《第2章-Poisson过程资料》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第2章-Poisson过程资料（49页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 随机数学 第二章 泊松过程与更新过程 教师: 陈 萍 prob123 2 2.0 2.0 计数过程计数过程 定义 称一个随机过程 是一个计数计数过程 (point process),若N(t) 满足: 1) N(t)1) N(t)取非负整数值；取非负整数值； 2）若s0和充分小的 ，有 其中 为 的高阶无穷小。又称 为Poission过 程的强度系数 易见易见， Poission过程是一个Levy过程。 5 定理2.1.1 若N(t),t0为Poission过程，则 利用定理2.1.1 ,可得到Poission过程的等价定义:即 定义2.1.2 计数过程N(t),t0称为具有参数(或强度)
2、 的Poission过程，如果 1）N(0)=0 ， 2）具有独立增量性， 3） 此即 6 例例 2.1.1 2.1.1 设设N(t)N(t)表示表示0,t0,t时段内事件时段内事件A A的发生次数的发生次数, ,且且 N(t),tN(t),t 0 0 形成强度为形成强度为 的的PoissonPoisson过过过过程程. . 如果每次事件如果每次事件 A A发发发发生生时时时时以概率以概率p p能能够够够够被被记录记录记录记录 下来下来, , 并以并以M(t)M(t)表示到表示到t t 时时时时刻刻记录记录记录记录 下来的事件下来的事件总总总总数数, , 试证试证试证试证 明明M(t),tM(
3、t),t 0 0 形成强形成强 度为度为 p p 的的PoissonPoisson流流. . 解：对照解：对照PoissonPoisson过程的定义过程的定义2.1.22.1.2 1) M(t),t1) M(t),t 00是一计数过程,且M(0)=0 ; ; 2) 2) 每次事件发生时，对它的记录与对其它事件的记每次事件发生时，对它的记录与对其它事件的记 录独立，故录独立，故M(t),tM(t),t 00具有独立增量性； 只需验证 3) 7 由全概率公式，由全概率公式， 8 设首次地震发生(t=0)后的一段时间内，破坏性余震 发生序列是一个强度为(次/小时)的泊松过程.任意 时刻t0,以V(t
4、)表示t时刻之前最后一次破坏性余震直 到t时刻所经历的时间;以W(t)表示t时刻之后直到下 一次破坏性余震发生的剩余时间. (1)求V(t)与W(t)的分布函数; V(t)与W(t)独立吗? (2)已知在此之前最后一次破坏性余震发生到现在已 过了s小时,求未来t小时内没有破坏性余震发生的概 率. 9 解解: (1): (1) 10 因为因为泊松过程是独立增量过程, 故故V(t)V(t)与与W(t)W(t)独立独立. . (2)(2) 11 2.2 泊松过程的性质 2.2.1 到达时间间隔与到达时刻的分布 设N(t),t0为泊松过程，N(t)表示在0,t内事 件发生的次数，令 ， 表示第k个事件
5、发生的 时刻; 表示第k-1个事件与第k个事件发生 的时间间隔，即 先讨论到达时间间隔先讨论到达时间间隔 的的T T k k 分布分布. . 12 定理2.2.1 (p62)到达时间间隔序列到达时间间隔序列 相互独立同分布，且服从参数为相互独立同分布，且服从参数为 的指数分布的指数分布. . 定理2.2.1 提供了Poisson过程的参数估计方法. 设事件的发生过程设事件的发生过程N(t),tN(t),t 00为为PoissonPoisson过程过程. . 某日从某日从0 0 点开始点开始, , 记录到事件发生时刻为记录到事件发生时刻为0:33, 1:00, 2:27, 3:05, 0:33,
6、 1:00, 2:27, 3:05, 3:363:36的取值的取值: t: t 1 1 tt 2 2 ,t,t n n T. T. 试用极大似然法估计该试用极大似然法估计该 过程的强度过程的强度 . . 13 参数参数 的的极大似然估计极大似然估计: : 一般地一般地, , 若从若从0 0时刻开始时刻开始, , 观察到观察到PoissonPoisson过程过程 N(t),tN(t),t 00的一段样本轨道的一段样本轨道: : 1, 1, n n的取值的取值: : t1t2,tn , t1t2,0,N(t)P(t),且在N(t)=n条件下， 的条件概率密度是 则N(t), t0为泊松过程. 证略
7、 思考: 如何利用以上定理 对泊松过程进行计算机模拟和检验? 26 2.3 Poission过程的推广 (3) (3) 若若 , , 则则 定理定理2.3.12.3.1 (1)(1)X(t), tX(t), t 00是平稳独立增量过程是平稳独立增量过程; ; (2)(2)其特征函数为其特征函数为 定义定义2.3.2.3.1 1 设设N(t),t0为强度为强度为 Poission过程, YY i i , , i i 1 1 是独立同分布的随机变量序列是独立同分布的随机变量序列, , 且且 YY i i , i, i 11与与 N(t), tN(t), t 0 0 独立独立, , 记记 称称X(t
