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1、第9章 电荷与真空中的静电场第9章 电荷与真空中的静电场9-1 两个小球都带正电，总共带有电荷,如果当两小球相距2.0m时，任一球受另一球的斥力为1.0N.试求：总电荷在两球上是如何分配的。分析：运用库仑定律求解。解：如解图9-1所示，设两小球分别带电q1，q2则有 解图9-1 由库仑定律得 由联立解得 9-2 两根长的丝线由一点挂下，每根丝线的下端都系着一个质量为的小球.当这两个小球都带有等量的正电荷时，每根丝线都平衡在与沿垂线成60角的位置上。求每一个小球的电量。分析：对小球进行受力分析，运用库仑定律及小球平衡时所受力的相互关系求解。解：设两小球带电，小球受力如解图9-2所示 解图9-2
2、联立得 其中代入式，得9-3 在电场中某一点的场强定义为，若该点没有试验电荷，那么该点是否存在电场？为什么？答：若该点没有试验电荷，该点的场强不变.因为场强是描述电场性质的物理量，仅与场源电荷的分布及空间位置有关，与试验电荷无关，从库仑定律知道，试验电荷所受力与成正比，故是与无关的。题图9-49-4 直角三角形ABC如题图9-4所示，AB为斜边，A点上有一点荷，B点上有一点电荷，已知，求C点电场强度的大小和方向(,).分析：运用点电荷场强公式及场强叠加原理求解。解图9-4C解：如解图9-4所示C点的电场强度为C点电场强度的大小 方向为 即方向与BC边成33.7。解图9-59-5 两个点电荷的间
3、距为0.1m，求距离它们都是0.1m处的电场强度。分析：运用点电荷场强公式及场强叠加原理求解。解：如解图9-5所示 ，沿x、y轴分解电场强度为 题图9-69-6有一边长为a的如题图9-6所示的正六角形，四个顶点都放有电荷q，两个顶点放有电荷q。试计算图中在六角形中心O点处的场强。分析：运用点电荷场强公式及场强叠加原理求解。解：如解图9-6所示.设，各点电荷在O点产生的电场强度大小均为解图9-6 各电场强度方向如解图9-6所示，与抵消. 根据矢量合成，按余弦定理有 解得 方向垂直向下.9-7 电荷以线密度均匀地分布在长为l的直线上，求带电直线的中垂线上与带电直线相距为R的点的场强。分析：将带电直
4、线无限分割，取一段电荷元，运用点电荷场强公式表示电荷元的场强，再积分求解。注意：先将电荷元产生的场强按坐标轴分解然后积分，并利用场强对称性。解：如解图9-7建立坐标，带电直线上任一电荷元在P点产生的场强大小为 解图9-7根据对称性分析，合场强的方向沿y轴的方向9-8 两个点电荷q1和q2相距为l，若（1）两电荷同号；（2）两电荷异号，求电荷连线上电场强度为零的点的位置.分析：运用点电荷场强公式及场强叠加原理求解。解：如解图9-8所示建立坐标系，取q1为坐标原点，指向q2的方向为x轴正方向.(1) 两电荷同号.场强为零的点只可能在q1、q2之间，设距q1为x的A点.解图9-8据题意有即 解得 (
5、2) 两电荷异号.场强为零的点在q1q2连线的延长线或反向延长线上，即E1=E2解之得：9-9无限长均匀带电直线，电荷线密度为,被折成互成直角的两部分.试求如题图9-9所示的P点和P点的电场强度.题图9-9分析：运用均匀带电细棒附近的场强公式及场强叠加原理求解。解：以P点为坐标原点，建立如解图9-10 (a) 所示坐标系均匀带电细棒产生的场强公式解图9-9 (a)在P点，所以竖直棒在P点的场强为解图9-9 (b)水平棒在P点的场强为所以在P点的合场强即P点的合场强的大小为方向与x轴正方向成45同理以P点为坐标原点，建立如图题9-10解图(2)坐标在P点，所以竖直棒在P点的场强为水平棒在P点的场
6、强为所以在P点的合场强为即P点的合场强的大小为方向与x轴成-135. 题图9-109-10 无限长均匀带电棒上的线电荷密度为,上的线电荷密度为，与平行,在与，垂直的平面上有一点P,它们之间的距离如题图9-10所示,求P点的电场强度。分析：运用无限长均匀带电细棒的场强公式及场强叠加原理求解。解：在P点产生的场强为在P点产生的场强大小为方向如解图9-11所示。把写成分量形式，有在P点产生的合场强为解图9-10题图9-119-11 一细棒被弯成半径为R的半圆形,其上部均匀分布有电荷,下部均匀分布电荷，如题图9-11所示,求圆心O点处的电场强度。分析：在半圆环说上取电荷元，运用点电荷场强公式及场强叠加
