刚体的转动原则

《刚体的转动原则》由会员分享，可在线阅读，更多相关《刚体的转动原则（57页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、 第五章第五章 刚体的转动刚体的转动 5-1 刚体的平动、转动和定轴转动 5-2 力矩 转动定律 转动惯量 5-3 转动动能 力矩的功 5-4 角动量 角动量守恒定律 理解描述刚体定轴转动的基本物理量的定义和性质； 理解力矩、转动动能和转动惯量的物理意义； 掌握定轴转动的转动定律和角动量定理； 掌握定轴转动的机械能守恒定律和角动量守恒定律。 教学要求 5-1 刚体的平动、转动和定轴转动 一、刚体 （理想模型） 刚体上的任一直线，在各时刻的位置始终保持彼止平 行的运动，叫做平动。如车刀、活塞等。因为在平动时刚 体上所有点的运动轨迹都相同，各时刻各个质点的位移、 速度、加速度都相同，所以可当作质点

2、来处理。 二、平动和转动（刚体的二种基本运动形态） 1、平动 在任何外力作用下，形状大小均不发生改变的物体称为 刚体。或者说运动中物体上任二点的间距不变。 说明 ： 1. 理想模型 ； 2. 在外力作用下，任意两点间均不发生相对位移； 3. 内力无穷大的特殊质点系。 如果刚体上的任意一条直线的方位在运动中变了，则称刚 体作转动。转动的轴线可变也可不变，若轴线固定不动，则 称定轴转动。作定轴转动的刚体上的各点，在运动中都绕同 一转轴作不同半径的圆周运动。而且，刚体上各点在相同时 间内转过相同的角度。 2、转动 刚体的一般运动可视为平动和转动的合成运动。 如车轮 的运动。 下面观看汽车车轮的运动。

3、 再如： 滚动轴心的平动+绕轴心的转动 抛体质心的抛物线运动+绕质心的转动 进动绕转轴转动+转轴绕定轴的转动 描述刚体定轴转动的物理量 1. 角位置、角位移 y x 0 P(t) P(t+dt) d 运动方程： 角位置 ：位矢与 ox 轴夹角。 角位移 d ：dt 时间内角位置增量。 1、刚体上各质点的角位移，角速 度和角加速度均相同； 2、各质点都在垂直转轴的平面内 运动，且作圆周运动。圆心在转 轴上。 三、定轴转动 刚体的定轴转动特点： 3. 线量 与角量的关系 y x 0 方向垂直 和 组成的平面 2. 角速度、 角加速度 定轴转动只有两个转动方向。 规定： 位矢从o x 轴逆时针方向转

4、动时角位置 为正 ，反之，为负。 若 是定值，刚体的运动称为： 若 是定值，刚体的运动称作： 匀角速转动 匀变速转动（或匀加速转动) 刚体的定轴转动的公式与一维直线运动的公式相似： 为恒矢 为恒值 Example 1、一飞轮作减速运动，其角加速度与角速度关系 为 ，k为比例系数，设初始角速度为 。求： 飞轮角速度与时间的关系； 当角速度由 时，在此时间内飞轮转过的圈数。 Solution： 在此时间内车轮转过的圈数= 一、力矩 1、定义： 转轴到力的作用点的矢径与作用力的叉积。 力矩的表示式 ： 大小： 2、注意：合力矩 合力的力矩 合力矩=力矩的和 (矢量和） （对定轴转动而言为代数和） 合

5、力为零，合力矩不一定为零 方向： d 力矩是矢量 F1 F2 转轴 （F1=F2） 5-2 力矩、转动定律、转动惯量 合力矩为零，合力不一定为零 力不在垂直于转轴的平面内， 1.与转轴垂直但通过转轴的力对转轴的力矩 为零；2.与转轴平行的力对转轴的力矩为零 ； 问：一对作用力与反作用力的力矩和等于多少？ 零 由此推知：质点组对任一轴的内力矩之和为零。 F1 F2 力矩 合力 中心力（过转轴的力）的 力矩0，如推门。 转轴 定点力矩： 垂直 和 构成的平面。 定轴力矩： 合力矩： M 只有两个方向，可用正、负表示。 而且有： 与转动垂直但通过转轴的力对转动不产生力矩； 与转轴平行的力对转轴不产生

