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1、 目录 n1.多边形的定义 n2.正多边形的定义 n3.多边形的对角线 n4.多边形的内角和 n5.多边形的外角和 三角形有三个内角、三条边，我们也可以把 三角形称为三边形（但我们习惯称为三角形） 你能说出三角 形的定义吗？ 三角形是由三条不在同一条直线上的线段 首尾顺次连结组成的平面图形 既然我们已经知道什么叫三角形，你能根据三角形 的定义，说出什么叫四边形吗？ 四边形是由四条不在同一直线上 的线段首尾顺次连结组成的平面 图形，记为四边形ABCD 五边形，它是由五条不在同一直 线上的线段首尾顺次连结组成的 平面图形，记为五边形ABCDE 一般地，由n条不在同一直线 上的线段首尾顺次连结组成的
2、 平面图形称为n边形，又称为 多边形 那么多边形的定义呢？ 下面所示的图形也是多边形，但不在我们 现在研究的范围内 。 注 意 我们现在研究的是如右图所示的 多边形，也就是所谓的凸多边形 有什么不同？ 凹多边形 凸多边形 1.如图8.3.2所示，A、D、C、ABC是四 边形ABCD的四个内角 3.CBE和ABF都是与ABC相邻的外角， 两者互为对顶角，四边形有八个外角。 既然三角形有三个内角、三条边，六个外角， 那么四边形有几个内角？几条边？几个外角呢？ 2.AB，BC，CD，DA是四边形ABCD的四条边 那么五边形有几个内角？几条边？几个外角呢？ 那么六边形有几个内角？几条边？几个外角呢 ？
3、 那么n边形有几个内角？几条边？几个外角呢 ？ 六边形有6个内角，6条边，12个外角 五边形有5个内角，5条边，10个外角 n边形有n个内角，n条边，2n个外角 请大家细心地填一填，多边形的内角，边，外 角三者的关系表，你能发现什么规律？ 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 n n 68101214 2n 三角形如果三条边都相等，三个角也都相等，那么这 样的三角形就叫做正三角形。 如果多边形各边都相等，各个角也都相等，那么 这样的多边形就叫做正多边形。如正三角形、正四 边形（正方形）、正五边形等等 。 正三角形正四边形正五边形正六边形正八边形 (或正三边形)(或正四边形) 连结多边形不相邻
4、的两个顶点的线段叫做多边 形的对角线. 线段AC是四边形ABCD的一条对角线； 多边形的对角线用虚线表示。 请大家思考：五边形ABCDE共有几条对角线呢 ？ 五边形ABCDE共有5条对角线。 请大家思考：六边形ABCDEF共有几条对角线呢？ 六边形ABCDEF共有9条对角线。 有没有什么 规律呢？ 请问：四边形从一个顶点出发，能引出几条对角线 ？ 请问：五边形从一个顶点出发，能引出几条对角线 ？ 请问：六边形从一个顶点出发，能引出几条对角线 ？ 请问：N边形从一个顶点出发，能引出几条对角线 ？ 1 2 3 N-3 我们已经知道一个三角形的内角和等于180， 那么四边形的内角和等于多少呢？五边形
5、、六边形 呢？由此，n边形的内角和等于多少呢？ 我们学习数学的 基本思想什么？ 化未知为已知 那么我们能不能利用 三角形的内角和，来求 出四边形的内角和，以 及五边形、六边形，n 边形的内角和？ 请你认真地想一想，你能通过怎样的方法把多边形 转化为三角形？ 345n-2 540 720 900 180 (n-2) 1.从一个顶点出发 由此，我们就可以得出 : nn边形的内角和为_ (n-2) 180 它有什么作用 呢? 1.知道多边形的边数,可以求出多边形的度数. 2.知道多边形的度数,可以求出多边形的边数. 例1.求八边形的内角和的度数 n 解 （n2）180 n=（82）180 n=1 0
6、80 分析: n边形的内角和公式为(n-2) 180 , 现在知道这个多边形的边数是， 代入这个公式既可求出. 老师,可以用计算器吗? 例2.已知多边形的内角和的度数为900，则 这个多边形的边数为_ n解 （n2）180 = 900 n （n2）= 900 /180 n （n2） = 5 n n= 5 +2 n n=7 7 哇!这么简单呀! 例3. 已知在一个十边形中，九个内角的和的度 数是1290，求这个十边形的另一个内角的度 数. n解: （102）180 =1440 n 则十边形的另一个内角的度数为 n 1440 - 1290 =150 先求出十边形的内角和 再减去1290,就可以得出
