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1、第四章 连续周期信号的付里 叶级数 4.1 引言 n付里叶分析的研究与应用已经经历了一百多年 n法国数学家付里叶1822年热的分析理论， 提出并证明了周期函数可以展开成正弦级数。 n其后，泊松、高斯等人把这一成果用到了电学 中。 n人们发现，频域分析法较之时域分析法有许多 突出的优点。 n后来为计算机应用，发明的快速付里叶变换 FFT n现在付里叶分析广泛应用于电子、通信 、计算机、力学、光学、量子物理和各 种线性系统分析领域。 4.2 连续周期信号在三角函数 集上的展开 1、物理意义 n在表征某种材料（如钢材）的性能的时 候，我们要用硬度多少，韧性多少等指 标系列来衡量，如果将这个指标系列看
2、 成是一个正交集，则指标的大小就是性 能在这一指标集上的分解，或投影。 n类似的，付里叶级数是将信号在正交三 角函数集上进行分解（投影）。 n分解的目的是为了更好地分析事物的特 征。 n正交集中的每一元素代表的是一种特征 （成分），而分解后对应该元素的系数 表征的是具有该特征（成分）的多少。 举例： W0=10Hz n由上例可以看出，既然f(t)，可以由f1(t)， f2(t) ， f3(t)经过线性叠加得到， f1(t)， f2(t)， f3(t) 可以看做基本信号，可以这样理解，线性叠加 后得到的f(t)包含1份f1(t)，2份f2(t)，3份f3(t) 。这对于分析f (t)的性质是很有
3、好处的。 n联想：是不是任何信号均可以由一系列基本信 号经过线性叠加得到呢？ n回答是肯定的。 2、三角函数集 n首先解决第一个问题：基本函数的选择 问题。 n方法是：选择正交的三角函数集 3、连续周期信号的付里叶展开 （三角函数形式） n下面解决第二个问题：求解对应的系数 n方法是上一章介绍的正交函数集的理论 4、连续周期信号的傅里叶展开 (一般形式) 5、周期信号的付里叶展开 （指数形式） 4.3 连续周期信号付里叶展开 的举例 n周期性脉冲：脉宽为，周期为T1 t f(t) T1 E a0 a1 a2 a3 a4 a5 C0 C1 C2 C3 C4 C5 0 1 2 3 4 5 6 7
4、8 9 10 F-1F0F1 4.4 有限项付里叶级数与均方 误差 n以周期性方波为例： f(t) t E/2 -E/2 T1 T1/2 F1(t) F2(t) F3(t) n由上例可见，当采用有限项付里叶级数 逼近原信号时，存在均方误差。 n该误差随采用项数的增加而减小，即线 性叠加后的信号与原信号越相似。 n当项数无穷大时，线性叠加信号可以无 限逼近原信号（均方误差趋向于0），即 可以认为线性叠加信号等于原信号。 4.5 小结 n周期信号傅里叶展开的正交函数集的选择 n周期信号傅里叶展开的三种形式：三角函数形 式、一般形式、指数形式，三种形式之间系数 的关系 n有限项付里叶级数的叠存在均方误差，该误差 随项数的增加而减小，并趋向于0 n周期信号傅里叶展开的物理意义：从各余弦项 的系数大小可以判断该信号包含多少高频或低 频信号 知识回顾知识回顾 Knowledge Knowledge ReviewReview
