理论力学5—点的运动学详细描述和刚体的基本运动

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1、运动学 运动学是研究物体运动的几何性质的 科学。也就是从几何学方面来研究物 体的机械运动。运动学的内容包括: 运动方程、轨迹、速度和加速度。 引 言 物体运动的描述是相对的。将观察者所在 的物体称为参考体，固连在参考体上的坐 标系称为参考坐标系。只有明确参考系来 描述物体的运动才有意义。 时间概念要明确: 瞬时t 和 时间间隔t 5.1 点的运动学描述 本章将介绍研究点的运动的三种方法, 即: 矢量 法、直角坐标法和自然坐标法。 点运动时, 在空间所占的位置随时间连续变化而 形成的曲线, 称为点的运动轨迹。点的运动可按 轨迹形状分为直线运动和曲线运动。当轨迹为 圆时称为圆周运动。 表示点的位置

2、随时间变化规律的数学方程称为 点的运动方程。 本章研究的内容为点的运动方程、轨迹、速度 和加速度, 以及它们之间的关系。 1. 点的运动方程 M r O 选取参考系上某确定点O为坐标原点，自 点O向动点M作矢量 ，称为点M相对原点O的 位置矢量，简称矢径。当动点M运动时，矢径 随时间而变化，并且是时间的单值连续函数， 即 5.1.1 矢量法 2. 速度 5.1.1 矢量法 动点的速度等于它的矢径对时间的一阶导数。 A M B O M 动点的速度矢沿着矢径的矢端曲线的切线 ，即沿动点运动轨迹的切线，并与此点运动的 方向一致。 3. 加速度 点的速度矢对时间的变化率称为加速度。 点的加速度也是矢量

3、，它表征了速度大小和方 向的变化。点的加速度等于它的速度对时间的 一阶导数，也等于它的矢径对时间的二阶导数 。 5.1.1 矢量法 有时为了方便，在字母上方加“.”表示该量 对时间的一阶导数，加“.”表示该量对时间的二 阶导数。 这组方程叫做用直角坐标表示的点的运动方程。 如以矢径r的起点为直角坐标系的原点， 则矢径r可表示为： 5.1.2 直角坐标法 M r O k i j y y x x z z 速度在各坐标轴上的投影等于动点的各对应坐 标对时间的一阶导数。 速度 5.1.2 直角坐标法 若已知速度在各个方向上的投影，则速度的大 小为: 其方向余弦为 加速度在各坐标轴上的投影等于动点的各对

4、应 坐标对时间的二阶导数。 加速度 5.1.2 直角坐标法 若已知加速度在三个坐标轴上的投影，则加速 度的大小为 其方向余弦为 例5-1 曲柄连杆机构是由曲柄、连杆及滑块组 成的机构。当曲柄OA绕O 轴转动时，由于连 杆AB带动，滑块沿直线作往复运动。设曲柄 OA长为r，以角速度w 绕O 轴转动，即jwt ，连杆AB长为l。试求滑块B的运动方程、速 度和加速度。（ r与l的比值较小） 解：取滑块B的直线 轨迹为x轴，曲柄的 转动中心O为坐标原 点。在经过 t 秒后， 此时B点的坐标为： A B O C l x w x j 整理可得B的运 动方程： A B O C l x w x j 由此可得滑

5、块B的速度和加速度： 将右边最后一项展开： 习题分析 5-15 A O B D C x y 这就是弧坐标形式的点的运动方程。 5.1.3 自然坐标法 1 弧坐标 动点M在轨迹上的位置也可以这样来确定：在 轨迹上任选一点O为参考点，并设点O的某一侧 为正向，动点M在轨迹上的位置由弧长s确定， 视弧长s为代数量，称它为动点M在轨迹上的弧 坐标。当动点M运动时，s随着时间变化，它是 时间 t 的单值连续函数，即 MO s (-) (+) 2 自然轴系 t1 t1 t M1 5.1.3 自然坐标法 即以点M为原点，以切线、主法线和副法 线为坐标轴组成的正交坐标系称为曲线在点M 的自然坐标系，这三个轴称

