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1、第3章 控制系统的稳定性及特性 控制系统在典型输入信号作用下的动态过程的品质及 稳态性能直接表征了系统的优劣; 系统的稳定性是系统正常工作的首要条件 系统的稳定性完全由系统自身的结构和参数决定，而 与系统的输入无关； 系统的稳态误差是系统的稳态性能指标，它标志着系 统的控制精度； 知 识 要 点 u系统稳定的充分必要条件，Routh判据； u误差与稳态误差的定义，静态误差系数及系统的型别； 3.1 引言 一对控制系统性能的要求 1、系统应是稳定的； 2、系统在暂态过程中应满足暂态品质的要求； 3、系统达到稳态时，应满足给定的稳态误差要求。 二控制系统的自然状况 一般来讲，根据应用的需求或者对象
2、本身的特性，被控对 象既可以是稳定的也可以是不稳定的。 反馈控制系统的典型结构和常用传递函数。 如何定义系统的稳定性？ 如何判定系统的稳定？ 反馈控制系统的特性如何？有什么优势？ 三、控制系统的性能指标 稳态性能指标、动态性能指标。 1稳态性能指标 用稳态下系统的输出量的期望值与实际值之间的差值来 衡量稳态误差。 表现形式：稳态误差。 误差是系统控制精度或抗扰动能力的一种度量。 2. 动态性能指标 详见第4章。 3.2 反馈控制系统的结构及其传递函数 典型的反馈控制系统如图所示 。 前向通道：由偏差信号至输出信号的通道； 反馈通道：由输出信号至反馈信号的通道。 3.2.1 开环传递函数 系统开
3、环传递函数定义为： 将反馈通道H(s)的输出断开后，前向通道与反馈通道传递 函数的乘积。 即为 当H(s)1时，称为单位反馈系统。此时开环控制系统的 传递函数就是反馈控制系统前向通道的传递函数，即 此时有 开环控制系统与反馈控制系统的区别： 1）开环控制基于对被控对象进行补偿的原理来实现控制 ，以 Gc(s)Gp(s)=1为理想要求。 2）反馈控制的原理是基于偏差来产生控制作用。反馈控制系统的 控制器也称为串联校正装置，其输入为偏差信号。 3）若控制器的输入是系统的偏差信号，则为串联校正装置，若直 接为参考输入信号，则为开环控制器。 令 则 定义：C(s)/R(s)为被控信号对于控制信号的闭环
4、传 函，记为 ，即 1. 给定输入作用下的闭环传递函数 3.2.2 闭环传递闭环传递 函数 定义：C(s)/N(s)为被控信号对于扰动信号的闭环 传函，记为 。 令 称为误差传函 或偏差传函 2. 扰动作用下的闭环系统的传递函数 3.参考输入与干扰输入同时作用于系统时系统的总输出 （1）根据信号之间间的相互关系推导导 （2）利用线线性叠加原理 同样样可得上述结结果 3.3 闭环系统的稳定性 系统能否工作及工作状态如何？ 1、能够工作：稳定性(稳) 2、反应能力：动态特性(快) 3、工作效果：稳态特性(准) 3.3.1 稳定的概念与定义 定义：若线性系统在初始扰动的影响下，其过渡过程随时间的 推
5、移逐渐衰减并趋于零，则称系统为渐近稳定，简称稳定；反之若 在初始扰动影响下，系统的过渡过程随时间推移而发散，则称其不 稳定。 3.3.2 线性系统稳定的充要条件 稳定性是系统自身的固有特性，与外界输入信号无关。 线性系统稳定的充要条件： 闭环系统特征方程的所有根均具有负实部， 或其特征根全部位于s平面的左半部。 3.3.3 稳定判据 1. Routh稳定判据 系统的特征方程为 必要条件: （1）特征方程的各项系数ai(i=1,2,n)都不为零； （2）特征方程的各项系数ai(i=1,2,n)具有相同的符号。 充分条件： 劳斯阵列第一列所有元素为正。 劳斯阵列 第1列中符号改变了2次，特征方程有
6、2个根在右半s平面 ，所以系统是不稳定的. 例3-5 已知系统的特征方程为 试用劳斯判据判断系统的稳定性。 解： 构造劳斯表如下： 例3-6：考虑单位负反馈系统稳定的K的范围 闭环系统的特征方程为 根据劳斯判据得使系统稳定的充要条件是 劳斯表为： 解： 符号改变一次 符号改变一次 例 3-8 已知系统的特征方程 ， 试判断系统的正的特征根的个数。 解：它有一个系数为负的，根据劳斯判据知系统不稳定。 但究竟有几个右根，需列劳斯表： 劳斯表中第一列元素符号改变两次，系统有2个右半 平面的根 2. Routh判据的特殊情况（几点说明） 、为简化计算，用一个正整数同时乘以或除以某一行的各项， 不改变稳
7、定性的结论。 2、对于不稳定的系统，说明有特征根位于复平面的右侧，在 复平面右侧特征根的数目，就等于劳斯阵中第一列系数符号改 变的次数。 3、劳斯阵中出现某一行的第一列项为零，而其余各项不全为零 ，这时可以用一个有限小的正数来代替为零的那一项，然后按 照通常方法计算劳斯阵中的其余各项。列出劳斯阵以后，观察 第一列数值，当0时，含项的符号与上、下行符号进行比较 ，若系数符号相反，就说明有符号改变。 4、劳斯阵中出现全零行，表明系统存在一些大小相等，符号 相反的实根或一些共轭虚根。为继续计算劳斯阵，将不为零的 最后一行的各项组成一个辅助方程，由该方程对s求导数，用 求导得到的各项系数来代替为零行的
