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1、输油管的布置模型研究方案摘要输油管的布置直接影响到管线建设所需的费用问题，在输油管建设所需费用能否达到最省的情况下，本文应用了几何分割和二次线性规划模型对输油管的布置情况进行分析。对于问题1通过几何分割、勾股定理找到模型的定位因素。对两炼油厂的分布位置有两厂均在郊区、两厂均在城区、一厂在郊区另一厂在城区,在两炼油厂的位置确定后还应考虑共用管线与非共用管线的情形。通过对输油管的布置情形找出了输油管建设费用较便宜的方法，并使用二次线性规划制定出合理的模型。考虑到炼油厂建立在城区还需增加的拆迁和工程补偿等附加费用，以及有共用管线与非共用管线费用相同或不同的情形。得出两厂均建立在郊区且没有共用管线时的
2、模型较合理。对于问题2由于A厂在郊区和B厂在城区且两厂的位置固定，对此A厂和B厂到车站管线的铺设有两种模型，即有共用管线和非共用管线。对于有共用管线和非共用管线两种模型都应考虑城区的拆迁和工程补偿等附加费用，B厂到分界线的水平距离J为拆迁的最短距离。针对共用管线的模型应考虑共用管线的费用，A厂到共用管线的距离为，过B厂作分界线的垂直线段交分界线于G点，则G点到共用管线的距离为，共用管线到车站的距离为,Z为模型的目标函数，则有Z=7.2*（+J）+5*20；对于非共用管线的模型，A厂到车站的距离为，G点到车站的距离为，则有Z=7.2*(+J)+5*20；通过两种模型的结果对比分析得出无共用管线时
3、的模型较合理，则建立在铁路线上的车站应在A厂与B厂之间且距A厂的水平距离为5.769227千米处，得出最小费用为278.9159万元。对于问题3 在该实际问题中，为进一步节省费用，可以根据炼油厂的生产能力选用相适应的油管，输送A厂成品油的铺设管线费用降为每千米5.6万元，输送B厂成品油的铺设管线费用降为6.0万元，共用管线费用为每千米7.2万元。在问题2的基础上，将数据代入有共用管线和非共用管线两种模型中进行比较，得出没有共用管线时的铺设费用最省，则管线的铺设费用为216.3万元。关键词：几何分割 勾股定理二次线性规划一 问题重述某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂，同时在铁路线上增建一个车站
4、，用来运送成品油。由于这种模式具有一定的普遍性，油田设计院希望建立管线建设费用最省的一般数学模型与方法。1. 针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形，提出你的设计方案。在方案设计时，若有共用管线，应考虑共用管线费用与非共用管线费用相同或不同的情形。2. 设计院目前需对一更为复杂的情形进行具体的设计。两炼油厂的具体位置由附图所示，其中A厂位于郊区（图中的I区域），B厂位于城区（图中的II区域），两个区域的分界线用图中的虚线表示。图中各字母表示的距离（单位：千米）分别为a = 5，b = 8，c = 15，l = 20。若所有管线的铺设费用均为每千米7.2万元。铺设在城区的管线还需
5、增加拆迁和工程补偿等附加费用，为对此项附加费用进行估计，聘请三家工程咨询公司（其中公司一具有甲级资质，公司二和公司三具有乙级资质）进行了估算。估算结果如下表所示：工程咨询公司公司一公司二公司三 附加费用（万元/千米）212420为此利用二次线性规划对管线布置及相应费用的问题建立数学模型。3. 在该实际问题中，为进一步节省费用，可以根据炼油厂的生产能力，选用相适应的油管。这时的管线铺设费用将分别降为输送A厂成品油的每千米5.6万元，输送B厂成品油的每千米6.0万元，共用管线费用为每千米7.2万元，拆迁等附加费用同上。请给出管线最佳布置方案及相应的费用。二模型的假设1.假设在郊区管线的铺设过程中无
6、障碍。2.假设两炼油厂和车站处于同一平面。3假设两炼油厂和车站的建设费用不考虑。4.假设运输管线的费用不计。5.假设输油管无劣货。三符号说明a：A厂到铁路线上的距离b：B厂到铁路线上的距离x1:A厂到车站的距离x2:B厂与分界线的垂直交点G到车站的距离x3:A厂和B厂到车站共用管线的距离L: A厂与B厂之间的水平距离e: 共用管线的费用g: 非共用管线的费用M: 拆迁和工程补偿费用G: B工厂到分界线水平距离的交点Z: 目标函数J:B厂到分界线的水平距离为5千米:A厂与分界线的水平距离x:车站到A厂的水平距离四问题分析对于问题1的分析， 针对两炼油厂到铁路线的距离和两炼油厂位置分布的不同情形，
7、提出设计方案。若有共用管线，应考虑共用管线与非共用管线费用相或不同的情形，就此问题有三种情形，一是两炼油厂都在郊区，二是两炼油厂都在城区，三是一厂在郊区一厂在城区，对以上的每一种情形又分为有共用管线和无共用管线两种情形，如果在城区应考虑增加的拆迁和工程补偿等附加费用，根据以上几种情况进行对比，得出较合理的模型。对于问题2的分析，由于A厂在郊区和B厂在城区且两厂的位置固定，对此A厂和B厂到车站管线的铺设有两种模型，即有共用管线和非共用管线。对于有共用管线和非共用管线两种模型都应考虑城区的拆迁和工程补偿等附加费用，运用勾股定理B厂到分界线的垂直距离为最短，此时增加的拆迁和工程补偿等附加费用最低，对