6、为自然坐标轴。且 三个方向单位矢量满足右手法则，即 M n b t 5.1.3 自然坐标法 曲线切线的转角对弧长一阶导数的绝对 值称为曲线在点M处的曲率。曲率的倒数称 为曲线在点M处的曲率半径。 曲率 M M s j t t 5.1.3 自然坐标法 两个相关的计算 结果(当t0) O M M t t t j s t A B 5.1.3 自然坐标法 3 点的速度 用矢量表示为： 在曲线运动中，点的速度是矢量。它的大 小等于弧坐标对于时间的一阶导数，它的 方向沿轨迹的切线，并指向运动的一方。 5.1.3 自然坐标法 A M B O M s 4 点的切向加速度和法向加速度 由于 所以 5.1.3 自

7、然坐标法 上式表明加速度矢量a是由两个分矢量组成：分 矢量 的方向永远沿轨迹的切线方向，称为切 向加速度，它表明速度大小随时间的变化率； 分矢量 的方向永远沿主法线的方向，称为法 向加速度，它表明速度方向随时间的变化率。 4 点的切向加速度和法向加速度 5.1.3 自然坐标法 全加速度为at和an的矢量和 全加速度的大小和方 向由下列二式决定： 大小： 方向： 5.1.3 自然坐标法 了解上述关系后，容易得到曲线运动的运 动规律。而匀速曲线运动，即动点速度的代数 值保持不变。 如果动点的切向加速度的代数值保持不变 ，则动点的运动称为匀变速曲线运动。现在来 求它的运动规律。 两种特殊情况 例5-

8、2 已知点的运动方程为x2sin4t m, y 2cos4t m, z4t m。求点运动轨迹的曲率半径。 解: 点的速度和加速度在三个坐标轴上的投影 分别为: M M j R o j 例5-3 半径为R的轮子沿直线轨道纯滚动(无滑 动地滚动)。设轮子保持在同一竖直平面内运动 , , 试分析轮子边缘一点M 的运动。 旋轮线 解：取坐标系Axy 如图所示, 并设M点所在的一 个最低位置为原点A, 则当轮子转过一个角度后 , M点坐标为 这是旋轮线的参数方程。 o R C A x y M点的速度为: 当点M与地面接触, 即 时,点M速度等 于零。 o R C A x y 例5-4 下图为料斗提升机示

9、意图。料斗通过钢丝 绳由绕水平轴O转动的卷筒提升。已知: 卷筒的 半径为R16 cm, 料斗沿铅垂提升的运动方程为 y2t2, y以cm记, t 以s计。求卷筒边缘一点M在t 4 s时的速度和加速度。 O M R A0 A M0 y 解: 此时M点的切向加速度为: v4416 cm/s 当t=4 s时速度为: q atan a M点的法向加速度为: M点的全加速度为: O M R A0 A M0 y q atan a 如果在物体内任取一直线段，在运动过程 中这条直线段始终与它的最初位置平行，这种 运动称为平行移动，简称平移。 5.2 刚体的平移 此 处 有 影 片 播 放 结论：当刚体平行移动

10、时，其上各点的轨迹形状相同 ；在每一瞬时，各点的速度相同，加速度也相同。 因此，研究刚体的平移，可以归结为研究刚体 内任一点的运动。 5.2 刚体的平移 y x z A BB1 B2 A2 A1 O 同时要注意：刚体平移时，刚体上的点既可以 作直线运动，也可以作曲线运动。 在刚体运动的过程中，若刚体上或其延伸 部分上有一条直线始终不动，具有这样一种特 征的刚体的运动称为绕定轴转动，简称转动。 该固定不动的直线称为转轴。 5.3 刚体绕定轴转动 此 处 有 影 片 播 放 如图，两平面间 的夹角用j表示，称 为刚体的转角。转角 j是一个代数量，它 确定了刚体的位置， 它的符号规定如下： 自z轴的

11、正端往负端看 ，从固定面起按逆时 针转向计算取正值； 按顺时针转向计算取 负值。并用弧度(rad) 表示。 5.3 刚体绕定轴转动 当刚体转动时，角j 是时间t的单值连续函数，即 这就是刚体绕定轴转动的运动方程。 5.3 刚体绕定轴转动 转角j对时间的一阶导数，称为刚体的瞬时角速 度，用w表示: 角速度表征刚体转动的快慢和方向，其单位用 rad/s (弧度/秒)表示。 角速度是代数量，从轴的正端向负端看，刚体 逆时针转动时角速度取正值，反之取负值。 角速度对时间的一阶导数，称为刚体的瞬时 角加速度，用字母 表示，即 5.3 刚体绕定轴的转动 角加速度表征角速度变化的快慢，其单位用 rad/s2