7、. 那么对于正多边形来说,又遇到怎样的问题呢? 因为正多边形的每个角相等,所以知道 正多边形的边数,就可以求出每一个内角的度数. （n2）180/ n 例4.正五边形的每一个内角等于_,外角等于 _. 例5.如果一个正多边形的一个内角等于120,则这 个多边形的边数是_ n解: （n2）180/ n n= （52）180/5 n=540/5 n=108 n解: 120n=（n2）180 n 120n=n180-360 n 60n =360 nn =6 例5.如果一个正多边形的一个内角等于150,则这 个多边形的边数是_ A.12 B.9 C. 8 D.7 A 例7.如果一个多边形的边数增加1,
8、则这个多边形的 内角和_ 增加180 例6.如果一个多边形的每一个外角等于30,则这 个多边形的边数是_ n解;设五边形中前四个角的度数分别是 x,2x,3x,4x,则第五个角度数是x+ 100 . nX+2x+3x+4x+x+ 100 = （52） 180 n11X +100 = 540 n11X = 440 nX = 40 n则这个五边形的内角分别为40, 80, 120, 160, 140. 例8. 五边形中,前四个角的比是1:2:3:4,第五个角 比最小角多100 ,则这个五边形的内角分别为 _ 请你认真地想一想，你能通过怎样的方法把多边形 转化为三角形？ 23456 n-1 180
9、36 0 540 720 900 180 (n-1)-180 2.从边上的一个点出发 请你认真地想一想，你能通过怎样的方法把多边形 转化为三角形？ 34567 n 180 36 0 540 720 900 180 n-360 3.从多边形内一个点出发 请你认真地想一想，你能通过怎样的方法把多边形 转化为三角形？ 180 n- 36 0 = 180 n- 2X180 = 180 (n-2) 4.从多边形外一个点出发 前面我们学习了三角形的外角和是360 ，当 时是怎样研究出来的？ A B C D E F 1.先把三角形的三个外角和三个内角这六个角 的和求出来，刚好是三个平角。 2.再用这六个角的
10、和减去三个内角的和，剩下 的就是三角形的外角和了！ 那么你能研究出四边形的外角和吗？ 整体思路：1.先求4个 外角+4个内角的和； 2.再减去4个内角的和 容易看出，4个外角+4个内角=4个平角 而4个内角的和是360 ， 那么四边形的外角和就是4X 180-360= 360 那么出五边形，六边形，n边形的外角和吗？ 五边形的外角和就是5X 180-540= 360 六边形的外角和就是6X 180-720= 360 。 n边形的外角和就是nX 180- (n-2)X 180 = (n-n+2)X 180 = 360 任 意 多 边 形 的 外 角 和 都 为 3 6 0 例9.正五边形的每一个
11、外角等于_.每一个内角 等于_, 72 144 例10.如果一个正多边形的一个内角等于120,则 这个多边形的边数是_ 6 例11.如果一个正多边形的一个内角等于150,则 这个多边形的边数是_ A.12 B.9 C. 8 D.7 A 例12.如果一个多边形的每一个外角等于30,则这 个多边形的边数是_ 12 例13.一个正多边形的一个内角和是外角和的2倍, 则这个多边形为( ) A.三角形 B.四边形 C.五边形 D. 六边形 例14.一个正多边形的一个内角和与外角和的比 是7:2,则这个多边形的边数为( ) 思考一：一个三角形中，它的内角最多可以有几个锐角 ？ 为什么？ 思考二：一个四边形中，它的内角最多可以有几个锐角 ？ 为什么？ 思考三：一个多边形中，它的内角最多可以有几个锐角 ？为什么？ 一个多边形中，它的外角最多可以有几个钝角？ 3 今天你学到了什么知识？你 能用自己的话说说吗？ 同学们:路漫漫而其修远兮! 吾将上下而求索! 与多边形的每个内角相邻的外角分别有两个 ，这两个外角是对顶角从与每个内角相邻的 两个外角中分别取一个相加，得到的和称为多 边形的外角和
