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1、Cost Minimization 1 本章要点 成本最小化 规模报酬和成本函数 关键词：成本函数 研究思路 我们的目标是研究利润最大化的厂商的行 为。在上一章（第19章），我们从直接 分析利润最大化问题开始，着手分析了竞 争环境下利润最大化的厂商的行为。 可以换一种间接的思考方法，把利润最大 化问题分割为两部分：首先，考虑既定产 量下的成本最小化问题（第20、21章） ；然后，再研究最有利可图的产量水平（ 第22章）。 研究思路 生产函数 要素需求函数 供给函数 第20-22章的思路（间接的思考方法， 先研究既定产量下的成本最小化问 题（第20、21章）；然后，再研究最有利可图的产量水平（第
2、22章） ） 生产函数 成本函数 （成本曲线） 利润最大化 成本最小化 有条件的 要素需求函数 供给函数 （供给曲线） 第19章的思路（直接分析利润最大化） 第20章第21章第22章 利润函数 本章研究目的 本章（第20章）先研究既定产量下的成 本最小化问题，目的是推导成本函 数。 成本最小化问题 （The Cost-Minimization Problem） 考虑用两种要素生产一种产品的厂商。 厂商的生产函数为 y = f(x1,x2). 其中 y 0是给定的。 假定投入品价格 w1 、 w2 是给定的。则 投入组合的成本为w1x1 + w2x2. 成本最小化问题 对于给定的w1, w2 和
3、 y, 厂商的成本最小化问题 就是求解 s.t. 等成本线（Iso-cost Lines） 等成本线是所有耗费相同成本的投入要素 组合点的集合。 例如：给定 w1 和 w2, 数量为$100 的等 成本线方程为 等成本线 一般而言，在给定w1 和 w2 的条件下，耗费成 本$c的等成本线表示为 重新排列得到 等成本线的斜率为- w1/w2,纵截距为c/w2. 等成本线 c w1x1+w2x2 c” w1x1+w2x2 c c” x1 x2 等成本线 c w1x1+w2x2 c” w1x1+w2x2 c c” x1 x2 斜率 = -w1/w2. 等产量线 x1 x2 所有产出为y 的投入要素的
4、集合。 f(x1,x2) y 成本最小化问题 x1 x2 f(x1,x2) y 所有产出为y 的投入要素的集合。 哪一个最便宜？ 成本最小化问题 x1 x2 f(x1,x2) y x1* x2* 所有产出为y 的投入要素的集合。 哪一个最便宜？ 成本最小化问题 相切条件的推导方法： 1、直接代入法 2、拉格朗日法（推导过程见下页） 成本最小化问题 x1 x2 f(x1,x2) y x1* x2* 在一个成本最小化的内点解上： (a) 且 (b) 等成本线的斜率等于等产量线的 斜率即 成本最小化（Cost Minimization ） 当厂商面对给定的要素价格 w = (w1,w2,wn) 成本
5、最小的最优解组合是：x1*(w1,w2,y) 和x2*(w1,w2,y) ， 是厂商在既定价格条件下，生产给定产量产品的要素投 入。也叫做这个企业对投入品1和2的有条件的要素需求 函数（conditional demands for inputs 1 and 2) 成本最小化问题 厂商生产y的最小可能成本（成本函数）为： 成本函数度量的是当要素价格为 (w1,w2,wn) ， 生产y单位产量时的最小成本! 因为要素价格w是给定的，成本函c(w1,wn,y) 通常可以写作c(y)。 w1 、 w2不变 投入 2的条件需求 投入1的 条件需求 产出扩展线 x2 x1 要素的条件需求曲线 例子：特定
6、技术下的成本最小化 1.内部解：Cobb-Douglas技术 2.折拗解：完全互补技术 3.边界解：完全替代技术 成本最小化 Cobb-Douglas 的例子 一个具有 Cobb-Douglas 生产技术厂商的 生产函数为 厂商面临给定的要素价格 w1 、 w2。 厂商的有条件的要素需求函数是什么? 可以采用几何法求解。也可以采用代数法 求解。 成本最小化 Cobb-Douglas 的例子 生产给定产量成本最小化的投入要素组合 (x1*,x2*) 满足 (a) (b) 成本最小化：C-D技术的例子 (a)(b) 成本最小化：C-D技术的例子 (a)(b) 由(b)可得, 成本最小化：C-D技术
7、的例子 (a)(b) 由(b)可得, 代入(a)得： 成本最小化：C-D技术的例子 (a)(b) 由(b)可得, 代入(a)得： 所以 是厂商对于投入要素1的 条件需求函数。 成本最小化 Cobb-Douglas 的例子 是厂商对于投入要素2的条件需求函数。 由于 且 则 成本最小化 Cobb-Douglas 的例子 柯布-道格拉斯技术：生产函数 生产要素价格 w1 、w2下生产y单位产 出品的最小成本生产要素束为： 成本最小化 Cobb-Douglas 的例子 厂商成本函数为： 成本最小化： Cobb-Douglas 的例子 生产函数为： 代数法求解： s.t. 中级微观经济学 成本最小化：
8、完全互补技术的例子 生产函数为 厂商面临给定的要素价格 w1 、 w2。 厂商的有条件的要素需求函数是什么? 厂商的总成本函数是什么？ 成本最小化：完全互补技术的 例子 x1 x2 4x1 = x2 min4x1,x2 y 哪一点是成本最小的投入组合? 成本最小化：完全互补技术的 例子 x1 x2 x1* = y/4 x2* = y 4x1 = x2 min4x1,x2 y 成本最小化：完全互补技术的 例子 厂商的生产函数为： 要素的条件需求函数为： ； 成本最小化：完全互补技术的 例子 厂商的生产函数为： 要素的条件需求函数为 ； 厂商的总成本函数为 成本最小化：完全替代技术的例 子 练习练