12、 (弧度/秒2)表示。角加速度也是代数量 。 如果w与同号，则转动是加速的；如果w与 异号，则转动是减速的。 5.3 刚体绕定轴的转动 工程上也常用转速n来表示刚体转动的快 慢。n的单位是转/分(rpm)，w与n的转换关系 为 匀速转动 匀变速转动 两种特殊情况 当刚体绕定轴转动时，刚体内任意一点都作圆 周运动，圆心在轴线上，圆周的半径R等于该点 到轴线的垂直距离。 5.3.2 转动刚体上各点的速度和加速度 动点速度的大小为: 5.3.2 转动刚体上各点的速度和加速度 设刚体由定平面A绕 定轴O转动任一角度j ，到达B位置，其上 任一点由O运动到M 。以固定点O为弧坐 标s的原点，按角j的 正

13、向规定弧坐标s的正 向，于是 即：转动刚体内任一点速度的大小等于刚体角 速度与该点到轴线的垂直距离的乘积，它的方 向沿圆周的切线而指向转动的一方。 5.3.2 转动刚体上各点的速度和加速度 5.3.2 转动刚体上各点的速度和加速度 点M的加速度有切向加速度和法向加速度，切 向加速度为： 即：转动刚体内任一点的切向加速度(又称转动 加速度)的大小，等于刚体的角加速度与该点到 轴线垂直距离的乘积，它的方向由角加速度的 符号决定，当是正值时，它沿圆周的切线，指 向角j 的正向；否则相反。 5.3.2 转动刚体上各点的速度和加速度 法向加速度为： 即：转动刚体内任一点的法向加速度(又称向 心加速度)的

14、大小，等于刚体角速度的平方与 该点到轴线的垂直距离的乘积，它的方向与速 度垂直并指向轴线。 (1) 在任一瞬时，转动刚体内所有各点的速度 和加速度的大小，分别与这些点到轴线的垂直 距离成正比。 (2) 在任一瞬时，刚体内所有各点的加速度a 与半径间的夹角q 都有相同的值。 点的全加速度为： 转动刚体上各点的速度和加速度 主动轮与从动轮角速度之比称为传动比， 记为i12。 5.4 轮系的传动比 1) 齿轮传动 5.4 轮系的传动比 即：相互啮合的两齿轮的角速度之比与它们 节圆半径成反比。 因啮合点无相对滑动，所以 由于 w1 1 R1 O1 O2 R2 w2 2 v1v2 at1at2 所以 由

15、于齿轮齿数与其节 圆半径成正比，故 即：相互啮合的两齿轮的角速度之比及 角加速度之比与它们的齿数成反比。 5.4 轮系的传动比 w1 1 R1 O1 O2 R2 w2 2 v1v2 at1at2 2) 带轮传动 5.4 轮系的传动比 例5-10 下图是一减速箱，它由四个齿轮组成 ，其齿数分别为Za=10，Zb=60，Zc=12， Zd=70。(a)求减速箱的总减速比i13；(b)如果 n1=3000 r/min，求n3。 a c n1 d bn3 n2 解：求传动比： 则有： 5.5 以矢量表示角速度和角加速度 以矢积表示点的速度和加速度 1、角速度矢量和角加速度矢量 角速度矢量 角加速度矢量 2、绕定轴转动刚体上点的速度和加速度 速度 2、绕定轴转动刚体上点的速度和加速度 加速度 点M法向加速度 点M切向加速度 习题5-24 纸盘由厚度为a的纸条卷成，令纸盘的 中心不动，而以等速 v 拉纸条。求纸盘的角加 速度(以半径 r 的函数表示)v 解：设纸盘在t0时的半径 为r0，则在t 时刻纸盘减小的 面积为 又 将此两式对时间 t 求导得 例5-6 在刮风期间，风车的角加速度 。若初瞬时 ，其叶片半径为 0.75m 。试求叶片转过两圈（