由矢量叉乘的定义得 流线方程为： 设 是流线上的一个微段。 x y z 7 7 2.2 迹线、流线、流

5、管 在迪卡尔坐标系下， 笛卡尔坐标系下流线方程的微分形式： x y z 8 8 2.2 迹线、流线、流管 上式亦可表达为， 笛卡尔坐标系下流线方程的微分形式： 9 9 2.2 迹线、流线、流管 在三维空间，在流场中 取一条不为流线的封闭 曲线，经过曲线上每一 点作流线，所有这些流 线集合构成的管状曲面 被称为流管，如图。 由于流管由流线组成，因此流体不能穿出或者穿入流管表面。 在任意瞬时，流场中的流管类似真实的固体管壁。 对定常流动，直接运用积分形式的连续方程，可以证明穿过流 管截面的质量流量是不变的 。 流管(Stream Tube) x y z 1010 2.3 流体微团的运动分析 流场中

6、的流体微团,当它沿着流线做平移运动的同时，还可 能有旋转、变形运动。 微团旋转和变形量取决于速度场，本节的目的就是用速度 场量化分析微元的旋转和变形运动。 流场中流场中 的微小的微小 流体团流体团 1111 2.3 流体微团的运动分析 y x 流体微团运动的分解流体微团运动的分解 考虑 xy 平面内的二维流动。取流场中的一个微元体。假设在时刻 t ，流 体微元是矩形。一般情况下流场是不均匀的，即流场中的各点速度的大小 和方向都可能变化。因此该微团从 t 时刻的位置 ABCD 运动到 t+Dt 时刻 的位置上，流体微团的体积、形状都发生了变化，而且也发生了旋转。整 个运动是同时发生的，可以将这样

7、的一个复杂的一般运动分解为几个简单 的运动的合成如图所示。 B A D C t B A D C t+Dt 流体微团的一般运动流体微团的一般运动 1212 流体微团在 xy 平面的角速度定义为AB 边和 AC 边的 角速度的平均值，记作 ， 因此， 定义 AB 边和 AC 边的角速度分别为， 和 2.3 流体微团的运动分析 由， 有， 角速度 1313 2.3 流体微团的运动分析 上面的分析只考虑了在二维 xy 平面内的运动。对 一般三维空间流体微团的角速度是指向某特定方 向的矢量， 上式用速度场表达了流体微团的角速度，更准确 地说，是用速度场的导数表示了流体微团的角速 度。 1414 2.3

8、流体微团的运动分析 旋度：定义为旋转角速度 的两倍，记为 。 1）如果 在流动中处处成立，流动称为有旋流动。这 表明流体微团在流动过程中具有一定的旋转角速度。 旋度旋度 2）如果 在流场中处处成立，流动称为无旋流动。这表 明流体微团没有角速度，在空间作纯粹的平移运动。 3）二维无旋流动条件： 1515 2.3 2.3 流体微团的运动分析流体微团的运动分析 再回到前面 xy 平面内的二维流动 时流体微团的运动分析。 角变形率 流体微团在流体微团在t+t+ D D t t时刻时刻 k Dq1 Dq2 B A C dy dx A 设AB和AC之间的夹角为 k 。当 流体微团在流场中运动时， k 也

9、会相应改变。 dy dx A u v B C 流体微团在流体微团在t t时刻时刻 在t 时刻， k =90o 。在t+Dt 时刻 ，k 也会变化了 Dk， 1616 在粘性流动中，角变形量之半随时间变化是一个非常重要 的量，称为角变形率，用个 gz 来表示。 2.3 2.3 流体微团的运动分析流体微团的运动分析 角变形：流体微团在 xy 平面内的k 的变化。规定当 k 减小 时角变形为正。因此， 角变形= 1717 2.3 2.3 流体微团的运动分析流体微团的运动分析 类似，在 yz 和 zx 平面上流体微团的角变形率为， 1818 2.3 2.3 流体微团的运动分析流体微团的运动分析 角速度

10、（以及旋度）和角变形率只取决于流场速度的导数 ，把速度的导数写成如下矩阵形式， 1919 对于无旋流动来说，存在一个标量函数 ，速度矢量 恰好 等于其梯度。 即一个标量函数的梯度的旋度等于0。从上面的式子中可以 得出， 2.4 2.4 速度位函数速度位函数 如果 在流场中处处成立，流动称为无旋流动。 第一章的作业中曾经做过下式的证明， 2020 标量函数标量函数 就称为速度位函数速度位函数或速度势函数(Velocity Potential)。简称位函数位函数。 对于无旋流动来说，存在一个标量函数 ，速度矢量 恰好 等于其梯度。 2.4 2.4 速度位函数速度位函数 2121 2.4 2.4 速

