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1、固体化学 Structure Chemistry 习题解答 主讲人：齐兴义 北京航空航天大学材料科学与工程学院 写出以x轴为二重轴 (2) 和=45o为对称面的旋转操作(L2) 和反映操作 (M) 的表示矩阵. 指出下列分子的全部对称元素和所属点群, 并依据对称性 判断哪些分子是极性分子, 哪些是非极性分子. (1) CH2F2 (2) 1, 3, 5三氯苯 (3) 邻苯二酚 (4) 间苯二酚 (5) 对苯二酚 Gabc aabc bbca ccab G是由a、b和c三个元 素所组成的元素集合, 其 乘法表是如右表所示, 由 此验证G是否为一群. 固体化学习题一 一个AB3型分子有一三重轴,
2、实验测得其偶极矩为零, 判断该 分子所属点群. 指出属于下列点群的分子是否为手性分子 (1) C2 (2) C3h (3) D3 (4) D3d (5 ) Oh (6) Td 指出点群C3v和C4h所包含的全部对称操作和子群. 判断下列论述是否正确, 说明结论理由. (1) 凡直线形分子一定有 轴; (2) 甲烷和立方烷均有对称中心 (i); (3) 分子的最高轴次 (n) 与点群记号中的n相同, 如C3h最高轴的 轴次为3. 解: 由乘法表可知 (1) ab=b, bc=a, ac=c, cba=aa=a, 封闭性条件满足; (2) (ab)c=bc=a=aa=a(bc), 结合律条件满足;
3、 (3) ab=ba=b, ac=ca=c, aa=a, 恒等元条件 (e) 满足; (4) aa=a, bc=e, 故b和c互为逆元, 逆元条件满足. 因此, 由乘法表给出的3个元素构成一个群. Gabc aabc bbca ccab G是由a、b和c三个元 素所组成的元素集合, 其 乘法表是如右表所示, 由 此验证G是否为一群. 固体化学习题一 写出以x轴为二重轴 (2) 和=45o为对称面的旋转操作 (L2) 和反映操作 (M) 的表示矩阵. 解: P点坐标可以表示成P点坐标 的线性组合, 有关系: x y O P(x, y, z) P(y, x, z) =45o P=(x, y, z)
4、 r x y z 指出下列分子的全部对称元素和所属点群, 并依据对称性 判断哪些分子是极性分子, 哪些是非极性分子. (1) CH2F2 (2) 1, 3, 5三氯苯 (3) 邻苯二酚 (4) 间苯二酚 (5) 对苯二酚 解: (1) CH2F2 2 C2v, 极性分子 (2) 1, 3, 5三氯苯 Cl ClCl D3h, 非极性分子 D6hD3h (3) 邻苯二酚 C2v 极性分子 (4) 间苯二酚 (5) 对苯二酚 C2v 极性分子 D2h 非极性分子 OH OH OH OH HOOH 一个AB3型分子有一三重轴, 实验测得其偶极矩为零, 判 断该分子所属点群. 解: AB3型分子有一三
5、重轴, C3vD3h AB3型分子为一非极分子, 依据分子极性的对称性判规则, AB3型分子所属点群 为D3h. AB3型分子中的B原子应有结构上的等价性, 故AB3型 分子的可能构型有如下两种. Cl Cl Cl C3h 指出属于下列点群的分子是否为手性分子 (1) C2 (2) C3h (3) D3 (4) D3d (5 ) Oh (6) Td 解: (1) C2 , 手性分子; (2) C3h , 非手性分子; (3) D3 , 手性分子; (4) D3d , 非手性分子; (5) Oh , 非手性分子; (6) Td , 非手性分子. 指出点群C3v和C4h所包含的全部对称操作和子群.
