泄洪设施修建数学模型

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1、泄洪设施修建数学模型 泄洪设施修建计划 摘 要：修建泄洪设施时，如何在满足安全泄洪的情况下使总费用最少，是政府部门十分关注的问题。 针对本题提出的如何修建泄洪河道使总费用最省以及维护人员在各村留宿的概率的问题，分别建立了线性规划模型、最小生成树模型、马氏链模型、基于天然河道的最优泄洪基本模型，并运用MATLAB7.0和LINGO8.0数学软件，对模型进行求解，得出修建河道的最省方案和维护人员在各村留宿的概率。最后还对原来建立的模型进行了评价，并加以推广。 问题一，对于开挖排洪沟和修建新泄洪河道的计划，可以通过拟合出四条天然河道的泄洪量与时间的关系式，根据拟合的关系式，预测未来五年四条天然河道的

2、泄洪量，然后确定开挖排洪沟的费用和预计的可泄洪量以及要达到的泄洪要求，建立模型进行求解。并检验第四、第五年是否满足泄洪要求。计算得到整个方案的总开支最省为172万元。 问题二， 首先使用图块论中的Kruskal算法思想，利用Matlab生成最小树。生成的邻接矩阵以及最小树，然后依据最小费用原则，考虑进入各村的排洪沟承载能力与各村自身的泄洪量之和应小于从该村出去的各排洪沟承载之和为约束条件建立规划模型。通过计算最终得出修建新泄洪河道网络最省总花费资金少要花571.227万元。 问题三，维护人员是在问题二中解得的新泄洪河道网络上移动的，从一个村移动到与之相连的一个村，符合马氏链，所以建立了马氏链模

3、型。通过分析得出，该马氏链是正则链。根据正则链的性质可知，正则链存在唯一的极限状态概率，所以维护人员在各村留宿的概率分布是稳定的。通过MATLAB编程得到维护人员在各村留宿的概率分布 w?0.0556,0.0556,0.1111,0.0556,0.1667,0.0556,0.2222,0.1667,0.0556,0.0556? 问题四，考虑到天然河道有着很大的泄洪潜力，如果能够及时的对天然河道清淤以及在天然河道的基础上建立泄洪河道网络，可以显著地减少泄洪工程的花费，所以提出了基于天然河道的最优泄洪基本方案。影响方案的因素：天然河道的曲折；不同地方土质的不同造成修建泄洪河道的成本不同；有的村可能

4、没有天然河道流过；天然河道还要定期进行清淤；根据地貌，修建人工湖或者水库。这些因素都会对泄洪方案的花费造成影响。因此，将各因素对资金费用产生的影响，提出一个合理的方案解决，达到花费最少的目的。 关键词：MATLAB7.0 LINGO8.0 线性规划模型 Kruskal算法 最小生成树 马氏链模型 问题重述： 位于我国南方的某个偏远贫困乡，地处山区，一旦遇到暴雨，经常发生洪涝灾害。造成大面积水灾，不仅夏粮颗粒无收，而且严重危害到当地群众的生命财产安全。 为此，乡政府打算立即着手解决防汛水利设施建设问题。从两方面考虑，一是在各村开挖一些排洪沟,以满足近两三年的短期防汛需要；二是从长远考虑，可以通过

5、修建新泄洪河道的办法把洪水引出到主干河流。经测算，修建新泄洪河道的费用为P?0.66Q0.51L（万元），其中Q表示泄洪河道的可泄洪量（万立方米/ 小时），L表示泄洪河道的长度（公里）。 通过数学建模方法，解决以下问题： （1）该乡的某个村区域内原有四条天然河流，由于泥沙沉积，其泄洪能力逐年减弱。在附录1中给出它们在近年来的可泄洪量（万立方米/小时）粗略统计数字。水利专家经过勘察，在该村区域内规划了8条可供开挖排洪沟的路线。由于它们的地质构造、长度不同，因而开挖的费用和预计的可泄洪量也不同（详见附录2），而且预计每条排洪沟的可泄洪量还会以平均每年10%左右的速率减少。同时开始修建一段20公里长

6、的新泄洪河道。修建工程从开工到完成需要三年时间，且每年投资修建的费用为万元的整数倍。要求完成之后，通过新泄洪河道能够达到可泄洪量100万立方米/小时的泄洪能力。 乡政府从2010年开始，连续三年，每年最多可提供60万元用于该村开挖排洪沟和修建新泄洪河道，为了保证该村从2010至2014年这五年间每年分别能至少达到可泄洪量150、160、170、180、190万立方米/小时的泄洪能力，请作出一个从2010年起三年的开挖排洪沟和修建新泄洪河道计划，以使整个方案的总开支出尽量节省（不考虑利息的因素在内）。 （2）该乡共有10个村,分别标记为，它们大致的相对地理位置（见附录3），海拔高度总体上呈自西向

7、东逐渐降低的态势。 其中村距离主干河流最近，且海拔高度最低。乡政府打算拟定一个修建在各村之间互通的新泄洪河道网络计划，将洪水先通过新泄洪河道引入村后，再经村引出到主干河流。要求完成之后，每个村通过新泄洪河道能够达到可泄洪量100万立方米/小时的泄洪能力。 根据附录4中的数据，为该乡提供一个各村之间修建新泄洪河道网络的合理方案，使得总费用尽量节省。（说明：从村A村B的新泄洪河道，一般要求能够承载村A及上游新泄洪河道的泄洪量。） （3）新泄洪河道网络铺设完成后，打算安排一位维护人员，每天可以从一个村到与之直接有新泄洪河道连接的相邻村进行设施维护工作，并在到达的村留宿，次日再随机地选择一个与该村直接

