《相似三角形》ppt课件3

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1、相似三角形相似三角形 1.相似图形 定义：具有相同形状的图形称为相似图形. 2.比例线段 定义：在四条线段a、b、c、d中,如果其中两条线段的比等于另外两 条线段的比，即ab=cd（或ab=cd），那么这四条线段a、b、c、 d叫做成比例线段，简称比例线段. 注意：（1）线段a、b、c、d成比例是有顺序的，表示ab=cd（或 ab=cd）； 3.比例线段的性质 性质：（1）基本性质：如果ab=cd或ab=cd，那么ad=bc；特 别地，如果ab=bc或ab=bc，那么b2=ac. （2）合比性质：如果ab=cd，那么abb=cdd. 4.相似多边形 定义：对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫

2、做相似多边形. 注意：仅对应边成比例的两个多边形不一定相似，如菱形；仅对应角 相等的两个多边形也不一定相似，如矩形. 相似比：相似多边形对应边的比叫做相似比. 注意：相似比为1的两个多边形全等. 性质：（1）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等; （2）相似多边形周长的比等于相似比; （3）相似多边形面积的比等于相似比的平方. 5.相似三角形 定义：对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形. 判定：（1）平行于三角形一边的直线和其他两边（或延长线）相交 ，所构成的三角形与原三角形相似; （2）如果两个三角形的三组对应边的比相等， 那么这两个三角形相似; （3）如果两个三角形的两组对应边

3、的比相等，并且相应的夹角相等 ， 那么这两个三角形相似; （4）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等， 那么这两个三角形相似; （5）如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应的比相等，那么 这两个直角三角形相似. 注意：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形彼 此相似. 性质： （1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例； （2）相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都 等于相似比； （3）相似三角形周长的比等于相似比； （4）相似三角形面积的比等于相似比的平方. 注意：利用相似三角形的性质得到对应角相等或对应线段成比例时， 要注意对应关系。 类型之

4、一相似三角形的判定 2010珠海如图38-1，在平行四边形ABCD中，过点A作 AEBC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且AFEB. (1)求证：ADFDEC； (2)若AB4,AD33,AE3, 求AF的长. 【解析】（1）证明AFD=C，ADF=CED；（2）由 ADFDEC,得ADDE=FACD,而AD、DE、CD已知或可求，容 易求出FA. 解： （1）证明：四边形ABCD是平行四边形， ADBC，ABCD， ADF=CED，B+C=180. AFE+AFD=180，AFE=B， AFD=C，ADFDEC. (2)四边形ABCD是平行四边形， ADBC，CD=AB=4. 又A

5、EBC， AEAD. 在RtADE中，DE=AD2+AE2 =（33）2+32=6. ADFDEC，ADDE=AFCD，336=AF4， AF= 23. 【点悟】判定两三角形相似，若出现一对角相等时， 则考虑还能否找到另一对角相等，或夹这个角的两边 对应成比例. 类型之二相似三角形的性质的运用 2011预测题如图38-2，梯形ABCD中，ADBC，两腰BA与 CD的延长线相交于P，PFBC，AD=2，BC=5，EF=3，则PF=5. 【解析】本题利用相似三角形对应边上的高的比等于相似比来列式计 算. ADBC,PADPBC.又PFBC, PEPF=ADBC， 即PF-3PF=25,解得PF=5

6、. 预测理由相似三角形的应用广泛，它在投影、 圆的有关计算证明等方面占有重要位置，通过它 的运用能反映识图能力和逻辑推理能力，是中考必考内容. 预测变形1如图38-3，锐角ABC中，BC6,SABC=12，两 动点M、N分别在边AB、AC上滑动且MNBC，以MN为边向下作矩 形MPQN，设MN为x，矩形MPQN的面积为y（y 0）,当x3时， 面积y最大，y最大值6. 【解析】12=126AE，AE=4. 设矩形的高为a，则4-a4=x6,a=4-23x， y=xa=-23x2+4x， 当x=-42-23=3时， y最大值=6，填3，6. 预测变形一张等腰三角形纸片，底边长15 cm，底边上的

7、高为 22.5 cm现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3 cm的矩形纸条， 如图38-4所示已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形 纸条是（ ） A.第4张 B.第5张 C.第6张 D.第7张 C 【解析】设第n个矩形是正方形， 则n个矩形的高为3n， 22.5-3n22.5=315,解得n=6,选C. 预测变形电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD ，ABCD，AB=2 m，CD=5 m，点P到CD的距离是3 m，则P到 AB的距离是（ ） A.56 m B.67 m C.65 m D.103 m 【解析】设P列AB的距离为x，则有x3=25 ,x=65,选C. C 预测变形

8、如图38-5所示，某校计划将一块 形状为锐角三角形ABC的空地进行生态环境改造 已知ABC的边BC长120米，高AD长80米.学校计划将它分割成 AHG、BHE、GFC和矩形EFGH四部分.其中矩形EFGH的一边 EF在边BC上，其余两个顶点H、G分别在边AB、AC上.现计划在 AHG上种草，每平方米投资6元； 在BHE、FCG上都种花，每平 方米投资10元；在矩形EFGH上兴 建爱心鱼池，每平方米投资4元. (1)当FG长为多少米时，种草的面 积与种花的面积相等？ (2)当矩形EFGH的边FG为多少米时， ABC空地改造总投资最小？最小值为多少？ 【解析】 （1）由HGBC，GFHEAD，设

9、FG=x，列比例式计算x； （2）依题意列二次函数求顶点坐标（或极值）. 解：（1）设FG=x米，则AK=(80x)米. 由AHGABC，BC=120，AD=80可得： HG120=80-x80,HG=120-32x， BE+FC=120-(120-32x)=32x， 12（120-32x）(80-x)=1232xx, 解得x=40, 当FG的长为40米时，种草的面积和种花的面积相等. （2）设改造后的总投资为W元,根据题意，得： W=12(120-32x)(80-x)6+1232xx10+x(120- 32x)4=6x2-240 x+28800 =6(x20)2+26400， 当x=20时,

10、W最小=26400. 答:当矩形EFGH的边FG长为20米时，空地改造 的总投资最小，最小值为26400元. 【点悟】灵活运用相似三角形对应边上的高的比等于相似比可以求一 些线段的长度. 类型之三相似三角形与圆 2010宿迁如图38-6，AB是O的直径，P为AB延长线上的任意 一点，C为半圆ACB的中点，PD切O于点D，连接CD交AB于点E 求证：（1）PD=PE； （2）PE2=PAPB. 如图38-6例3答图 【解析】（1）连半径，作等腰三角形； （2）证明PDBPAD即可. 证明：(1)连接OC、OD， ODPD ，OCAB， PDE=90-ODE， PED=CEO= 90-C. 又C=ODE,PDE=PED, PE=PD. (2)连接AD、BD，PD切O于点D， BDP=A, PDBPAD， PDPB=PAPD， PD2=PAPB， PE2=PAPB. 【点悟】证明线段的积相等的常用方法是把等式转化为比例式，然后 根据“三点定形”确定它们所在三角形是否相似，若相似，则结论成立 ；若不相似，再用中间比来“搭桥”.