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1、第二节 命题及其关系、简单的逻辑联结词、 全称量词与存在量词 【教材知识精梳理】 1.命题 概念能够判断_的语句 特点能判断_ 分类_ 真假 真假 真命题、假命题 2.四种命题及其相互关系 若q,则p 若p,则q若q,则p 3.充分条件和必要条件 若pq,则p是q的_条件,q是p的_条件 p是q的_条件pq且q p p是q的_条件p q且qp p是q的_条件pq且qp p是q的_条件p q且q p 充分必要 充分不必要 必要不充分 充要 既不充分又不必要 4.命题pq,pq,p的真假判断 pqpqpqp 真真_ 真假_ 假真_ 假假_ 真真假 假真 假 假真真 假假真 5.全称量词和存在量词
2、量词名称常见量词符号表示 全称量词所有、一切、任意、全部 、每一个等 _ 存在量词存在一个、至少一个、有 些、某些等 _ 6.全称命题和存在性命题 名称 形式 全称命题存在性命题 结构 对M中的任意一个x, 有p(x)成立 存在M中的一个x, 使p(x)成立 简记_ 否定_ xM,p(x)xM,p(x) xM,p(x)xM,p(x) 【教材拓展微思考】 1.如何理解“推出与充分条件、必要条件的关系”? 提示:命题“若p,则q”真; p q; p是q的充分条件; q是p的必要条件. 以上四种形式的表达,讲的是同一个逻辑关系,只是说 法不同而已. 2.充要关系与集合的子集之间有何联系? 提示:设A
3、=x|p(x),B=x|q(x), (1)若A B,则p是q的充分条件,q是p的必要条件. (2)若A B,则p是q的充分不必要条件,q是p的必要不 充分条件. (3)若A=B,则p是q的充要条件. 3.如何判断一个全称命题、存在性命题的真假? 提示:全称命题:若真,必须对给定集合中的每个元素都 验证.若假,举一反例即可. 存在性命题:只要在给定集合中能找到一个元素,即成 立,否则为假. 4.如何利用“或、且、非”定义集合的交集、并集、 补集? 提示:AB=x|(xA)(xB) AB=x|(xA)(xB) UA=xU|(xA)=xU|x A 5.如何理解逻辑联结词“且、或”与“与门电路、或 门
4、电路”的关系? 提示: 如图,当两个开关A,B都闭合时灯亮;否则灯不亮. 如图,当两个开关A,B至少有一个闭合时灯亮;只有两个 开关都断开时,灯不亮. 【教材母题巧变式】 题号1234 源自P8T4P17T2P20T5P21T7 1.设p:x3,q:-1x3,则p是q成立的_. 【解析】由q:-1x3可以得到p:x0;xR,- 1sinx1”的否定是_. 【解析】“存在实数x,使x1”的否定是“对任意实数 x,都有x1”. 答案:对任意实数x,都有x1 4.已知命题p:若xy,则-xy,则x2y2.在 命题pq;pq;p(非q);(非p)q中,真命 题是_(只填序号) 【解析】由不等式的性质可
5、知,命题p是真命题,命题q 为假命题,故pq为假命题,pq为真命题,非q 为真命题,则p(非q)为真命题,非p为假命题,则(非 p)q为假命题. 答案: 考向一 四种命题及含有逻辑 联结词命题的真假判断 夯基练透 【技法点拨】 四种命题的处理技巧 (1)要分清原命题的条件与结论.当原命题有大前提时, 它的其他三种命题要保持大前提不变,只需改变小前提 和结论. (2)根据“原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命 题同真同假”这一性质,当一个命题直接判断不易进行 时,可转化为判断其等价命题的真假. (3)判断一个命题是真命题,要给出推理证明;判断一个 命题为假命题可举反例. (4)判断“pq,pq
6、,p”形式的命题真假的三个步 骤:确定命题的构成形式; 判断p,q的真假; 依据“或”一真即真,“且”一假即假,“ 非”真假相反,进行判断即可. 【基础保分题组】 1.命题“若实数a满足a2,则a20,则方程x2+x-m=0有实根”的逆 否命题是_. 【解题指南】原命题的逆否命题书写格式是否定结论 当条件,否定条件当结论. 【解析】“方程x2+x-m=0有实根”的否定是“方程x2+x -m=0没有实根”;“m0”的否定是“m0”,故命题“ 若m0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆否命题是“若方 程x2+x-m=0没有实根,则m0”. 答案:若方程x2+x-m=0没有实根,则m0 3.设命题p