8、有新泄洪河道连接的相邻村进行维护工作。试分析长此以往，他在各村留宿的概率分布是否稳定？ （4）是否能够为该乡提出一个更加合理的解决泄洪的办法？ 1.问题一： 1.1问题分析： 这是一个优化问题，要决策的是在资金、人力和物力各种因素的限制情况下，人们常常想知道我们应该怎么分配资金的流向才能使我们的资金使用最小，并且能保证工作的正常进行。一般来说这两个目标是矛盾的，资金使用少，工作就不能达使指定要求达到最佳；反之亦然所以不可能给出这两个目标同时达到最优的所谓最优决策，我们追求的只能是，在保证工作顺利进行的情况下资金使用最少的决策。 对于开挖排洪沟和修建新泄洪河道计划，可以通过附录一和附录二的数据拟

9、合出四条天然河道的泄洪量与时间的关系式，根据拟合的关系式，预测未来五年四条天然河道的泄洪量，然后确定开挖排洪沟的费用和预计的可泄洪量以及要达到的泄洪要求，建立模型进行求解。 1.2符号说明： xi：第i条排洪沟的开挖情况（当xi=1时，表示该条排洪沟需要开挖；当xi=0 时，表示该条排洪沟不需要开挖）； mi：第 qi：第 Rj：第 Pj：第i条排洪沟开挖费用； i条排洪沟当年泄洪量； j年4条天然河道泄洪总泄洪量； j年修建新泄洪河道的费用； ：每年的流动资金60万； 1.3基本假设： 1、不受人力、物力等因素的影响，修建计划能够在指定的时间内完成； 2、假设当天然河道的泄洪能力非常小的情况

10、下我们可以将其忽略不计； 1.4模型建立： 1.4.1 拟合并预测未来五年四条天然河道的泄洪量 (1)由附录一中表格所给的数据对每条河道进行拟合，得到各条河道泄洪量随时间变化的关系式，然后对各河道未来五年的泄洪量进行预测。当天然河道的泄洪量很低时，认为其泄洪量为零。 1号天然河道泄洪量随时间的变化近似为直线关系，所以使用MATLAB7.0对天然河道1号进行一次拟合（源程序见附录5）得到： 使用MATLAB7.0对未来五年该天然河道的泄洪量进行预测(源程序见附录 6)，得到： y =21.4469 20.2452 19.0435 17.8418 16.6401 则未来五年1号天然河道的泄洪量分别

11、为：21.4469万立方米/小时、 20.2452万立方米/小时、19.0435万立方米/小时、17.8418万立方米/小时、16.6401万立方米/小时。 （2）2号天然河道泄洪量随时间的变化近似为三次曲线关系，所以使用MATLAB7.0对天然河道2号进行三次拟合（源程序见附录7）得到： 使用MATLAB7.0对未来五年该天然河道的泄洪量进行预测(源程序见附录 8)，得到： y =1.0247 -0.1179 -1.7199 -3.9679 -7.048 从计算结果中可以看出，第二年以后结果为负数，则第二年以后2号天然河道的泄洪量已经变得很小，可以认为其泄洪量为0 则未来五年2号天然河道的泄

12、洪量分别为：1.0247万立方米/小时、0、0、0、0。 （3）3号天然河道泄洪量随时间的变化近似为一次直线关系，所以使用MATLAB7.0对天然河道2号进行一次拟合（源程序见附录9）得到： 使用MATLAB7.0对未来五年该天然河道的泄洪量进行预测(源程序见附录 10)，得到： y = 9.1306 7.0456 4.9606 2.8756 0.7906 则未来五年3号天然河道的泄洪量分别为：9.1306万立方米/小时、7.0456万立方米/小时、4.9606万立方米/小时、2.8756万立方米/小时、0.7906万立方米/小时。 M （4）4号天然河道泄洪量随时间的变化近似为三次曲线关系，

13、所以使用MATLAB7.0对天然河道4号进行三次拟合（源程序见附录11）得到： 使用MATLAB7.0对未来五年该天然河道的泄洪量进行预测(源程序见附录 12)，得到： y =13.6615 9.3514 2.6103 -7.2434 -20.8913 由计算结果可知：第四、第五年时，河道的泄洪量已经很小，可以认为其泄洪量为0。 则未来五年4号天然河道的泄洪量分别为：13.6615万立方米/小时、9.3514万立方米/小时、2.6103万立方米/小时、0、0。 四条天然河道的拟合图像： 一号 二号 三号 四号 图一 表1 未来五年四条天然河道的泄洪量（万立方米/小时）预测表 所以可以得到未来五

14、年4条天然河道泄洪总泄洪量分别为 表2 未来五年4条天然河道泄洪总泄洪量表 1.4.2模型的建立 (1) 建立第一年的线性规划模型 目标函数：设每年的开挖排洪沟的费用为z,则 min z? ?x i?1 8 i ?mi? 约束条件 泄洪要求： ?x i?1 8 i ?qi?150?R1 资金约束： ?x i?1 8 i ?mi?60 非约束： xi?0或1，当选择挖第 i条排洪沟时， xi?1；否则xi?0，i?1,2,?,7,8 综上可得 min z? ?x i?1 8 i ?mi? ?s.t.? ?xi?0或1，当选择挖第? ?x i?1 8i?1 8 i ?qi?150?R1 i ?x ?mi?60 xi?1；否则xi?0，i?1,2,?,7,8 i条排洪沟时， (2) 建立第二年的线性规划模型 min z? ?x