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1、对数及其运算对数及其运算 新课引入 上节课我们学习指数函数，研究细 胞分裂时，曾经归纳出，第x次分 裂后，细胞的个数为y=2x；给定分 裂的次数x，我们可以求出细胞个 数y。有时我们会遇到这样的问题: 已知一个细胞分裂x次后细胞的个数 是1024，问这个细胞分裂了几次 ？即：2x=1024，则x=？ 所以须要创立新的符号,能在已知底数和幂的值时,表示 出该指数的表达式.这就是我们本节课将要学习的对数及 对数符号. 又看如下问题: 现今我国总产值每年比上年 约平均增长8%,问经过几年,总产值是今年的2倍? 设今年总产值为a亿元,经过x年,总产值是今年的2 倍,则可列式: a(1+8%)x=2a,
2、 即得 1.08x=2 此式的 x如何解出(表达出)呢? 新课引入 可是也有不少与上列数学式同类的式子,还不易解决和 表达. 例如： 形成概念 一般地,如果a(a0,a1)的 b 次幂等于N, 即ab=N, 那么数b叫做以a为底 N的对数, 记作： logaN=b (式中的a叫做对数的底数,N叫做真数.) (对数式 “logaN” 表示的意思就是:一个乘方的 底数是a,乘方的结果是N时所“对应的那个指数 ”) 书写格式： logaN 对数等式logaN=b写为乘方等式就是ab=N,乘方等式 ab=N,写为对数等式就是logaN=b但要注意两式中字母 a,N,b的称呼的异同. logaN=b 就
3、是 ab=N 底数底数 真数 幂 对数指数 (a0,a1 ) 形成概念 概念深化 由对数式定义: logaN=b ab=N (a0,a1) 可知,不论b是 什么实数,总有ab0,即式ab=N中的幂N永远是正数,也即式logaN 中的真数N永远是正数. 因此负数和零没有对数. 例如： 式log20, log3(-3),以及log05, log-23, log12等都无意义. 有了对数知识,前面提出的“已知底数和幂的值,如何用(含有 底数和幂的)式子去表达出与其对应的指数”之问题就迎刃而解 了. 例如,因为42=16,所以底数为4,幂为16,对数(对应的指数) 是2,就可写为 log416=2 从
4、事例:20=1,写为对数就是log21=0;(0.3)0=1就是log0.31=0; 100=1就是log101=0. 猜想应有公式: 证明:设loga1=x 由对数的定义就有ax=1,又1=a0(a0,a1) ax=a0 一定有x=0.即得 loga1=0. loga1= 0(a0,a1) 从事例:21=2,写为对数就是log22=1;(0.3)1=0.3就是log0.30.3=1; 101=10就是log1010=1. 猜想应有公式:logaa= (a0,a1)1 概念深化概念深化 证明:设logaa=x 由对数的定义就有ax=a,又a=a1(a0,a1) ax=a1 一定有x=1.即得
5、logaa=1. a = logaN X思考 ： 此指数式(指数是logaN)写为对数式就是 logaX=logaN , 令 logaX=logaN=b,则有ab=X又有ab=N X=N. a = logaN N得公式 解 ： ? 概念深化概念深化 对数恒等式 例1 将下列指数式写成对数式: (1)54=625 log5625=4.解 : 解: (3)3a=27 解:log327=a. 解: 例2 将下列对数式写成指数式: 解: (2)log2128=7解: 27=128. (3)lg0.01=-2解: 10-2=0.01. 例题讲解 巩固练习 1 0 4 -1 3 补充 例题 例3. (1)
6、求 log279的值 解:设 log279=b, (2)已知 2logx8=4,求x 的值. 解:由2logx8=4, 先化简得 logx8=2, 再化为 33b=32,3b=2. 由对数式的定义则有 x2=8. 由对数式的定义则有27b=9, 常用对数 以10为底的对数叫做 常用对数。为了简便， 通常把底10略去不写，并把 “ ” 写成“ ”, 即把 如： 100的对数是2，没有指明对数的底数， 都指常用对数。 1 2 -2 随堂 检测 1.下列指数式与对数式互化不正确的一组是( ) (A).100=1与lg1=0 (B). log55=1与51=5. (C). (D). (A). (B).
7、 (C). (D). 解:只有C中两式的底数不同(一为3,另一为9)C不正确,选C. 3.如果N=a2(a0,且a1),则有( ) (A).log2N=a (B).log2a=N (C).logNa=2 (D).logaN=2 (A).y7=xz (B).y=x7z (C).y=7xz (D).y=z7x 解.根据对数的定义, N=a2中的指数2叫做以 a为底N的对数,记作 logaN=2. 应选 D. 随堂 检测 课堂练习 1.将下列指数式写成对数式 : (1)23=8; (2)25=32; 2.将下列对数式写成指数式 : (1)log39=2; (2)log5125=3; 3.求下列各式的值: (1)log525 (3)lg100 (4)lg0.01 (5)lg10000 (6)lg0.0001 4.求下列各式的值: (1)log1515 (2)log0.41 (3)log981 (4)log2.56.25 (5)log7343 (6)log3243 是log28=3 是log232=5 =2 =-4 =2 =-2 =4 =-4 =1 =0 =2 =2 =3 =5 回顾反思回顾反思 本节课我们学了哪些内容？ 你有什么 收获？我们应注意什么？
