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1、要点梳理考点讲练当堂练习课堂小结 小结与复习 第五章 生活中的轴对称 1.轴对称图形:把一个图形沿着一条直线折叠,如 果直线两旁的部分能够完全重合,那么这个图形 就叫作轴对称图形.这条直线叫作对称轴. 2.轴对称:把一个图形沿一条直线折叠,如果它能 与另一个图形完全重合,那么这两个图关于这条 直线成轴对称.这条直线叫作对称轴. 要点梳理 一.轴对称图形与轴对称 3.轴对称图形和轴对称的区别与联系 轴对称图形 轴对称 区别 联系 图形 (1)轴对称图形是指( ) 具 有特殊形状的图形, 只对( ) 图形而言; (2)对称轴( ) 只有一条 (1)轴对称是指( )图形 的位置关系,必须涉及 ( )
2、图形; (2)只有( )对称轴. 如果把轴对称图形沿对称轴 分成两部分,那么这两个图形 就关于这条直线成轴对称. 如果把两个成轴对称的图形 拼在一起看成一个整体,那 么它就是一个轴对称图形. 一个 一个 不一定 两个 两个 一条 4.轴对称的性质: 在轴对称图形或两个成轴对称的图形中, 对应点所连的线段被对称轴垂直平分,对应线 段相等,对应角相等. 1.等腰三角形的性质 名称 项目 等腰三角形 性质 边:两腰相等 角:两个底角相等(等边对等角) 重要线段:顶角的平分线、底边上的中线、 底边上的高互相重合(三线合一) 对称性:是轴对称图形,对称轴为顶角的平 分线或底边上的中线或底边上的高所在的直
3、线 二.简单的轴对称图形 角平分线上的点到角两边的距离相等. 3.角平分线的性质 2.线段垂直平分线的性质 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等. 考点一 轴对称图形与轴对称 例1 如图,ABC和ABC关于直线MN对称, ABC和ABC关于直线EF对称. (1)画直线EF; (2)直线MN与EF相交于点O,试探究BOB与直线 MN,EF所夹锐角的数量关系. A B C A B C A B C M N 考点讲练 【分析】连接ABC和ABC 中的任意一对对应点,作所得线段 的垂直平分线即为直线EF,根据轴 对称的性质可求角的数量关系. A B C A B C A B C 解:(1)如图,连接
4、B B ,作线段B B 的垂直平分线 EF,则直线EF是A B C 和A B C 的对称轴; (2)连接BO,BO,BO, ABC和ABC关于直线MN对称, BOM =B OM. ABC和ABC关于直线EF 对称, BOE =BOE. BOB=2(BOM+BOE) =2. E F O M N 轴对称和轴对称图形的概念是本章的重点,通过 观察日常生活中的轴对称现象,理解轴对称图形和轴 对称的概念的区别与联系;学习轴对称变换,不但要 会画一个图形关于某直线的对称图形,还要会通过简 单的图案设计确定最短路线等. 方法总结 1.下面的图形是轴对称图形吗?如果是,你能指出 它的对称轴吗? 针对训练 2.
5、如图所示,作出ABC关于直线x=1的对称图形 x y O x=1 A B C A B C 解:ABC就是所求作的图形. 考点二 等腰三角形的性质 例2 如图所示,在ABC中,AB=AC,BDAC于D. 试说明: BAC = 2DBC. A BC D ) ) 1 2 E 【分析】根据等腰三角形“三线合一 ”的性质,可作顶角BAC的平分线 ,来获取角的数量关系. A BC D ) ) 1 2 E 解:作BAC的平分线AE,交BC于点E,如图所示,则 AB=AC, AEBC. 2+ ACB=90 . BDAC, DBC+ ACB=90 . 2= DBC. BAC= 2DBC. 解: AD 是BC 的
6、垂直平分线, AB =AC,BD=CD. 点C 在AE 的垂直平分线上, AC =CE,AB=AC=CE, AB+BD=DE. 例3 如图,AD是BC的垂直平分线,点C 在AE 的 垂直平分线上,AB,AC,CE 的长度有什么关系? AB+BD与DE 有什么关系? A BCDE 考点三 线段垂直平分线与角平分线的性质 【分析】运用线段的垂直平分线的性质进行线段之间 的转化即可. 常常运用线段的垂直平分线的性质“线段垂直平 分线上的点到线段两端的距离相等”进行线段之间的 转换来求线段之间的关系及周长的和差等,有时候与 等腰三角形的”三线合一”结合起来考查. 方法总结 例4 有公路l1同侧、l2异
7、侧的两个城镇A,B,如图. 电信部门要修建一座信号发射塔,按照设计要求, 发射塔到两个城镇A,B的距离必须相等,到两条 公路l1,l2的距离也必须相等,发射塔C应修建在什 么位置?请用尺规作图找出所有符合条件的点,注 明点C的位置(保留作图痕迹,不要求写出画法). 【解析】利用线段垂直平分线及角平分线的性质解题. 解:根据题意知道,点C应满足两个条件,一是在线 段AB的垂直平分线上;二是在两条公路夹角的平分 线上,所以点C应是它们的交点. (1)作两条公路夹角的平分线OD或OE; (2)作线段AB的垂直平分线FG; 则射线OD,OE与直线FG的交点C1,C2就是所求的 位置. 3.如图,在AB
8、C中,DE是AC的 垂直平分线,AC=5厘米,ABD 的周长等于13厘米,则ABC的 周长是 . C 18厘米 A BD E 针对训练 4. 如图所示,已知ABC中,PEAB交BC于点E, PFAC交BC于点F,点P是AD上一点,且点D到PE的 距离与到PF的距离相等,判断AD是否平分BAC,并 说明理由 解:AD平分BAC理由如下: D到PE的距离与到PF的距离相等, 点D在EPF的平分线上 12 又PEAB,13 同理,24 34,AD平分BAC A B CE FD ( ( ( ( 3 4 1 2 P 考点四 本章的数学思想与解题方法 u分类讨论思想 例5 等腰三角形的周长为20cm,其中
9、两边的差为8cm, 求这个等腰三角形各边的长. 【解析】要考虑腰比底边长和腰比底边短两种情况. 解:若腰比底边长,设腰长为xcm,则底边长为(x8)cm, 根据题意得 2x+x8=20,解得x= , x8= ; 若腰比底边短,设腰长为ycm,则底边长为(y+8)cm,根据 题意得2y+y+8=20,解得y=4, y+8=12,但4+4=812,不符合 题意. 故此等腰三角形的三边长分别为 根据等腰三角形的性质求边长或度数时,若已知 条件未明确所给的角是顶角还是底角、所给的边是腰 还是底边时,要分两种情况才能使答案不致缺漏,同 时,求出答案后要和三角形的内角和定理及三角形三 边关系对照,若不符合,则答案不成立,要舍去,这 样才能保证答案准确. 方法总结 5.若等腰三角形的两边长分别为4和6,求它的周长. 解:若腰长为6,则底边长为4, 周长为 6+6+4=16; 若腰长为4,则底边长为6, 周长为4+4+6=14. 故这个三角形的周长为14或16. 针对训练 生 活 中 的 轴 对 称 轴对称 现象 两个图形成轴对称 轴对称图形 对称轴 简单的轴 对称图形 等腰三角形的性质 轴对称图形的性质 对称性 “三线合一 ” 底角相等 线段垂直平分线上的点到这条线段 两个端点的距离相等 角的平分线上的点到这个角的两边的 距离相等 应用 图案设计 计算与推理 课堂小结