7、原理积分求解。将带电半圆环分割成无数个电荷元，运用点电荷场强公式表示电荷元场强。将电荷元电场进行矢量分解，再进行对称性分析，然后积分求解。解图9-11解：把圆环分成无限多线元，所带电量为，产生的场强为则的大小为 把分解成dEx和dEy，则 由于、带电量的对称性，x轴上的分量相互抵消，则所以圆环在O点产生的场强为 9-12.一均匀带电球壳内半径，外半径，电荷体密度为，求：到球心距离分别为处场点的场强分析 此题属于球对称性电场，三个场点分别位于球层内半径以内、内外半径之间、外半径以外三个区域，由高斯定理做高斯面求解。解: 根据高斯定理得当时，得时， ， 方向沿半径向外cm时, 沿半径向外.题图9-
8、139-13 两平行无限大均匀带电平面上的面电荷密度分别为+和-2,如题图9-13所示,(1)求图中三个区域的场强，的表达式；（2）若，那么，各多大？分析：首先确定场强正方向，然后利用无限大均匀带电平板场强及场强叠加原理求解。解：（1）无限大均匀带电平板周围一点的场强大小为在区域区域区域（2）若则9-14 点电荷位于一边长为a的立方体中心，试求（1）在该点电荷电场中穿过立方体的任一个面的电通量；（2）若将该场源点电荷移动到该立方体的一个顶点上，这时穿过立方体各面的电通量是多少?分析 此题需结合高斯定理以及对称性关系来求解。解: (1) 由高斯定理可知，通过立方体的总的电通量立方体有六个面，当在
9、立方体中心时，每个面上电通量相等，所以通过每个面的电通量为(2)电荷在顶点时，将立方体延伸为边长的立方体，使处于边长的立方体中心，则通过边长的正方形上电通量边长的正方形共有四个边长的正方形，由于对称性，则通过边长为的正方形的电通量为， 9-15 一均匀带电半圆环，半径为R，电量为+Q，求环心处的电势。分析：将带电半圆环分割成无数个电荷元，根据点电荷电势公式表示电荷元的电势，再利用电势叠加原理求解。解：把半圆环无穷分割，如解图9-15取线元，其带电量为，则其在圆心O的电势为：解图9-15所以整个半圆环在环心O点处的电势为9-16 一面电荷密度为的无限大均匀带电平面，若以该平面处为电势零点，求带电
10、平面周围的电势分布。分析：利用无限大均匀带电平面的场强公式及电势与电场强度的积分关系求解。解图9-16解：如解图9-16所示建立坐标系，所以无限大平面周围的场强分布为取该平面电势为零，则周围任一点P的电势为题图9-179-17 如题图9-17所示，已知，, ,，D为连线中点，求：（1）D点和B点的电势；(2) A点和C点的电势；解图9-17（3）将电量为的点电荷q0由A点移到C点，电场力所做的功；（4）将q0由B点移到D点，电场力所做的功。分析：由点电荷的电势的公式及叠加原理求电势。静电力是保守力，保守力做功等于从初位置到末位置势能增量的负值。解：（1）建立如解图9-17所示坐标系，由点电荷产
11、生的电势的叠加得同理，可得 （2） （3）将点电荷q0由A点移到C点，电场力所做的功（4）将q0由B点移到D点，电场力所做的功题图9-189-18 如题图9-18所示，在，两点处放有电量分别为，的点电荷，间距离为2，现将另一正试验点电荷从点经过半圆弧移到点，求移动过程中电场力做的功 分析 同上题。解: 点的电势为 点的电势为所以 9-19 两点电荷=1.510-8C，=3.010-8C，相距=42cm，要把它们之间的距离变为=25cm，电场力做功为多少?分析 此题用电场力做功定义式积分求解，需注意电场力做功的正负值。解: 9-20 半径为和( )的两无限长同轴圆柱面，单位长度上分别带有电量和,
12、试求:(1) 空间场强分布；(2) 两圆柱面之间的电势差。分析 此题为球对称性电场。（1）由高斯定理求场强分布。该带电体将空间分为三个部分：小圆柱面内；两圆柱面间；大圆柱面外，因此需要做三次高斯面（同心球面），场强有三种表达式；（2）由电势差定义式，该积分式中的场强应用两圆柱面间场强代入计算。解: （1）由高斯定理求对称性电场的场强分布 取同轴圆柱形高斯面，侧面积，则 小圆柱面内： ， 两圆柱面间：， 方向沿径向向外大圆柱面外：， （2）9-21 在半径为R1和R2的两个同心球面上分别均匀带电q1和q2,求在, ,三个区域内的电势分布。分析：由于场为球对称的，作同心球面，利用高斯定理求出场强。再利用电势与场强的积分关系求电势。注意：积分路径上的场强是分段函数。解图9-21解：利用高斯定理求出空间的电场强度： 则空间电势的分布： 13