6、 解: C3v=E, L3, L32, Mv1, Mv2, Mv3, h=6; C3v 共有4个子群, 分别是 G1=E, L3, L32, G2=E, Mv1, G3=E, Mv2, G4=E, Mv3, Co(III)(NH2CH2CH2NH2)33+ 三乙二胺合钴(III) 离子 C4h=E, L4, L42, L43 , EMh=Mh, L4Mh , L42Mh=I, L43Mh, h=8 ; C4h共有5个子群, 分别是 G1=E, L4, L42, L43, G2=E, L42, G3=E, Mh, G4=E, I, G5= (L4Mh)i , i=1, 2, 3, 4 问题: C
7、4h是否还有一个子群G6= (L4I)i , i=1, 2, 3, 4 答: 因G5和G6两个子群同构, 故G6不是一个独立的子群. 判断下列论述是否正确, 说明结论理由. (1) 凡直线形分子一定有 轴 ; (2) 甲烷和立方烷均有对称中心 (i) ; (3) 分子的最高轴次 (n) 与点群记号中的n相同, 如C3h最高轴的轴 次为3 (反轴轴 的轴轴次n为为6). L4Mh , L2 , L43Mh , E. =L4I , L2 , L43I , E? Cubane (C8H8) 固体化学习题二 有一AB型晶体, 晶胞中的A和B的分数坐标分别为 (0, 0, 0) 和 (1/2, 1/2,
8、 1/2) 指出该晶体的空间点阵型式和晶胞中不同等同点 的套数. 平面无限结构按下列平行四边形周期单位并置重复而成,试指 出各无限结构的点对称性、不同等同点的套数、二维正当点阵 单位和结构基元. 有一AB2型立方面心晶体, 问一个晶胞中可能含有多少个A 和多少个B? 某一立方晶系晶体, 晶胞的顶点位置全为A原子占据, 面心 为B原子占据, 体心为C原子占据, 则画出晶胞结构, 并写出 该晶体的分子式; 写出3种原子的分数坐标; 写出该晶体 的空间点阵型式; 在晶胞中标注出晶体的结构基元. 设有一属于立方晶系的AB4型晶体, 每个晶胞中有1个A和 四个B, 1个A的坐标是 (1/2, 1/2,
9、1/2) 4个B的坐标分别是 (0, 0, 0)、(1/2, 1/2, 0)、 (1/2, 0, 1/2)和 (0, 1/2, 1/2) , 则该晶体的空 间点阵型是: 立方P; 立方I ; 立方F ; 不能确定; 画出晶体的结构基元. 固体化学习题二 有一AB型晶体, 晶胞中的A和B的分数坐标分别为 (0, 0, 0) 和 (1/2, 1/2, 1/2) 试指出该晶体的空间点阵型式和晶胞中不同等同 点的套数. 解: 该晶体的空间点阵型式是素格子P, 所属晶系取决于特征 对称元素, 若晶体的特征对称元素为14 , 则空间点阵型式为tP; 晶胞中的A和B分属2套等同点. AB素格子P结构基元 平
10、面周期结构按下列平行四边形单位并置重复而成, 试指出 各周期结构的点对称性和二维正当点阵单位. 解： 二维晶胞 (2套等同点) 二维tP (晶系: 正方) 结构基元 D4h D4h DABCE A 分子式 D4h 二维晶胞 (2套等同点) 二维oP (晶系: 长方) 结构基元 D2h D2h B 分子式 D2h 二维晶胞 (2套等同点) D2h 结构基元 D4h C D2h 分子式 二维tP (晶系: 正方) 立方ZnS的晶胞 (Td) cF (Oh) A B D C D2h 二维晶胞 (3套等同点) 二维tP (晶系: 正方 ) 结构基元 D4h D 分子式 二维晶胞 (2套等同点)二维tP
11、 D4h D4h D4hD4h 二维晶胞 (3套等同点) D4h二维tP (晶系: 正方)结构基元 D4h E 结构基元 分子式 D4h 二维晶胞二维tP (晶系: 正方) 有一AB2型立方面心晶体, 问一个晶胞中可能含有多少个A和 多少个B? 解: 一个AB2型立方面心晶体的晶胞可有4n个A和8n个B (n=1, 2, ), 如CaF2晶胞有4个Ca2+离子, 8个F-离子. CaFF晶胞 CaF2晶胞 三套等同点 白硅石 ( SiO2) 晶胞 点阵型式: cF 4个Si4+和4个Si4+分 属2套等同点 (42); 16个O2- (82)分属4 套等同点 (每套等同 点含有4个O2-).
