初一奥数-几何图形的计数问题

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1、 几何图形的计数问题 主讲：刘文峰 专题简析 在几何中，有许多有趣的计数问题，如计 算线段的条数，满足某种条件的三角形的 个数，若干个图分平面所成的区域数等等 这类问题看起来似乎没有什么规律可循 ，但是通过认真分析，还是可以找到一些 处理方法的常用的方法有枚举法、加法 原理和乘法原理法以及递推法等 例1、如图165所示，数一数图中有 多少条不同的线段？ 解：对于两条线段，只要有一个端点不同，就是不同的 线段，我们以左端点为标准，将线段分5类分别计数： (1)、以A为左端点的线段有： AB，AC，AD，AE，AF共5条； (2)、以B为左端点的线段有BC，BD，BE，BF共4条； (3)、以C为

2、左端点的线段有CD，CE，CF共3条； (4)、以D为左端点的线段有DE，DF共2条； (5)、以E为左端点的线段只有EF一条 所以，不同的线段一共有5+4+3+2+1=15(条) 一般地，如果一条线段上有n+1个点(包括两个端点)， 那么这n+1个点把这条线段一共分成的线段总数为： n+(n-1)+2+1=n(n+1)/2 例2、图166中有多少个三角形？ 解：以OA为一边的三角形有OAB，OAC， OAD，OAE，OAF共5个； 以OB为一边的三角形还有4个(前面已计数过的不再数，下同)， 它们是OBC，OBD，OBE，OBF； 以OC为一边的三角形有OCD，OCE，OCF共3个； 以OD

3、为一边的三角形有ODE，ODF共2个； 以OE为一边的三角形有OEF一个 所以，共有三角形5+4+3+2+1=15(个) 说明：其实，不同的三角形数目等于线段AF中不同线段 的条数一般地，当原三角形的一条边上有n+1个点(包 括两端点)时，它们与另一顶点的连线所构成的三角形 总数为：n+(n-1)+2+1=n(n+1)/2. 例3、 (1)、图167中一共有多少个长方形？ (2)、所有这些长方形的面积和是多少？ 解：(1)图中长的一边有5个分点(包括端点)， 所以，长的一边上不同的线段共有1+2+3+4=10(条) 同样，宽的一边上不同的线段也有10条 所以，共有长方形1010=100(个)

4、(2)因为长的一边上的10条线段长分别为 5，17，25，26，12，20，21，8，9，1， 宽的一边上的10条线段长分别为 2，6，13，16，4，11，14，7，10，3 所以，所有长方形面积和为 (52+56+53)+(172+176+173)+(12+ 16+13) =(5+17+1)(2+6+3)=14486=12384 例4 、 图168中共有多少个三角形？ 解：显然三角形可分为尖向上与尖向下两大类，两类中 三角形的个数相等尖向上的三角形又可分为6类：最 大的三角形1个(即ABC)， 第二大的三角形有1+2=3(个)， 第三大的三角形有1+2+3=6(个)， 第四大的三角形有1+

5、2+3+4=10(个)， 第五大的三角形有1+2+3+4+5=15(个)， 最小的三角形有1+2+3+4+5+6+3=24(个) 我们的计数是有规律的当然，要注意在ABC外面还 有三个最小的尖向上的三角形(左、右、下各一个)， 所以最小的三角形不是21个而是24个 于是尖向上的三角形共1+3+6+10+15+24=59(个) 图中共有三角形592=118(个) 例5、图169中有多少个等腰直角三角形？ 解：图169中有55+44=41个点在每点标一 个数，它等于以这点为直角顶点的等腰直角三角 形的个数因此，共有等腰直角三角形 48+516+64+104+84+114+161 =268(个) 例

6、6、(1)、图170(a)中有多少个三角形？ (2)、图170(b)中又有多少个三角形？ 解： (1) 图170(a)中有6条直线一般来说，每3条直 线能围成一个三角形，但是这3条直线如果相交 于同一点，那么，它们就不能围成三角形了 从6条直线中选3条， 有 种选法(见说明)， 每次选出的3条直线围成一个三角形， 但是在图170(a)中，每个顶点处有3条直线通过 ，它们不能围成三角形，因此， 共有20-3=17个三角形 (2)、图1-70(b)中有7条直线，从7条直线中选3条， 有765/6=35种选法每不过同一点的3条直线 构成一个三角形 图170(b)中，有2个顶点处有3条直线通过，它们

7、不能构成三角形，还有一个顶点有4条直线通过 ，因为4条直线中选3条有4种选法， 即能构成4个三角形，现在这4个三角形没有了， 所以，图170(b)中的三角形个数是： 35-2-4=29(个) 说明：从6条直线中选2条，第一条有6种选法， 第二条有5种选法，共有65种选法但是每一 种被重复算了一次，例如l1l2与l2l1实际上是同一 种，所以，不同的选法是652=15种 从6条直线中选3条， 第一条有6种选法， 第二条有5种选法， 第三条有4种选法，共有654种选法 但是每一种被重复计算了6次， 例如，111213，111312，121113，121311，131112 ，131211实际上是同