7、:函数y=sin2x的最小正周期为 ;命题q: 在锐角三角形ABC中,sinAcosB,在命题 p;pq;pq;p(q)中,真命题的个数是 _. 【解题指南】pq在p,q同时为假命题时才为假命题. pq在p,q同时为真命题时才为真命题. p与p真假相反. 【解析】因为函数y=sin2x的最小正周期为T= =,所以命题p假;在锐角三角形ABC中,A+B , 即A -B0,又因为Asin( -B),即sinAcosB,所以命题q真,所以 p真,q假,pq真,pq真,p(q)假. 答案:3 【拓展提升高考模拟预测】 4.命题“若x,y都是偶数,则x+y也是偶数”的逆否命题 是_. 【解析】由于“x,
8、y都是偶数”的否定表达是“x,y不 都是偶数”,“x+y是偶数”的否定表达是“x+y不是偶 数”,故原命题的逆否命题为“若x+y不是偶数,则x,y 不都是偶数”. 答案:若x+y不是偶数,则x与y不都是偶数 5.设原命题:若a+b2,则a,b中至少有一个不小于1,则 原命题与其逆命题的真假情况是_. 【解析】可以考虑原命题的逆否命题,即a,b都小于1, 则a+b1,若“ (q)p”为真,则x的取值范围是_. 世纪金榜导学号97062006 【解析】因为“(q)p”为真,即q假p真,而q为真 命题时, 0,即21或x-3,由 解得x-3或1x2或x3, 所以x的取值范围是(-,-3)(1,23,
9、+). 答案:(-,-3)(1,23,+) 【加固训练】1.已知a,b,cR,命题“若a+b+c=3,则 a2+b2+c23”的否命题是_. 【解析】因为条件“a+b+c=3”的否定是 “a+b+c3”,结论“a2+b2+c23”的否定是 “a2+b2+c23”.所以否命题为“若a+b+c3,则 a2+b2+c23”. 答案:若a+b+c3,则a2+b2+c23 2.下列命题: “全等三角形的面积相等”的逆命题; “若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题; “若ab=0,则a=0”的否命题. 其中真命题的序号是_. 【解析】“全等三角形的面积相等”的逆命题为“ 面积相等的两个三角形全等”,
10、显然该命题为假命题; 原命题的逆命题为“若x,y互为相反数,则x+y=0”是 真命题;“若ab=0,则a=0”的逆命题为“若a=0,则 ab=0”,显然为真命题,所以其否命题是真命题. 答案: 3.已知命题p:xR,使tanx=1,命题q:x2-3x+20的解 集是x|10 (2)根据“全称命题q: xM,q(x)的否定是 q: x0M,q(x0).”可知“p: x1,x2R, (f(x2)-f(x1)(x2-x1)0”. 答案: x1,x2R,(f(x2)-f(x1)(x2-x1)0 (3)画出可行域如图所示, 设x+2y=z,则y= 当直线经过点(2,-1)时z取得最小值, zmin=2+
11、2(-1)=0,即z0, 所以命题p1,p2是真命题. 答案:p1,p2 【母题变式】 1.把(1)改为若命题“存在x0N, 2017”是真命 题,则x0的最大值是_. 【解析】因为指数函数y=2x是增函数,所以2100,总有(x+1)ex1,则非p为_. 【解析】命题p为全称命题,所以非p: x0,使得 (x+1)ex1. 答案: x0,使得(x+1)ex1. 3.已知命题“xR, 1”为真命题,则实 数a的取值范围为_. 【解析】由题意可知 xR,-x2+ax+4a0,所以 =a2+16a0,解得-16a0. 答案:-16,0 【加固训练】1.已知命题p:“x0R, -mx0+1 0”,若
12、p真,则实数m的取值范围是_. 【解题指南】联系二次函数的图象求解. 【解析】因为二次函数y=x2-mx+1的图象开口向上, 若p真,则=(-m)2-40,即m2-40, 解得m2或m-2. 答案:(-,-22,+) 2.(2017南通模拟)已知命题p:xR,log2(3x+1) 0,p是_命题(填“真”或“假”),p是_. 【解析】因为3x+11,所以log2(3x+1)0恒成立,则命题 p是假命题;p: xR,log2(3x+1)0. 答案:假 xR,log2(3x+1)0 3.已知p:|4-x|6,q:x2-2x+1-m20(m0),且p是 q的必要而不充分条件,则实数m的取值范围是 _. 【解析】因为p是q的必要而不充分条件, 所以p是q的充分而不必要条件. 由q:x2-2x+1-m20,m0, 得1-mx1+m, 则q:Q=x|1-mx1+m,m0.