6、力矩； 刚体内各质点间内力对转轴不产生力矩。 o d P 归结起来： 二、转动定律 力矩是改变转动状态的原因，是产生角加速度的原因。 转动物体也有保持原有转动状态不变的惯性，在一定力 矩作用下，转动惯性大的物体获得的角加速度小，反之则大 。所以，物体的角加速度与力矩成正比，与转动惯性成反比 。若用J 表示转动惯性（J 称为转动惯量）则有： 在国际单位制中，k = 1 则上式为 它说明了力矩的瞬时作用规律。什么时刻有力矩作用于 物体，物体什么时刻就有角加速度。转动定律相当重要， 其在转动中的地位就相当于平动中的牛顿第二定律。 把刚体看作质元 的集合，对 用牛顿第二定律 的切向式与法向式。 设一刚

7、体绕定轴转动，某质元受内力和 外力作用 转动定律可由牛顿第二定律推求 ： 推导的基本思想： 矢量式： 法向式： 切向式： 对整个刚体： 以 遍乘切向式： 刚体所受的合外力矩 （内力不改变动量） 定义： 转动定律 说明：（1）M, J, 均对同一轴而言，且具有瞬时性； （2）改变刚体转动状态的是力矩； （3）转动惯量是刚体转动惯性的度量。 牛顿第二定律与转动定律的对应关系 物理量：质点 m 刚体 J M 规 律：质点 牛顿第二定律 刚体 转动定律 不一定 Example：问：M大，是否 大？ 式中各量是对于同一轴而言，且与M的符号（转向） 相同。 该定律不但对固定轴（转轴）成立，对质心轴也成立。

8、 该定律是力矩的瞬时作用规律。 不一定 大，是否M大？ 对转动定律 M = J 应注意： （M大， 大， 的变化大。 可为0） （ 大，并不代表它的变化大，有可能它的 M=0，匀角速转动。） 对分离的质点组 ： 对质量连续分布的刚体对转轴的转动惯量： 2、转动惯量的物理意义：J是描述刚体转动惯性大小的量度 。(对比平动m是物体平动惯性大小的量度） 三、转动惯量 m1 r1 m2 r2 m3 r3 转轴 1、转动惯量的定义： 对质点：J = m r 2 其中 r 为到转轴的距离。 与刚体的总质量有关 与质量的分布有关 与转轴的位置有关 4、转动惯量J的计算方法：（可将质量元变为线元、面元 、体元

9、积分求得） 3、J与下列因素有关： Example 1、有一均匀细杆，杆长为 l ，质量为m，c为杆的 中点。设转轴oo通过c点且与杆垂直，杆绕轴转动，求转动 惯量Jc=？ Solution ：取x轴方向如图，杆的线密 度为 = m/l ，取小质元dm= dx，则 0 x 0 0 x dx C 0 x 0 x dx A 0 若将转轴移到A点，求 JA=？ 仍有小质元dm= dx，（ =m/l） 平行轴定理：刚体对某轴的转动惯量J ，等于刚体对通过质心的平行轴的转动惯 量 Jc ，加上刚体质量 m 乘以两平行轴 之间的距离d的平方。即： d C B 可见转轴不同，转动惯量是不同的。 那么将转轴从

10、C点平行移到A点转动惯量改变了多少？ C 移项得： JA= JC + md2 转动惯量的平行轴定理 圆环圆环 转轴通过中心转轴通过中心 与环面垂直与环面垂直 圆环圆环 转轴沿直径转轴沿直径 圆盘圆盘 转轴通过中心转轴通过中心 与盘面垂直与盘面垂直 圆筒圆筒 转轴沿转轴沿 几何轴几何轴 圆柱体圆柱体 转轴沿转轴沿 几何轴几何轴 圆柱体圆柱体 转轴过转轴过 中心与几何轴相垂中心与几何轴相垂 细棒细棒转轴转轴 过中心过中心 与棒相垂与棒相垂 细棒细棒转轴转轴 过端点过端点 与棒相垂与棒相垂 球体球体 转轴沿直径转轴沿直径 球壳球壳 转轴沿直径转轴沿直径 几种常用简单几何形状、密度均匀物体的转动惯量几

