《高中数学全程复习-8.1直线的斜率与直线的方程》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学全程复习-8.1直线的斜率与直线的方程（99页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第八章 平面解析几何 第一节 直线的斜率与直线的方程,【教材知识精梳理】 直线的斜率与倾斜角 (1)直线斜率的计算公式: 若两点P(x1,y1),Q(x2,y2),如果x1x2,那么直线PQ的斜 率为k=_.,(2)直线的倾斜角: 定义:在平面直角坐标系中,对于一条与x轴相交的直 线,把x轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和 直线重合时所转过的_. 范围:直线的倾斜角的取值范围是_.,最小正角,0180,(3)直线的斜率与倾斜角的等量关系: 当直线与x轴不垂直时,直线的斜率k与倾斜角之间满 足_.,k=tan,(4)直线方程的五种形式:,y-y1=k(x-x1),y=kx+b,Ax+By+
2、C=0(A,B不全为0),【教材拓展微思考】 1.直线都有倾斜角,是不是都有斜率?倾斜角越大,斜率k就越大吗?,提示:倾斜角0,),当= 时,斜率k不存在;因 为k=tan .当 时,越大,斜率k就越 大,同样 时也是如此,但当(0,)且 时就不是了.,2.“截距”与“距离”有何区别?使用直线的截距式时应注意什么? 提示:“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值,它可正,可负,也可以是零,而“距离”是一个非负数.使用直线的截距式求方程时,应注意过原点的特殊情况是否满足题意.,【教材母题巧变式】,1.若过两点A(-m,6),B(1,3m)的直线的斜率为12,则m=_. 【解析】 =12,解得m=-2.
3、 答案:-2,2.已知直线l经过点P(-2,5),且斜率为- ,则直线l的 方程为_. 【解析】由y-5=- (x+2),得3x+4y-14=0. 答案:3x+4y-14=0,3.已知直线l:ax+y-2-a=0在x轴和y轴上的截距相等,则实数a=_.,【解析】令x=0,则l在y轴上的截距为2+a;令y=0,得直 线l在x轴上的截距为1+ .依题意2+a=1+ ,解得a=1 或a=-2. 答案:1或-2,4.一条直线过点A(2,-3),并且它的斜率等于直线x+ y=0的斜率的2倍,则这条直线的方程为_.,【解析】x+ y=0的斜率为- ,所求直线的斜率为 代入点斜式方程得y-(-3)= (x-
4、2),整理得: 2x+ y+3 -4=0. 答案:2x+ y+3 -4=0,考向一 直线的倾斜角与斜率 夯基练透 【技法点拨】 1.直线的倾斜角与斜率的关系,(1)任何直线都存在倾斜角,但并不是任意直线都存在斜率. (2)直线的倾斜角和斜率k之间的对应关系:,2.斜率的求法 (1)定义法:若已知直线的倾斜角或的某种三角函 数值,一般根据k=tan求斜率. (2)公式法:若已知直线上两点A(x1,y1),B(x2,y2),一般 根据斜率公式k= (x1x2)求斜率.,3.斜率取值范围的两种求法 (1)数形结合法:作出直线在平面直角坐标系中可能的位置,借助图形,结合正切函数的单调性确定. (2)构
5、建不等式法:巧妙地利用不等式所表示的平面区域的性质,抓住斜率k满足的不等关系,构造不等式求解.,【基础保分题组】 1.设直线ax+by+c=0的倾斜角为,且sin+cos=0,则a,b满足_.,【解析】因为sin+cos=0,所以tan=-1. 又因为为倾斜角,所以斜率k=-1. 而直线ax+by+c=0的斜率k=- , 所以- =-1,即a-b=0,即a=b. 答案:a=b,2.设直线l的方程为x+ycos+3=0(R),则直线l的倾斜角的取值范围是_.,【解析】当cos=0时,方程变为x+3=0,其倾斜角为 当cos0时,由直线l的方程,可得斜率k= 因为cos-1,1且cos0, 所以k
6、(-,-11,+), 即tan(-,-11,+),又0,),所以 综上知,直线l的倾斜角的取值范围是 . 答案:,3.直线l过点P(1,0),且与以A(2,1),B(0, )为端点的 线段有公共点,则直线l斜率的取值范围为_. 世纪金榜导学号97062239,【解析】如图,因为kAP= kBP= 所以k(-,- 1,+). 答案:(-,- 1,+),【拓展提升高考模拟预测】 4.直线xsin+y+2=0的倾斜角的取值范围是_.,【解析】设直线的倾斜角为,则有tan=-sin,其 中sin-1,1.又0,),所以0 或 . 答案:,5.(2017连云港模拟)直线l经过A(2,1),B(1,-m2
7、) (mR)两点,则直线l的倾斜角的取值范围是_ _.,【解析】直线l的斜率k=tan= =m2+11, 所以 答案:,6.已知直线l:x-my- m=0上存在点M满足与两点A(-1, 0),B(1,0)连线的斜率kMA与kMB之积为3,则实数m的范围 为_.世纪金榜导学号97062240,【解析】设M(x,y),由kMAkMB=3得: 即y2=3x2-3, 联立 得:,要使直线l上存在点M满足与两点A(-1,0),B(1,0)连线 斜率之积为3,则= 0,即m2 , 所以m 或m- . 答案:m 或m-,【加固训练】在直角坐标平面上, =(1,4), =(-3,1),且 与 在直线l的方向向