8、一种， 所以，不同的选法应为654/6=20种 例7 、 问8条直线最多能把平面分成 多少部分？ 解、1条直线最多将平面分成2个部分； 2条直线最多将平面分成4个部分； 3条直线最多将平面分成7个部分； 现在添上第4条直线它与前面的3条直线最多有3个交 点，这3个交点将第4条直线分成4段，其中每一段将原 来所在平面部分一分为二，如图171，所以 4条直线最多将平面分成7+4=11个部分 5条直线最多将平面分成11+5=16个部分； 6条直线最多将平面分成16+6=22个部分； 7条直线最多将平面分成22+7=29个部分； 8条直线最多将平面分成29+8=37个部分 所以，8条直线最多将平面分成

9、37个部分 说明一般地，n条直线最多将平面分成 2+2+3+n=(n2+n+2)个部分 例8 、 平面上5个圆最多能把平面分 成多少个部分？ 解：1个圆最多能把平面分成2个部分； 2个圆最多能把平面分成4个部分； 3个圆最多能把平面分成8个部分； 现在加入第4个圆，为了使分成的部分最多，第4 个圆必须与前面3个圆都有两个交点如图172所 示因此得6个交点，这6个交点将第4个圆的圆 周分成6段圆弧，而每一段圆弧将原来的部分一 分为二，即增加了一个部分，于是， 4个圆最多将平面分成8+6=14个部分 5个圆最多将平面分成14+8=22个部分 所以，5个圆最多将平面分成22个部分 说明：用上面类似的

10、方法，我们可 以计算出n个圆最多分平面的部分 数为： 2+12+22+(n-1)2 =2+21+2+(n-1) =n -n+2 例9、平面上5个圆和一条直线，最 多能把平面分成多少个部分？ 解、首先，由上题可知，平面上5个圆最多能 把平面分成22个部分现在加入一条直线由 于一条直线最多与一个圆有两个交点，所以， 一条直线与5个圆最多有10个交点10个点把 这条直线分成了11段，其中9段在圆内，2条 射线在圆外9条在圆内的线段把原来的部分 一分为二，这样就增加了9个部分；两条射线 把圆外的平面一分为二，圆外只增加了一个部 分所以，总共增加了10个部分 因此，5个圆和1条直线，最多将平面分成 22

11、+10=32个部分 例10 、 平面上5条直线和一个圆 ，最多能把平面分成多少个部分？ 解：首先，由例7知，5条直线最多将平 面分成16个部分 现在加入一个圆，它最多与每条直线有 两个交点，所以，与5条直线最多有10个 交点这10个交点将圆周分成10段圆弧 ，每一段圆弧将原来的部分一分为二， 所以，10段圆弧又把原来的部分增加了 10个部分 因此，5条直线和一个圆，最多能把平面 分成：16+10=26个部分 例11、 三角形ABC内部有1999个点，以 顶点A，B，C和这1999个点为顶点能把原 三角形分割成多少个小三角形？ 解：设ABC内部的n-1个点能把原三角形分割成an-1 个小三角形，

12、我们考虑新增加一个点Pm之后的情况： (1)、若点Pn在某个小三角形的内部，如图173(a)，则原 小三角形的三个顶点连同Pn将这个小三角形一分为三， 即增加了两个小三角形； (2)、若点Pn在某两个小三角形公共边上，如图173(b) 则这两个小三角形的顶点连同点Pn将这两个小三角形分 别一分为二，即也增加了两个小三角形 所以，ABC内部的n个点把原三角形分割成的小三角形 个数为：an=an-1+2 已知a0=1，于是a1=a0+2，a2=a1+2，anan-1+2 将上面这些式子相加，得an=2n+1 所以，当n=1999时，三个顶点A，B，C和这1999个内 点能把原三角形分割成21999

13、+1=3999个小三角形 1填空： (1)在圆周上有7个点A，B，C，D，E，F和G，连接每 两个点的线段共可作出_条 (2)已知5条线段的长分别是3，5，7，9，11，若每次以 其中3条线段为边组成三角形，则最多可构成互不全等 的三角形_个 (3)三角形的三边长都是正整数，其中有一边长为4，但 它不是最短边，这样不同的三角形共有_个 (4)以正七边形的7个顶点中的任意3个为顶点的三角形 中，锐角三角形的个数是_ (5)平面上10条直线最多能把平面分成_个部分 (6)平面上10个圆最多能把平面分成_个区域 2有一批长度分别为1，2，3，4，5，6，7，8 ，9，10，11厘米的细木条，它们的数量足够多 ，从中适当选取3根木条作为三条边，可围成一 个三角形，如果规定底边是11厘米长，你能围成 多少个不同的三角形？ 3图174中有多少个三角形？ 4图175中有多少个梯形？ 5在等边ABC所在平面上找到这样一点P， 使PAB，PBC，PAC都是等腰三角形，具 有这样性质的点的个数有多少？ 6平面上有10条直线，其中4条直线交于一点 ，另有4条直线互相平行，这10条直线最多有几 个交点？它们最多能把平面分成多少个部分？ 书山有路勤为径， 学海无涯苦作舟。