11、种常用简单几何形状、密度均匀物体的转动惯量 Solution ：取OX轴如图所示， 则棍上任一段元dx的 质量 至转轴的距离 dx X d O r X O Example 2、质量为m、长度为l的均质细直棍，对通过其中 心O且与棍斜交成角的轴的转动惯量。 过棒一端 O、仍与棍斜交成角 的轴的转动惯量J。 转动惯量 ： 讨论： 当 时， 即为棍对于过它的中心 且与棍垂直的转轴的转动惯量。 为棍对过棍一端、且与棍 垂直的轴的转动惯量。 由平行轴定理： Example 3、求质量为m，半径为R的细圆环对过环心垂直于 环面的转轴的转动惯量。 Solution ：圆环的线密度为=m/2R 环上取小质元

12、dm= dl = R d 则 dl d Example 4、求质量为m，半径为R的薄圆盘对过圆心垂直 于盘面的转轴的转动惯量。 r dr Solution ：圆盘的面密度为 =m/R2 取一半径为 r，宽为dr 的圆环为质元 dm = 2r dr 即圆盘对其中心轴的转动惯量为 J =mR2/2 。所以定滑 轮绕中心轴的转动惯量为J =mR2/2 ，滑轮绕其过边缘一点 的平行轴的转动惯量为 J = mR2/2 + mR2 。（平行轴定理 ） 转动惯量的计算只是对规则物体而言，对不规则的物体 的转动惯量只能用实验的方法得出。 Example 5、如图所示，求大圆盘的实心部分对O轴（垂直 于盘面）的

13、转动惯量。 （已知 R = 2 r ，大盘质量为M，小 盘质量为m） Solution ：由于转动惯量有可加性， 所以先分别求出大盘和小盘对O轴的 转动惯量，再把小盘的除去即得大盘 实心部分对O轴的转动惯量。 大盘对O轴的转动惯量：J1 = MR2/2 小盘对O轴的转动惯量：J2 = mr2/2 + mr2 = 3mr2/2 所以实心部分对O轴的转动惯量为： 0 R r M m Example 6、一质量为M、半径为R的定滑轮上面绕有细绳，绳 的一端固定在滑轮上（略去轮轴处的摩檫，绳不可伸长不计 质量），另一端挂有一质量为m 的物体而下垂。求物体m由静 止下落h高度时的速度和此时轮的角速度。

14、Solution ： 对象：M刚体 m 质点 受力分析：如图所示 依牛顿第二定律与转动定律列方程 h T1 T1 mg m m M 对物体有： mg - T = m a 对滑轮有： TR = J = M R2 /2 角量和线量的关系： a = R 运动学关系： v2 = v02 + 2ah = 2ah 解方程得 ： 在该题中如果在滑轮上加一恒力矩，使物 体以v0的速度匀速上升，撤去力矩后，问过 多少时间后滑轮开始反向运动？ 解：分析：撤去力矩后，滑轮和物体受力 和前面完全一样 。因此对物体应用牛顿第二 定律和对滑轮应用转动定律的形式完全一样 。 h T1 T1 mg m m M v0 对物体有： mg - T = m a 对滑轮有： TR = J = M R2 /2 角量和线量的关系： a = R 运动学关系： v = v0 + at = 0 由第1、2、3个方程可解得： 由第4个方程可解得： h T1 T1 mg m m M v0 看书123页例题 5 - 4（讲解） 例题5-4 半径分别为R1、R2的阶梯形滑轮转动惯 量为 J ，其上反向绕有两根细绳，各悬挂质量为m1 、m2的物体，忽略滑轮与轴间摩擦，求滑轮的角加 速度 及各绳中张力FT1、FT2。 m1 m2 m2 m1 解 分析各物体的 受力情况，对轻绳应有 假设滑轮沿顺时针 方向转动 选取物体运动方向为坐标轴正向，根