12、结构基元 单晶硅晶胞 某一立方晶系晶体, 晶胞的顶点位置全为A占据, 面心为B占 据, 体心为原子C占据, 写出该晶体的化学组成 (分子式); 写出3种原子的分数坐标; 写出该晶体的空间点阵型式. 解：该晶体的晶胞如右图所示; 晶体的分子式为AB3C ; A、B和C的分数坐标分别为 A : (0, 0, 0) B1: (0, 1/2, 1/2) B2: (1/2, 0, 1/2) B3: (1/2, 1/2, 0) C : (1/2, 1/2, 1/2) AB3C的晶胞 AB3C晶胞 AB3C有5套等同点 晶胞中的5套等同点 AB3C的空间点阵型式: cPAB3C的结构基元 设有一属于立方晶系
13、的AB4型晶体, 每个晶胞中有1个A和四 个B, 1个A的坐标是 (1/2, 1/2, 1/2), 4个B的坐标分别是 (0, 0, 0) 、(1/2, 1/2, 0)、(1/2, 0, 1/2) 和 (0, 1/2, 1/2), 则该晶体的空间点 阵型是: 立方P; 立方I; 立方F; 不能确定. 解: AB4晶胞AB4中的5套等同点cP结构基元 固体化学习题三 利用极射赤面投影法画出点群C4h、C4v和D2的对称元素投 影图; 在D2的投影图中, 确定D2的一般等效点系, 并由此写出 D2的乘法表. 一晶体的宏观对称元素有3、32、mh和3mv等, 试指出该晶 体的所属晶系和点群. 计算金
14、刚石型堆积 (A4) 的空间利用率 (). 已知金属钛属于六方密堆结构, 钛原子半径为146 pm, 试计算 金属钛的六方晶胞常数和理论晶体密度. 若晶体中的三个负离子位于正三角形的三个顶点, 正离子位 于正三角形的几何中心, 试写出该构型的Pauling第一规则 离子配位多面体规则表达式. 六方ZnS的晶胞如下图所示.试计算晶胞内的Zn2+的分数 坐标;标出六方ZnS晶体的结构基元. 六方ZnS晶胞 Mg晶胞 利用极射赤面投影法画出点群C4h、C4v和D2的对称元素 投影图; 在D2的投影图中, 确定D2的一般等效点系, 并以此 写出D2的乘法表. 解: 由左图可确定C4h点群的全部对称操作
15、 C4h= E, L4, L2, L43, Mh, I, L4I, L43I ; C4h 固体化学习题三 C4vD2 E L21 L22 L23 D2EL21L22L23 EEL21L22L23 L21L21EL23L22 L22L22L23EL21 L23L23L22L21E D2的乘法表 错误 E L21 L22 L23 E L21 L22 L23 D2对称元素的投影图和对称操作的一般等效点系 正确 2 (2) 2 (3) 一晶体的宏观对称元素有3、32、mh和3mv等对称元素, 试 指出该晶体所属晶系和点群. 解：该晶体所属晶系和点群分别为六方晶系 和D3h . D3h + 环丙烯正离子 2 2 (1)+ m1 2 (3)+ m3 2 (2)+ m2 2 (1) 2 (2)2 (3) m (2)m (1) m (3) D3h 计算金刚石型堆积 (A4) 的空间利用率 . 解：V晶胞体积 V晶胞体
