《高中数学全程复习-学科素养培优系列(三)-数列》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学全程复习-学科素养培优系列(三)-数列（30页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、学科素养培优系列(三) 数 列 类型一 等差数列、等比数列及综合应用 【典例1】(14分)已知数列an的前n项和Sn=1+an,其 中0. (1)证明an是等比数列,并求其通项公式. (2)若S5= ,求. 【谋定思路而后动】 第一步:联想定义“轻松解” 第(1)问,看到证明an是等比数列,联想到利用等比数 列的定义进行判断. 第二步:求和代入“即搞定” 第(2)问,先求出数列an的前n项和Sn,将S5= 代入即 可求解. 【规范解答不失分】 (1)由题意得a1=S1=1+a1, 故1,a1= ,a10.2分 由Sn=1+an,Sn+1=1+an+1, 得an+1=an+1-an, 即an+1
2、(-1)=an,3分 由a10,0,1得an0, 所以 4分 因此an是首项为 , 公比为 的等比数列, 所以an= (0,1).6分 (2)由(1)得Sn=1- .9分 由S5= 得 即 解得=-1.14分 【阅卷教师点迷津】 【失分原因】 (1)递推关系掌握不牢:如an与Sn,an+2与an+1,Sn+2与Sn+1之 间的递推关系不明确. (2)运算能力差:如第(2)问不能正确得出Sn=1- 或求出Sn=1- 将S5= 代入求解时不能正确得 出的值. (3)思维混乱:没有逻辑性和条理性,如对证明题目的结 论不明确,转换过程较复杂的现象很多. (4)解题不规范:如把an+1写成an-1或把a
3、n+1写成an+1,造 成解题失误. 【答题规则】 1.写全解题步骤,步步为“赢” 解题时,要将解题过程转化为得分点,对于是得分点的 解题步骤一定要写全,阅卷时根据步骤评分,有则得分, 无则不得分,如本题中的第(1)问证明等比数列时,应说 明1,步骤不全不能得满分. 2.准确应用等差数列和等比数列前n项和公式 公式的熟记与灵活应用是得分关键,本题中等比数列前 n项和公式是求对结果的关键,能够正确应用并写出相 应步骤即可得分. 【对应训练再提升】 已知数列an各项均为正数,其前n项和为Sn,且 a1=1,anan+1=2Sn(nN*). 世纪金榜导学号97062181 (1)求数列an的通项公式
4、. (2)求数列n 的前n项和Tn. 【解析】(1)当n=1时,a1a2=2a1,a2=2. 又anan+1=2Sn 所以n2时,an-1an=2Sn-1 -得an(an+1-an-1)=2an, 因为an0,所以an+1-an-1=2. 则a1,a3,a2n-1,是以1为首项,2为公差的等差数列 ,a2n-1=2n-1. a2,a4,a2n,是以2为首项,2为公差的等差数列 ,a2n=2n. 所以an=n(nN*). (2)由于an=n,所以Tn=121+222+323+n2n. 2Tn=122+223+(n-1)2n+n2n+1, 两式相减得 Tn=n2n+1-(2+22+23+2n) =
5、n2n+1- =n2n+1+2-2n+1 =(n-1)2n+1+2. 类型二 数列与函数、圆锥曲线、不等式综合问题 【典例2】(14分)(2016四川高考)已知数列an的首项 为1,Sn为数列an的前n项和,Sn+1=qSn+1,其中q0,nN*. (1)若2a2,a3,a2+2成等差数列,求数列an的通项公式. (2)设双曲线x2- =1的离心率为en,且e2= ,证明 :e1+e2+en 【谋定思路而后动】 第一步:递推关系“常规解” 第(1)问,看到Sn+1=qSn+1,想到利用Sn+1=qSn+1和 Sn+2=qSn+1+1作差,便可求解. 第二步:寻求关系“巧突破” 第(2)问,与双
6、曲线巧妙结合,解题时寻求离心率与公比 之间存在的递推关系,并结合不等式的证明方法适当放 缩. 【规范解答不失分】 (1)由已知,Sn+1=qSn+1,Sn+2=qSn+1+1, 两式相减得到an+2=qan+1,n1.2分 又由S2=qS1+1得到a2=qa1, 故an+1=qan对所有n1都成立. 所以,数列an是首项为1,公比为q的等比数列. 从而an=qn-1.4分 由2a2,a3,a2+2成等差数列,可得 2a3=3a2+2,即2q2=3q+2,则(2q+1)(q-2)=0, 由已知,q0,故q=2.所以an=2n-1(nN*).6分 (2)由(1)可知,an=qn-1. 所以双曲线x
7、2- =1的离心率 en= 8分 由e2= 解得q= 10分 因为1+q2(k-1)q2(k-1), 所以 qk-1(kN*). 于是e1+e2+en1+q+qn-1= 故e1+e2+en 14分 【阅卷教师点迷津】 【失分原因】 (1)递推关系掌握不牢:如an与Sn,an+2与an+1,Sn+2与Sn+1之 间的递推关系不明确. (2)思维混乱:没有逻辑性和条理性,如对证明题目的结 论不明确,转换过程较复杂的现象很多,不能寻求离心 率与公比之间存在的递推关系进行证明. (3)综合能力差:如本题巧妙引入双曲线x2- =1,便 感到茫然,不知所措,从而使问题的解决就此停滞. 【答题规则】 1.写
8、全解题步骤,步步为“赢” 解题时,要将解题过程转化为得分点,对于是得分点的 解题步骤一定要写全,阅卷时根据步骤评分,有则得分, 无则不得分,如本题中,写出通项公式,放缩正确等,步 骤不全不能得满分. 2.准确把握数列与函数、不等式的关系 在函数、不等式背景下提取数列“元素”应正确把握 等差、等比数列通项公式及前n项和公式与函数的关系 ,如等差数列通项可类比一次函数,前n项和可类比二次 函数等,前n项和可以大于或小于某个值或式子.本题中 e1+e2+en1+q+qn-1通过适当放缩是证明的关键. 【对应训练再提升】 (2017南通模拟)设数列an的前n项和为Sn,a1=10, an+1=9Sn+10. 世纪金榜导学号97062182 (1)求证:lgan是等差数列. (2)设Tn是数列 的前n项和,求Tn. 【解析】(1)依题意,当n=1时,a2=9a1+10=100,故 =10. 当n2时,an+1=9Sn+10,an=9Sn-1+10, 两式相减得an+1-an=9an, 即an+1=10an, =10, 故an为等比数列,且an=a1qn-1=10n(nN*), 所以lgan=n.所以lgan+1-lgan=(n+1)-n=1, 即lgan是等差数列. (2)由(1)知, 则Tn=