8、), tX(t), t 00为为复合复合PoissionPoission过程过程( (compound poisson processes).compound poisson processes). 27 例例2.3.1 2.3.1 设保险公司在设保险公司在0,t0,t时段内接到的索赔次数时段内接到的索赔次数N(t)N(t)形形 成强度为成强度为 的的PoissonPoisson流流, , 且设保险公司第且设保险公司第i i次赔偿额是次赔偿额是Y Y i i , , YY i i , i=1,2, , i=1,2, 独立同正态分布独立同正态分布 , , 则每月要付出则每月要付出 的赔偿额服从什
9、么分布？一年中它要付出的平均金额的赔偿额服从什么分布？一年中它要付出的平均金额 是多少是多少? ? 解：解：00，t t内赔偿额内赔偿额 形成复合形成复合PoissionPoission过程过程 ，每月要付出的赔偿额特征函数为，每月要付出的赔偿额特征函数为 一年中它要付出的平均金额是一年中它要付出的平均金额是 28 条件条件PoissonPoisson过程过程 定义定义2.3.22.3.2 设设 是一个正的随机是一个正的随机变变变变量量, , 分布函数分布函数为为为为 G(x),xG(x),x 0, 0, 设设设设N(t),tN(t),t 0 0 是一是一计计计计数数过过过过程程, , 且当且
10、当给给给给定定 = = 时时时时, , N(t),tN(t),t 00是一是一PoissonPoisson过程过程, , 即即 , , 有有 称称N(t),tN(t),t 0 0 是条件是条件PoissonPoisson过程过程. . 定理定理2.3.22.3.2 设设N(t), tN(t), t 00是条件是条件PoissonPoisson过程过程, ,且且 则则 (2) EN(t)=tE(2) EN(t)=tE (3)(3) 29 例例2.3.22.3.2 设意外事故的发生频率受某种未知因素影响设意外事故的发生频率受某种未知因素影响, , 有两种可能有两种可能 1 1 , , 2 2 ,
11、, 且且 0p10p0,N(t+s)-N(t)为具有参数 的Poisson分布. 32 设某设备的使用期限为设某设备的使用期限为1010年年, , 在前在前5 5年内它平均年内它平均2.52.5年年 需要维修一次需要维修一次, ,后后5 5年平均年平均2 2年需要维修一次年需要维修一次. .试求它在试求它在 使用期内只维修过一次的概率使用期内只维修过一次的概率 33 2.4 更新过程 一个计数过程一个计数过程, ,若它们相邻事件到达时间间隔若它们相邻事件到达时间间隔T T n n 是指是指 数分布数分布, ,则此过程为则此过程为PoissonPoisson流流. . 若是一般分布若是一般分布,
12、 ,则此过则此过 程为更新过程程为更新过程(renewal processes).(renewal processes). 更新机器零件问题是更新过程的典型例子更新机器零件问题是更新过程的典型例子. .某机器某机器 上有一个零件是易损件上有一个零件是易损件, ,每当它损坏时每当它损坏时, ,就要换上新的就要换上新的 零件零件.t=0.t=0时开始装上一个零件时开始装上一个零件, ,机器持续地运转一段时机器持续地运转一段时 间间T T 1 1 , , 该零件损坏该零件损坏, ,立即用寿命立即用寿命T T 2 2 的零件来更换的零件来更换, ,这样不这样不 断地进行下去断地进行下去, ,关于这一列
13、关于这一列TT n n 的更新过程的更新过程N(t),tN(t),t 00 就表示到就表示到t t 时刻为止更换的零件数时刻为止更换的零件数. . 34 则称则称 N(t),tN(t),t 0 0 为为更新过程更新过程。 2.4.1 更新过程的定义 显然显然, ,更新过程是一个计数过程更新过程是一个计数过程. .在更新过程中在更新过程中, ,我们将事我们将事 件发生一次叫作一次更新件发生一次叫作一次更新, , 从而定义中从而定义中T T n n 就是第就是第n-1n-1次和次和 第第n n次更新相距的时间次更新相距的时间, , n n 是第是第n n次更新发生的时刻次更新发生的时刻. N(t)
14、. N(t) 就是就是t t时刻之前发生的总的更新次数时刻之前发生的总的更新次数. . 定义定义2.4.12.4.1 设设 为独立同分布的非负随机变量序为独立同分布的非负随机变量序 列，分布函数为列，分布函数为F(x) , F(x) , 且且F(0)1F(0)1。令。令 0 0 =0 =0 ， 记记 35 更新过程一定是独立增量过程吗更新过程一定是独立增量过程吗? ? 设设 36 更新过程的基本结论： 过程的统计特性可由序列 的共同分布完全 刻画； N(t)是关于t的单调递增阶梯函数，对于固定的t， N(t)为取非负整数值的随机变量； 的分布函数为 , ,即在有限时间内不可能进行无穷次更新即在有限时间内不可能进行无穷次更新. . N(t)的概率分布为 37 例例2.4.12.4.1 设更新过程设更新过程 的更新间距的更新间距 服从参服从参 数为数为m,m, 的的GammaGamma分布，即分布，即 的概率密度函数为的概率密度函数为 求求 解解 备查备查：1 1） 的特征函数为的特征函数