9、习 规模报酬和平均成本 （Returns-to-Scale and Average Total Costs） 厂商生产技术的规模报酬特征决定了厂商的 平均成本随着产量变化如何变化。 假定我们的成本最小化的厂商生产 y单位的 产品。 假定厂商现在产量为2y ，平均成本如何变 化？ 平均成本 对一个产出为正数的厂商而言，生产y产 量产品的平均成本为： 不变规模报酬和平均成本 如果厂商技术是规模报酬不变的，那么产量增 加一倍 ，从y 到 2y ，需要所有要素投入量增 加一倍。 总成本 平均成本 增加一倍。 不变。 ？ ？ 不变规模报酬 y = f(x) xx 生产要素水平 产出水平 y 一种生产要素
10、、一种产出 2x 2y 不变规模报酬 Constant returns-to-scale 规模报酬递减和平均成本 如果厂商技术是规模报酬递减的，那么产 量增加一倍 ，从y 到 2y ，需要所有要 素投入量增加超过一倍。 总成本 平均成本 增加超过一倍。 递增。 ？ ？ 递减规模报酬 y = f(x) xx 生产要素水平 产出水平 f(x) 一种生产要素、一种产出 2x f(2x) 2f(x) 递减规模报酬 Decreasing returns-to-scale 规模报酬递增和平均成本 如果厂商技术是规模报酬递增的，那么产 量增加一倍 ，从y 到 2y ，需要所有要 素投入量增加少于一倍。 总成
11、本 平均成本 增加少于一倍。 递减。 ？ ？ 递增规模报酬 y = f(x) xx 生产要素水平 产出水平 f(x) 一种生产要素、一种产出 2x f(2x) 2f(x) 递增规模报酬 Increasing returns-to-scale 总结：规模报酬和平均成本 规模报酬不变，AC不变。 规模报酬递减，AC递增。 规模报酬递增，AC递减。 规模报酬和平均成本 y $/产量 规模报酬不变 规模报酬递减 规模报酬递增 AC(y) 规模报酬和总成本 （Returns-to-Scale and Total Costs） 这对于总成本函数的形状意味着什么? 规模报酬和总成本 y $ c(y) y2y
12、 c(y) c(2y)Slope = c(2y)/2y = AC(2y). Slope = c(y)/y = AC(y). 规模报酬递减技术的厂商的成本递增。 规模报酬和总成本 y $ c(y) y2y c(y) c(2y) Slope = c(2y)/2y = AC(2y). Slope = c(y)/y = AC(y). 规模报酬递增技术的厂商的成本递减。 规模报酬和总成本 y $ c(y) y2y c(y) c(2y) =2c(y) Slope = c(2y)/2y = 2c(y)/2y = c(y)/y 所以 AC(y) = AC(2y). 规模报酬不变技术的厂商的成本不变。 短期和长
13、期总成本 （Short-Run & Long-Run Total Costs） 从长期来看，一个企业的所有投入品的 使用量都是可变的。 在短期，一个或多个投入品的数量是有 限制的。 对于生产y产量的产品，短期总成本和长期总成 本的区别如何？ 短期和长期总成本 （Short-Run & Long-Run Total Costs） 长期成本最小化的问题是： 短期成本最小化的问题是： s.t. s.t. 短期和长期总成本 （Short-Run & Long-Run Total Costs） 换句话说，短期成本最小化问题实际上是对 长期成本最小化问题附加了一个额外的约束 条件 x2 = x2。 如果长
14、期成本最小化选择的要素2的需求就是 x2 ，那么额外的约束条件x2 = x2 并不是真 正的约束条件，因此生产相同产量的长短期 的生产成本是一致的。 短期和长期总成本 （Short-Run & Long-Run Total Costs） 因此短期成本最小化问题就是对长期成本最 小化问题附加额外约束x2 = x2”。 但是，如果长期选择 x2 x2” ，那么额外约 束 x2 = x2” 阻止了厂商在短期实现其长期成 本最小化的最优点，导致其生产y产量的短期 成本超过长期成本。 短期和长期总成本 （Short-Run & Long-Run Total Costs） x1 x2 考虑三种产出水平 短
15、期和长期总成本 （Short-Run & Long-Run Total Costs） x1 x2 在长期，当厂商可以自由选择 x1 和x2时，成本最小化的投入 组合为 短期和长期总成本 （Short-Run & Long-Run Total Costs） x1 x2长期成本为： 长期产量 扩展曲线 短期和长期总成本 （Short-Run & Long-Run Total Costs） 现在假设厂商在短期受到约束 x1 = x1”。 短期和长期总成本 （Short-Run & Long-Run Total Costs） x1 x2 短期产量扩展线 长期产量 扩展曲线 短期和长期总成本 （Short-Run & Long-Run Total Costs） x1 x2 短期产量扩展线 短期和长期总