8、各项，然后继续按劳斯阵 的计算方法写出以下各行。 a.某行第1列元素为零，其余不为零，或不全为零。 劳斯判据的特殊情况1 稳定性判定： 劳斯表首列有2次符号变化，所以有 2个特征根位于s平面的右半平面， 系统是不稳定的。 该特征方程的根为：-1.9571， 0.0686j1.2736和-0.0901j0.5532。 例3-9：考虑系统特征方程如下： 试分析系统的稳定性。 解： 构造劳斯表如下： 例3-10 设系统特征方程为 ，试判别 系统的稳定性。 解： （1）特征方程各项系数大于0； （2）列劳斯阵 当0时， ，该项符号为负，因此，劳斯阵中 第一列系数符号改变了两次，系统不稳定，有两个特征根
9、位 于复平面右侧。 例3-11 设系统特征方程为 ， 试分析系统的稳定性。 解： 列劳斯表为 劳斯表中第1列元素不全为正数且符号改变了2次，所以系统 不稳定，有2个特征根位于s平面的右侧。 b.劳斯表某行全为零 说明特征方程中存在一些大小相等，但方向相反的根。 例3-11 给定控制系统特征方程为 试判别系统的稳定性。 解：由系统的特征方程计算劳斯表如下 劳斯阵中s3行的各项全部为零，为此用不为零的最后一行(s4 行 )的各项组成辅助方程为 将辅助方程对 s 求导数，得导数方程 用导数方程的系数取代 s3行中为零的项，并计算以 下各行的系数，得劳斯阵为 新劳斯阵的第一列系数全为正，即系统特征方程
10、中没有位 于复平面右侧的根。由于出现全零行，表明存在共轭虚根，这 些根可由辅助方程求出。 令 解得两对共轭虚根为 另外两个根是 例3-12 给定控制系统特征方程为 ，试判 别系统的稳定性。 解：由系统的特征方程计算劳斯表如下 劳斯阵中s1行的各项全部为零，为此用不为零的最后一行(s2 行 )的各项组成辅助方程为 将辅助方程对 s 求导数，得导数方程 用导数方程的系数取代 s3行中为零的项，并计算以 下各行的系数，得劳斯阵为 新劳斯阵的第一列系数全为正，即系统特征方程中没有位 于复平面右侧的根。 由于出现全零行，表明存在共轭虚根，这些根可由辅助方 程求出。 令 解得共轭虚根为 系统有一对共轭虚根
11、，系统处于临界稳定。 例3-14 设系统特征方程 ， 试判别系统的稳定性。 解：（1）特征方程各项系数大于0； （2）列劳斯阵 劳斯阵中 s3 行的各项全部为零，为此用不为零的最后一行 ( s4 行)的各项组成辅助方程为 将辅助方程对 s 求导数，得导数方程 解：系统特征方程为 为使系统稳定，必须： （1）特征方程各项系数大于0，即要求K0； （2）列劳斯阵 第一列各项系数应大于零，于是有 6K0，即K6。 为使系统稳定，K的取值范围应为0K6，临界开环增 益为Kp6。 例3-15 已知控制系统的闭环传递函数为 ， 试确定系统的临界开环增益。 3.Routh判据的应用 例3-16 设系如图所示
12、，试确定是闭环系统稳定的参数取值范围。 若系统以 的频率作等幅振荡，试确定振荡时K和 的值。 解：由图可求得系统的特征方程为 列劳斯表如下 为使系统稳定，必须： 所以使闭环系统稳定的参数取值范围为 若系统以 的频率作等幅振荡，则 可得 则系统存在 有一对纯虚根 又由已知条件，系统以 的频率作等幅振荡，则 所以系统以 的频率作等幅振荡时的参数值为 4.Hurwitz判据 设系统的特征方程为： 则系统稳定的充要条件是由特征方程的系数ai(i=1,2,n) 构成的主行列式及其主对角线上的各阶主子式均为正，即 例3-18 系统的特征方程为 试用赫尔维茨判据判断使系统稳定的条件。 解：列出行列式 由赫尔
13、维茨判据，该系统稳定的充分必要条件是： 或写成系统稳定的充分必要条件为 a00 a10 a20 a30 a1a2-a0a30 3.3.4 相对稳定性和稳定裕量 相对稳定性是指系统的特征根在s平面的左半平 面且与虚轴有一定的距离 ，并称为稳定裕量。 （1）以s=w代入原特征方程,得出以w为变量的新特 征方程(w)=0； （2）用劳斯判据判定方程(w)=0在w平面上虚轴右边 根的个数，等价于判定原特征方程在s平面上垂线 s=右边特征根数目。 处理方法： 例3-19 设系统的特征方程如下，试判断系统是否稳 定？如果稳定，有多大的稳定裕量？ 解：系统的劳斯表为： 系统稳定，采用试凑法，将s=w-2带入特征方程， 系统的劳斯表为： 说明多项式方程在w平面的虚轴上存在对称于原点的特 征根。根据定义，该闭环系统的稳定裕量为：=2。 事实上，多项式方程的根为：w1,2=j和 w3=1。这说明原特征方程在s平面上的根为： s1,2=2j和s3=3。 例3-19 由一个积分环节和两个惯性环节组成的闭环控制系统如 图所示，试分析系统的放大系数K及时间常数T1和T2的大小对系 统稳定性的影响。其中，K为系统的开环放大系数，T1和T2为两 个惯性环节的时间常数， 。 3.3.5 控制系统参