8、量上的 投影的长度相等,则直线l的斜率为_.,【解析】直线l的一个方向向量可设为h=(1,k),由题意 得, |1+4k| =|-3+k|,解得k= 或k=- . 答案: 或-,考向二 直线方程 提能互动 【典例】求适合下列条件的直线方程: (1)经过点A(- ,3),且倾斜角为直线 x+y+1=0的倾 斜角的一半的直线方程为_.,(2)过点(2,1)且在x轴上的截距与在y轴上的截距之和为6的直线方程为_. 世纪金榜导学号97062241,【解题指南】(1)先求出直线的斜率,再利用点斜式即 可求出直线方程. (2)可设直线方程为 =1,列出关于a,b的方程组求 出直线方程.,【规范解答】(1)
9、由 x+y+1=0得此直线的斜率为- , 所以倾斜角为120,从而所求直线的倾斜角为60, 所以所求直线的斜率为 . 又直线过点A(- ,3), 所以所求直线方程为y-3= (x+ ),即 x-y+6=0. 答案: x-y+6=0,(2)由题意可设直线方程为 =1. 则 解得a=b=3,或a=4,b=2. 故所求直线方程为x+y-3=0或x+2y-4=0. 答案:x+y-3=0或x+2y-4=0,【一题多解】设直线方程为y=kx+b,则在x轴上的截距 为 ,所以b+ =6, 又直线过点(2,1),则2k+b=1. 由得 或,故所求直线方程为x+y-3=0或x+2y-4=0. 答案:x+y-3=
10、0或x+2y-4=0,【技法点拨】 给定条件求直线方程的思路 (1)考虑问题的特殊情况,如斜率不存在的情况,截距等于零的情况. (2)在一般情况下准确选定直线方程的形式,用待定系数法求出直线方程.,(3)重视直线方程一般形式的应用,因为它具有广泛的适用性. 提醒:在求直线方程时,应先选择适当的直线方程的形式,并注意各种形式的适用条件.,【拓展提升高考模拟预测】 1.(2017宿迁模拟)过点A(-1,-3),斜率是直线y=3x的 斜率的- 的直线方程为_.,【解析】设所求直线的斜率为k,依题意 又直线经过点A(-1,-3),因此所求直线方程为y+3= - (x+1),即3x+4y+15=0. 答
11、案:3x+4y+15=0,2.经过点A(-5,2),且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍的直线方程为_.,【解析】当横截距、纵截距均为零时,设所求的直线 方程为y=kx,将(-5,2)代入y=kx中,得k=- , 此时直线方程为y=- x,即2x+5y=0; 当横截距、纵截距都不是零时, 设所求直线方程为 =1,将(-5,2)代入所设方程, 解得a=- ,此时直线方程为x+2y+1=0.,综上所述,所求直线方程为x+2y+1=0或2x+5y=0. 答案:x+2y+1=0或2x+5y=0,3.(2017苏州模拟)过点A(1,-1)与已知直线l1:2x+y-6=0相交于B点,且AB=5的直线方
12、程为_.,【解析】过点A(1,-1)与y轴平行的直线为x=1. 解方程组 得B点坐标为(1,4), 此时AB=5,即x=1为所求. 设过A(1,-1)且与y轴不平行的直线为y+1=k(x-1),解方程组 得两直线交点为 (k-2,否则与已知直线平行). 则B点坐标为 由已知 解得k=- ,所以y+1=- (x-1),即3x+4y+1=0. 综上可知,所求直线的方程为x=1或3x+4y+1=0. 答案:x=1或3x+4y+1=0,【加固训练】1.(2017南京模拟)已知三角形的顶点A(2,4),B(1,-2),C(-2,3),则BC边上的高AD所在直线的方程为_.,【解析】因为B(1,-2),C
13、(-2,3), 所以BC的斜率为 所以BC边上的高的斜率为 . 所以BC边上的高所在的直线方程为y-4= (x-2), 即3x-5y+14=0. 答案:3x-5y+14=0,2.过点(-4,0),倾斜角的正弦值为 的直线方程为 _.,【解析】由题意知,直线的斜率存在, 设倾斜角为,则sin= (0,), 从而cos= 则k=tan= 故所求直线的方程为y= (x+4),即x3y+4=0. 答案:x3y+4=0,3.若A(1,-2),B(5,6),直线l经过AB的中点M且在两坐标轴上的截距相等,则直线l的方程为_.,【解析】方法一:设直线l在x轴、y轴上的截距均为a. 由题意得M(3,2). 若
14、a=0,即l过点(0,0)和(3,2), 所以直线l的方程为y= x,即2x-3y=0;若a0,设直线l 的方程为 因为直线l过点M(3,2),所以,所以a=5,此时直线l的方程为 即x+y-5=0. 综上,直线l的方程为2x-3y=0或x+y-5=0.,方法二:易知M(3,2),由题意知所求直线l的斜率k存在 且k0,则直线l的方程为y-2=k(x-3), 令y=0,得x=3- ; 令x=0,得y=2-3k. 所以3- =2-3k,解得k=-1或k= .,所以直线l的方程为 y-2=-(x-3)或y-2= (x-3), 即x+y-5=0或2x-3y=0. 答案:x+y-5=0或2x-3y=0,考向三 直线方程的综合应用 高频考点微课 【考情快递】,【考题例析】 命题点1:与基本不等式相结合求最值问题 【微思考】求解与直线方程有关的最值问题时,如何建立函数关系? 【微提示】求解与直线方程有关的最值问题时,先设出直线方程,建立目标函数,再利用基本不等式求解最值.,【典例】(2017南京模拟)已知直线l过点M(2,1),且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A,B两点,O为原点,当AOB面积最小时,直线l的方程为_. 世纪金榜导学号97062242,【解题指南】先设出直线方程的点斜式形式,利用面积公式构造关于斜率k的函数关系式,再利用基本不等式求解.,【规范解答】设直
