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1、 1 2012 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题 一、选择一、选择题题:18 小题小题，每小题每小题 4 分分，共共 32 分分. .下列每题给出的四个选项中下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合只有一个选项符合 题目要求的题目要求的，请将所选项前的字母填在请将所选项前的字母填在答题纸答题纸 指定位置上指定位置上. . (1) 曲线 2 2 1 xx y x 渐近线的条数为 ( ) (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (2) 设函数 2 ( )(1)(2)() xxnx f xeeen,其中n为正整数,则(0) f ( ) (A) 1
2、 ( 1)(1)! n n (B) ( 1) (1)! n n (C) 1 ( 1)! n n (D) ( 1)! nn (3) 如果函数( , )f x y在(0,0)处连续,那么下列命题正确的是 ( ) (A) 若极限 0 0 ( , ) lim x y f x y xy 存在,则( , )f x y在(0,0)处可微 (B) 若极限 22 0 0 ( , ) lim x y f x y xy 存在,则( , )f x y在(0,0)处可微 (C) 若( , )f x y在(0,0)处可微,则极限 0 0 ( , ) lim x y f x y xy 存在 (D) 若( , )f x y在
3、(0,0)处可微,则 极限 22 0 0 ( , ) lim x y f x y xy 存在 (4)设 2 0 sin(1,2,3) k x K exdx k I，则有 ( ) (A) 123 III (B) 321 III (C) 231 III (D) 213 III (5)设 1 1 0 0 C , 2 2 0 1 C , 3 3 1 1 C , 4 4 1 1 C ,其中 1234 ,C C C C为任意常数，则下列向 量组线性相关的为( ) 考研老司机55 百度内容商城 2 (A) 123 , (B) 124 , (C) 134 , (D) 234 , (6) 设 A 为 3 阶矩阵
4、，P 为 3 阶可逆矩阵，且 1 100 010 002 p AP .若 P=（ 123 , ） ， 1223 (, , )Q ，则 1 Q AQ ( ) (A) 100 020 001 (B) 100 010 002 (C) 200 010 002 (D) 200 020 001 (7)设随机变量X与Y相互独立，且分别服从参数为1与参数为4的指数分布，则 P XY( ) (A) 1 5 (B) 1 3 (C) 3 2 (D) 4 5 (8)将长度为1m的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为 ( ) (A) 1 (B) 1 2 (C) 1 2 (D)1 二、填空题二、填空题：914 小题
5、小题, ,每小题每小题 4 分分, ,共共 24 分分. .请将答案写在请将答案写在答题纸答题纸 指定位置上指定位置上. . (9)若函数( )f x满足方程( )( )2 ( )0fxfxf x及( )( )2 x fxf xe，则( )f x (10) 2 2 0 2dxxxx= (11) (2,1,1) ()| z grad xy+ y (12)设, ,1,0,0,0 x y z xyzxyz ，则 2 y ds (13)设为 3 维单位列向量，E 为 3 阶单位矩阵，则矩阵 T E的秩为 (14)设A,B,C是随机事件，A 与 C 互不相容， 11 , 23 p ABP Cp ABC
6、考研老司机55 百度内容商城 3 三、解答题三、解答题：15152323 小题小题, ,共共 9494 分分. .请将解答写在请将解答写在答题纸答题纸 指定位置上指定位置上. .解答应写出文字说明、证解答应写出文字说明、证 明过程或演算步骤明过程或演算步骤. . (15)证明： 2 1 lncos1( 11) 12 xx xxx x (16)求函数 22 2 ( , ) xy f x yxe 的极值. (17)求幂级数 2 2 0 443 21 n n nn x n 的收敛域及和函数. 考研老司机55 百度内容商城 4 (18)已知曲线 ( ), :(0), cos2 xf t Lt yt 其
7、中函数( )f t具有连续导数，且(0)0f，( )0f t (0) 2 t .若曲线L的切线与x轴的交点到切点的距离恒为 1，求函数( )f t的表达式，并求以曲 线L及x轴和y轴为边界的区域的面积. (19)已知L是第一象限中从点(0,0)沿圆周 22 +2xyx到点(2,0)，再沿圆周 22 +4xy 到点 (0,2)的曲线段，计算曲线积分 23 3d(2 )d L Jx y xxxyy (20)设 1001 0101 , 0010 0010 a a A a a （I）计算行列式A； （II）当实数a为何值时，方程组Ax有无穷多解，并求其通解. 考研老司机55 百度内容商城 5 (21)
8、 已知 101 011 10 01 A a a ，二次型 123 ( ,)() TT f x x xxA A x的秩为 2 （I）求实数a的值； （II）求正交变换xQy将f化为标准形. （22） 设二维离散型随机变量(, )X Y的概率分布为 Y X 0 1 2 0 1 4 0 1 4 1 0 1 3 0 2 1 12 0 1 12 （）求2P XY； （）求Cov(, )XY Y. 考研老司机55 百度内容商城 6 (23) 设随机变量X与Y相互独立且分别服从正态分布 2 ( ,)N 与 2 ( ,2)N， 其中是未知参数 且0.设.ZXY （）求Z的概率密度 2 ( ,);f z （）设 12 , n z zz为来自总体Z的简单随机样本，求 2 的最大似然估计量 2 （）证明 2 为 2 的无偏估计量 考研老司机55 百度内容商城