11、度位函数速度位函数 在球坐标系中速度位的表达式为， 在柱坐标系中速度位的表达式为， 2222 2.52.5 基本方程（一）：连续方程基本方程（一）：连续方程 2.5.4 连续方程的物质导数形式 2.5.1 连续方程的物理意义 2.5.2 连续方程的积分形式 2.5.3 连续方程的微分形式 2323 2.52.5 基本方程（一）：连续方程基本方程（一）：连续方程 连续方程描述的是流体力学中的质量守恒规律： 流出控制体的流出控制体的质量流量质量流量等于控制体内质量随时间的减少率。等于控制体内质量随时间的减少率。 “ “物质即不能创造也不能消灭物质即不能创造也不能消灭” ” 连续方程的物理意义：连续

12、方程的物理意义： 2424 和前面推导 的物理意义不同，那里采用的是运动的控制体 ，这里我们采用位置在空间固定的控制体位置在空间固定的控制体，即控制体固定在 空间某个位置，流体从中穿过。 2.52.5 基本方程（一）：连续方程基本方程（一）：连续方程 在第一章中，我们讨论了几种用来研究流体运动的模型，现 在对这些流体模型运用基本的物理原理来推导流体运动的基 本方程。 连续方程的积分形式：连续方程的积分形式： 固定控制体 显然，和前面的推导不同，控制体 的体积和控制面都不随时间变化， 但是由于流场的非定常特性，控制 体内所包含的质量是随时间变化的 。 2525 2.52.5 基本方程（一）：连续

13、方程基本方程（一）：连续方程 此方程是对在空间位置固定的有限控制体运用质量守恒定律得到 的结果，称为连续方程连续方程。它是流体力学中最基本的方程之一。 上式就是连续方程的积分形式。 很多情况下会运用到这种形式的连续方程，它可以用来解释某很多情况下会运用到这种形式的连续方程，它可以用来解释某 个有限区域空间的气动现象，而不必关心流场中某个点的具体个有限区域空间的气动现象，而不必关心流场中某个点的具体 细节。细节。 然而，有时候我们需要关心流场的细节，就必须对所取定点运 用连续方程进行分析。在这种情况下，积分形式的连续方程并 不适用。 然而从积分形式的连续方程可以推导出然而从积分形式的连续方程可以

14、推导出微分形式微分形式的连续方程，的连续方程， 这种形式的连续方程是与空间具体点的流动特性相连的这种形式的连续方程是与空间具体点的流动特性相连的。 2626 2.52.5 基本方程（一）：连续方程基本方程（一）：连续方程 由于推导时所用的控制体的空间位置固定，所以积分的极限 形式也是固定的。于是对时间求偏导数可以放到体积分符号 里面。 根据矢量场面积分和体积分的关系(奥高公式)，有 因此， 连续方程的微分形式：连续方程的微分形式： 2727 分析积分形式中的被积函数，如果被积函数的值是有限的，那 么此方程要求它在控制体的一部分区域的积分和剩余的区域的 积分大小相等，符号相反，这样在整个控制体内

15、的积分才为零 。然而有限控制体是任意的，因此对任意控制体，都要求要此 方程的积分为零，唯一方法是被积函数在控制体内所有点值都 为零。因此 2.52.5 基本方程（一）：连续方程基本方程（一）：连续方程 上式就是连续方程的微分形式。该方程建立了流场中某点的流 动变量之间的关系，与积分形式的连续方程相反，后者反应的 是流场中一个有限空间的流动变量之间的关系。 2828 2.52.5 基本方程（一）：连续方程基本方程（一）：连续方程 首先引入一个首先引入一个矢量记号矢量记号： 它表示标量和矢量乘积的散度等于标量乘以矢量的散度加上矢它表示标量和矢量乘积的散度等于标量乘以矢量的散度加上矢 量点乘标量的梯度。量点乘标量的梯度。 连续方程的物质导数形式：连续方程的物质导数形式： 第一章我们学习了物质导数，下面我们把连续方程表示成物 质导数的形式。 ？ 考虑微分形式给出的连续方程 2929 2.52.5 基本方程（一）：连续方程基本方程（一）：连续方程 上式即是用物质导数表现的连续方程的形式。 应用上述的矢量记号，上式变为 此方程中前两项的和就是密度的物质导数 。因此有， 3030 2.7 2.7 旋涡运动旋涡运动 2 2、速度环量；斯托克斯定理、速度环量；斯托克斯定理 3 3、毕奥、毕奥- -萨瓦定理以及直线涡的诱导速度萨瓦定理以及直线涡的诱导速度 4 4、亥姆霍兹旋涡定理、亥姆霍兹旋涡定理