8、三家工程咨询公司（其中公司一具有甲级资质，公司二和公司三具有乙级资质）进行估算的结果，作出合理的选择，选用公司三为此项附加费用进行的估算。 对于问题3的分析，在该实际问题中，为进一步节省费用，可以根据炼油厂的生产能力，选用相适应的油管。对于A厂和B厂到车站的管线的铺设有两种模型，即有共用管线和非共用管线。在问题2的基础上由于铺设费用的降低，将数据代入有共用线管和非共用线管两种模型中得出结果进行比较，从而得到较为合理的方案。五 模型建立与求解（一）模型建立 针对问题 1 （1） 若A、B炼油厂都建在郊区有两种情况（不考虑增加折迁和工程补偿附加费用）假设A，B两炼油厂到车站的管线距离分别为，模型
9、1: 没有共用管线(如图一) 目标函数为 Z=(+)g ABaLb 图一 模型 2: 有共用管线(共用管线费用相同或不同)（如图二） 不同时目标函数为Z=(+)g +e 相同时的目标函数为Z=(+)gabLAB 图二（2） 若A、B炼油厂都建在城区有两种情况（考虑增加折迁和工程补偿附加费用）假设A，B两炼油厂到车站的管线距离分别为， 模型1: 没有共用管线（如图三） 目标函数为Z =(+)g+(+)MABaLb 图三模型 2:有共用管线(共用管线费用相同或不同)（如图四）相同时的目标函数为Z=(+)e+(+)M 不同时目标函数为Z=(+)g +e+(+)MabLAB 图四（3） 若A炼油厂建在
10、郊区，B炼油厂建在城区两种情况（考虑增加折迁和工程补偿附加费用）模型1:没有共用管线（如图五）目标函数为Z=(+)g+(L-L1)M模型 2: 有共用管线(共用管线费用相同或不同)（如图六）不同时目标函数为Z=(+)g +e+(L-L1)M相同时的目标函数为Z=(+)e+(L-L1)MGBAabL 图六 针对问题 2A炼油厂位于郊区，B炼油厂位于城区，有共用管线和非共用管线两种情况（考虑增加折迁和工程补偿附加费用） 模型 1: 没有共用管（如图五）目标函数为Z=7.2*(+5) +5*20 约束条件x15;x12=x2+25;x12x;x22=(15-x)2+64;x28;Lb bbaGBA
11、图五模型2: 有共用管线（如图七）目标函数为Z=7.2*(x+x2+x3+5)+100;约束条件x15;x22=(15-x)2+9;x2234; x3=5;GBAabL 图七针对问题3，在第二问的基础上，也有共用管线和非共用管线两种情况（考虑增加折迁和工程补偿附加费用） 模型1:有共用管线（如图七） 目标函数为Z=5.6+6.0+7.2+5*20模型 2: 没有共用管线（如图五） 目标函数为 Z=5.6+6.0+5*20（二）模型求解针对问题 2模型 1: 没有共用管线目标函数为Min Z=7.2*(+5) +5*20 约束条件x15x12=x2+25x12xx22=(15-x)2+64x28
12、 非负约束条件 x=0运用 LINGO软件编译如下程序：Min =7.2*(+5) +5*20;x15;x12=x2+25;x12x;x22=(15-x)2+64;x28; end用LINGO解得x=5.7692,x1=7.6343,x2=12.2150,z=278.9159,见附件1针对问题 2 模型 2: 有共用管线目标函数 Min Z=7.2*(x+x2+x3+5)+100;约束条件x15;x22=(15-x)2+9;x2234; x3=5;运用 LINGO软件编译如下程序：Min=7.2*(x+x2+x3+5)+100;x15;x22=(15-x)2+9;x2234; x3=5;end
13、用LINGO解得：x=0,x2=15.29706,z=282.1388,见附件2通过模型 1和模型 2的结果比较，模型1为比较合理的模型。针对问题3 模型1: 有共用管线 目标函数为Z=5.6+6.0+7.2+5*20 将x1=x=0,x2=15.29706，x3=5代入目标函数得z=227.8模型2: 没有共用管线 目标函数为Z=5.6+6.0+5*20将x1=7.6343,x2=12.2150，代入目标函数得z=216.3。通过模型 1和模型 2的结果比较，模型2为比较合理的模型。六模型的进一步讨论 设a为A炼油厂到跌路上的垂直距离，b为B炼油厂到铁路上垂直距离，车站建设在铁路线经过A、B炼油厂垂线连线S的终点C处，根据三角形ABC的情况进行讨论。（如图八）(1)若三角形ABC为等边三角形，过三角形三个顶点作对边的垂线交于O点，此时O点位三角形ABC的五心，且a=b， 目标函数z=AO+BO+OC,AB=BC=AC=,AO=.目标函数z= AO+BO+OC=3AO=,(2)
